А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Íåäîñòàòê� ìîäåë� Êóðíî: à) íåÿñíî, êàêî� îòíîøåíè� ìîäåë� èìåå� � ðåàëüíû� ðûíêàì, ïîñêîëüê� í� ïðàêòèê� íå� òàêè� ìåõàíèçìî� öåíîîáðàçîâàíèÿ: ïðîèçâîäèòåë� íàçíà÷àå� � öåíó, � îáúå� âûïóñêà. Èññëåäîâàíè� ñîîòâåòñòâóþùå� ìîäåë� ïîêàçûâàåò, ÷ò� íàéäåííî� äë� ìîäåë� Êóðí� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� íåóñòîé÷èâ� � èçìåíåíè� öå� (ñì. ñëåäóþùè� ïàðàãðàô); á) âèäèìî, ìîäåë� í� ñîîòâåòñòâóå� � ýêîíîìè÷åñêî� ñòàòèñòèêå.
Íàïðèìåð, ï� Ðîññè� äîë� òîðãîâî� íàöåíê� � öåí� í� ìåëêîîïòîâû� ðûíêà� ïðåâûøàå� 50%, õîò� êîëè÷åñòâ� ïðîäàâöî� êàæäîã� òîâàð� âåëèêî. Ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöè� Áåðòðàíà-Ýäæâîðò� Ðàññìîòðè� äðóãî� âàðèàí� ìîäåë� îëèãîïîëèè. Ðûíî� ïðåäïîëàãàåòñ� ïðåæíèì: A − ìíîæåñòâ� ïðîèçâîäèòåëå� òîâàðà, ca � V a − ïîñòî204 19. Ìîäåë� îëèãîïîëè�ÿííû� óäåëüíà� ñåáåñòîèìîñò� � ìàêñèìàëüíû� îáúå� âûïóñê� ïðîèçâîäèòåë� a, D(p) − ôóíêöè� ñïðîñà. Ïîòðåáèòåë� − ìåëêèå, îí� îáðàçóþ� êîíòèíóóì, êàæäû� è� íè� ìîæå� êóïèò� îäí� åäèíèö� òîâàðà. Ïîòðåáèòåë� õàðàêòåðèçóåòñ� ðåçåðâíî� öåíî� r ≥ 0. Î� ïîêóïàåò, åñë� åì� äîñòàåòñ� òîâà� ï� öåí� p ≤ r � í� ïîêóïàå� � ïðîòèâíî� ñëó÷àå.
Îòâåò� í� ïîñòàâëåííû� âîïðîñ� îòíîñèòåëüí� óñëîâè� ðåàëèçàöè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� � îöåíê� îòêëîíåíè� î� íåã� çàâèñÿ� î� ìåõàíèçì� âçàèìîäåéñòâè� ìåæä� ïðîèçâîäèòåëÿì� � ïîòðåáèòåëÿìè. � êà÷åñòâ� ïðèìåð� òàêîã� ìåõàíèçì� ðàññìîòðè� îäíîñòîðîííè� àóêöèî� ïåðâî� öåíû. Ïðîèçâîäèòåëè-ïðîäàâö� îäíîâðåìåíí� � íåçàâèñèì� íàçíà÷àþ� öåí� sa ≥ ca í� ñâî� òîâàð. Ïîòðåáèòåëè-ïîêóïàòåë� âûñòðàèâàþòñ� � î÷åðåä� � ïîêóïàþ� ïðåäëîæåííû� òîâà� � ïîðÿäê� âîçðàñòàíè� öåí� � ó÷åòî� è� ðåçåðâíû� öåí. Ïð� ýòî� âàæå� ïîðÿäî� ïðèõîä� ïîêóïàòåëå� í� ðûíîê.
Ïðèìå� 19.1. Í� ðûíê� âçàèìîäåéñòâóþ� äâ� ïðîäàâö� � äâ� ãðóïï� ïîêóïàòåëå� ñ� ñëåäóþùèì� ïàðàìåòðàìè: s1 = 5, V 1 = 100; r1 = 6, D1 = 110; s2 = 7, V 2 = 50; r2 = 8, D2 = 40, ãä� sa − öåíà, íàçíà÷åííà� ïðîäàâöî� a, V a − ïðåäëîæåííû� ï� ýòî� öåí� îáúå� òîâàðà, ri − ðåçåðâíà� öåí� äë� ãðóïï� ïîêóïàòåëå� i, Di − îáúå� è� ñïðîñ� (êîòîðû� íåýëàñòè÷å� ïð� p < ri ). Åñë� í� ðûíî� ïåðâûì� ïðèõîäÿ� "áåäíûå"ïîêóïàòåë� (ò.å. � íèçêî� ðåçåðâíî� öåíîé), ò� îí� ïîêóïàþ� 100 åäèíè� ï� öåí� 5, � ïîòî� "áîãàòûå"êóïÿ� 40 åäèíè� ï� öåí� 7. Åñë� æ� í� ðûíî� ïåðâûì� ïðèõîäÿ� "áîãàòûå", ò� îí� ïîêóïàþ� 40 åäèíè� ï� öåí� 5, � ïîòî� "áåäíûå"ïîêóïàþ� 60 åäèíè� ï� öåí� 5. Î÷åâèäíî, ÷ò� ïðèáûë� âòîðîã� ïðîäàâö� ïð� ýòî� ñóùåñòâåíí� ìåíÿåòñÿ.
Äàëå� áóäå� ïðåäïîëàãàòü, ÷ò� ïîòðåáèòåë� � ðàçëè÷íûì� ðåçåðâíûì� öåíàì� r ðàñïðåäåëåí� � ñîîòâåòñòâè� � ïëîòíîñòü� ρ(r) − íåîòðèöàòåëüíî� ôóíêöèåé, èíòåãðèðóåìî� í� ïîëóïðÿìî� [0, ∞). Ýò� çíà÷èò, ÷ò� ïð� çàäàííî� öåí� p ≤ r � ìàëî� dr ïîòðåáèòåë� � ðåçåðâíûì� öåíàì� è� îòðåçê� [r, r + dr] êóïÿ� òîâà� � êîëè÷åñòâ� ρ(r)dr. Ïóñò� èìååòñ� òàêî� ÷èñë� M > 0, ÷ò� ïëîòíîñò� ρ(r) ïîëîæèòåëüí� í� èíòåðâàë� (0, M ), � ïîòðåáèòåë� � ðåçåðâíûì� öåíàì� r ≥ M èìåþ� äîïîëíèòåëüíó� âîçìîæíîñò� ïðèîáðåñò� òîâà� í� äðóãî� ðûíê� ï� ôèêñèðîâàííî� öåí� M.
205ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�Òîãä� ôóíêöè� ñïðîñ� èìåå� âè� R∞ρ(r)dr, p ∞D(p) = [0, R ρ(r)dr],⎩ M 0, p < M, p = M, p > M. Îòìåòèì, ÷ò� D(p) ìîæí� èíòåðïðåòèðîâàò� êà� îáùå� ÷èñë� ïîòðåáèòåëåé, æåëàþùè� ïðèîáðåñò� òîâà� ï� öåí� p. ßñíî, ÷ò� ôóíêöè� D(p) − óáûâàþùà� P� äèôôåðåíöèðóåìà� í� èíòåðâàë� (0, M ). Äàëå� áóäå� ñ÷èòàòü, ÷ò� V a > D+ (M ).
a:ca <M � ñäåëàííû� ïðåäïîëîæåíèÿ� ðàâíîâåñíà� öåí� p̃ îäíîçíà÷í� îïðåäåëÿåòñ� è� óñëîâè� D(p̃) ∈ [S − (p̃), S + (p̃)], ïðè÷å� D(p̃) > 0. Íàáî� öå� s = (sa , a ∈ A), óñòàíîâëåííû� ïðîèçâîäèòåëÿìè, îïðåäåëÿå� âåêòî� ôàêòè÷åñêîã� ïðåäëîæåíè� òîâàðà: PṼ (s) = (Ṽp (s), p ∈ P (s)), ãä� Ṽp (s) = V a − êîëè÷åñòâ� òîâàðà, a:sa =p ïðåäëîæåííî� ï� öåí� p, � P (s) − ìíîæåñòâ� íàçíà÷åííû� öåí. � îáùå� ñëó÷à� ïðîöåñ� ïðîäàæ� õàðàêòåðèçóåòñ� ôóíêöèå� îñòàòî÷íîã� ñïðîñà.
Ôóíêöè� îñòàòî÷íîã� ñïðîñ� D(p, Ṽ ) ïîêàçûâàåò, êàêî� îñòàòî÷íû� ñïðî� ï� öåí� p ïîñë� ïðîäàæ� âñå� îáúåìî� Ṽp� ï� öåíà� p� < p, p� ∈ P (s). Ðàññìîòðè� òð� êîíêðåòíû� âèä� ôóíêöè� îñòàòî÷íîã� ñïðîñà, ñâÿçàííû� � ïðàâèëàì� ðàöèîíèðîâàíèÿ, ò.å. � ïîðÿäêî� ïîòðåáèòåëå� � î÷åðåäè: 1. Ïðèîðèòå� ïîòðåáèòåëå� � áîëüøå� ðåçåðâíî� öåíîé: "#X1D (p, Ṽ ) = max 0, D(p) − Ṽp� . (19.10) p0 <p 2. Ïîòðåáèòåë� ðàâíîìåðí� ðàñïðåäåëåí� � î÷åðåä� � îñòàòî÷íû� ñïðî� ôîðìèðóåòñ� ï� ïðîïîðöèîíàëüíîì� ïðàâèëó: "#XD2 (p, Ṽ ) = D(p) max 0, 1 − Ṽp� /D(p0 ) . (19.11) p0 <p 3.
Ïðèîðèòå� ïîòðåáèòåëå� � íèçêî� ðåçåðâíî� öåíîé: � #� � � D3 (p, V ˜ ) = max 0, min D(p) − Ṽp� . p≤p 206 p≤p0 <p (19.12) 19. Ìîäåë� îëèãîïîëè�Óïðàæíåíè� 19.3. Äîêàæèò� ôîðìóë� (19.10-12). Ïð� ëþáî� ïîðÿäê� ïîòðåáèòåëå� � î÷åðåä� ñïðàâåäëèâ� ñîîòíîøåíè� D1 (p, Ṽ ) ≤ D(p, Ṽ ) ≤ D3 (p, Ṽ ), îçíà÷àþùåå, ÷ò� îñòàòî÷íû� ñïðî� óáûâàå� áûñòðå� âñåã� � ñëó÷à� 1 � ìåäëåííå� âñåã� − � ñëó÷à� 3.
Äàëå� ðàññìîòðè� ïðîèçâîëüíû� ïîðÿäî� ïîòðåáèòåëå� � î÷åðåäè, ñ÷èòàÿ, ÷ò� îñòàòî÷íû� ñïðî� õàðàêòåðèçóåòñ� ôóíêöèå� D(p, Ṽ ), óäîâëåòâîðÿþùå� ñëåäóþùè� íåðàâåíñòâàì: XXD(p) − Ṽp� ≤ D(p, Ṽ ) ≤ max[0, D(p, Ṽ ) − Ṽp� ] ∀ p < p. (19.13) p0 <p p≤p0 <p Ïîìèì� ýòîãî, ïîòðåáóåì, ÷òîá� ôóíêöè� D(p, Ṽ (s)) áûë� íåïðåðûâí� ï� ëþáî� ïåðåìåííî� sa � èíòåðâàë� 0 < sa < p ïð� ôèêñèðîâàííû� îñòàëüíû� ïåðåìåííûõ.
Ï� ôóíêöè� îñòàòî÷íîã� ñïðîñ� D(p, Ṽ ) äë� ëþáû� ñòðàòåãè� sa ïðîèçâîäèòåëå� îäíîçíà÷í� îïðåäåëÿåòñ� ìàêñèìàëüíà� ïðîäàæíà� öåí� p(s) = max{p ∈ P (s) | D(p, Ṽ (s)) > 0}, ïð� êîòîðî� îñòàòî÷íû� ñïðî� åù� ïîëîæèòåëåí. Îïðåäåëè� ïðàâèë� ðàñïðåäåëåíè� âåëè÷èí� D(p, Ṽ (s)) äë� ïðîèçâîäèòåëå� a, âûáðàâøè� sa = p(s). Ðàçîáüå� è� í� äâ� ãðóïïû: A1 = {a ∈ A | c a < sa = p(s)}, A2 = {a ∈ A | c a = s a = p(s)}.
P a Åñë� D(p(s), Ṽ (s)) <V , ò� âåñ� îñòàòî÷íû� ñïðî� ðàñïðåäåëÿåòa∈A1 ñ� ìåæä� ïðîèçâîäèòåëÿì� a ∈ A1 ïðîïîðöèîíàëüí� è� ìàêñèìàëüíû� îáúåìà� ïðåäëîæåíè� V a . Ïð� ýòî� ïðîèçâîäèòåë� a âûïóñêàå� ñâî� òîP aâà� � êîëè÷åñòâ� v̂ s = V a D(p(s), Ṽ (s))/V . � ñëó÷à� D(p(s), Ṽ (s)) ≥a∈A1 � a V ïðîèçâîäèòåë� a ∈ A1 âûïóñêàþ� ñâî� òîâà� � êîëè÷åñòâ� V a .
a∈A1 � � a � def Âåëè÷èí� îñòàòê� ñïðîñ� D̃(p(s), V ˜ (s)) = max 0, D(p(s), V ˜ (s)) − V a∈A1 ðàñïðåäåëÿåòñ� ìåæä� ïðîèçâîäèòåëÿì� a ∈ A2 ï� àíàëîãè÷íîì� ïðàâèëó. Èòàê, ïð� ðàñïðåäåëåíè� îñòàòî÷íîã� ñïðîñ� ïðèîðèòåòî� ïîëüçóþòñ� ôèðìû, äë� êîòîðû� ñåáåñòîèìîñò� íèæ� ïðîäàæíî� öåíû. Ïîñëåäíå� óñëîâè� ââîäèòñ� äë� òåõíè÷åñêîã� óäîáñòâà, ïîñêîëüê� îïðåäåëÿåìû� íèæ� ôóíêöè� âûèãðûø� ðàçðûâíû, � äàííà� ìîäåë� îïèñûâàå� ðàñïðåäåëåíè� ïîêóïàòåëå� ïð� ðàçíîñò� öåí, áëèçêî� � íóëþ. � êà÷åñòâ� 207ÃËÀÂ� IV.
ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�âûèãðûø� ïðîèçâîäèòåë� a ðàññìîòðè� åã� ïðèáûë�⎧(sa − ca )V a ,P ba aa V ],(s − c )V min[1, D(p(s), Ṽ (s))/b∈A1 au (s) = P ba aa (s− c)V min[1,D̃(p(s),Ṽ(s))/ V ],b∈A2 0, sa < p(s), a ∈ A1 , a ∈ A2 , sa > p(s). Òàêè� îáðàçîì, îïèñàí� ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöè� ïðîèçâîäèòåëå� DEa êà� èãð� � íîðìàëüíî� ôîðì� Γ = A, {s | sa ≥ ca }, ua (s), a ∈ A , ãä� èãðîê� a ∈ A − ôèðìû, ìíîæåñòâ� ñòðàòåãèé {sa | sa ≥ ca } − ìíîæåñòâ� öåí, êîòîðû� îí� ìîãó� íàçíà÷èòü, ôóíêöè� âûèãðûø� ua (s) îïðåäåëÿþ� ïðèáûë� ôèðì.
Èçâåñòíû� ìîäåë� ïîâåäåíè� � èãð� Γ − ýò� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó, ðåøåíè� ï� äîìèíèðîâàíèþ, ìîäåë� èãðîâî� äèíàìèê� (äèíàìèê� íàèëó÷øè� îòâåòîâ, àäàïòèâíû� äèíàìèêè). Ðàññìîòðè� ñíà÷àë� íåîáõîäèìû� óñëîâè� äë� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� îïèñàííî� èãðû. Óòâåðæäåíè� 19.3. Ïóñò� s − ðàâíîâåñè� ï� Íýøó, p̃ − öåí� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ. Òîãä� ñïðàâåäëèâ� îäí� è� ñëåäóþùè� äâó� óñëîâèé: 1) p(s) = p̃ � äë� êàæäîã� ïðîèçâîäèòåë� a, èìåþùåã� ca < p,˜ âûïîëa íåí� s = p.˜2) p(s) > p̃ � íàéäåòñ� åäèíñòâåííû� ïðîèçâîäèòåë� a, äë� êîòîðîã� ca < p(s) = sa , ïðè ýòîì ca ≤ p̃ (ñì. ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
