А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 43
Текст из файла (страница 43)
19.3).V 6V 6S(p)D(p)D(p) -p̃p(s)S(p) -pp̃ = p(s)pÐèñ. 19.3 Ðèñ. 19.4 PÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷ò� V a ≤ S − (p̃) ≤ D(p̃). Îòñþä� � a:ca <p̃è� ïåðâîã� íåðàâåíñòâ� (19.13) âûòåêàåò, ÷ò� êàæäû� ïðîèçâîäèòåë� a, 208 19. Ìîäåë� îëèãîïîëè�äë� êîòîðîã� ca < p,˜ ñìîæå� ïðîäàò� âåñ� ñâî� òîâà� ï� öåí� p.˜ Ïîýòîì� a äë� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� s min s ≥ p ˜ ⇒ p(s) ≥ p. ˜a∈A Ïóñò� p(s) = p̃.
Åñë� ca < p̃ < sa , ò� ïðîèçâîäèòåë� a íè÷åã� í� ïðîäàñò. Åì� âûãîäí� îòêëîíèòüñ� � âûáðàò� öåí� sa = p,˜ ïîëó÷è� ïîa a ëîæèòåëüíó� ïðèáûë� (ïðîòèâîðå÷èå). Èòàê, c < p̃ ⇒ s = p.˜Ïóñò� p(s) > p̃. Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� äë� íåêîòîðîã� ïðîèçâîäèòåë� a âûïîëíåí� ca ≤ sa < p(s). Ï� îïðåäåëåíè� p(s) î� ïðîäàñ� âåñ� ñâî� òîâà� � îáúåì� V a . Åñë� î� óâåëè÷è� öåí� ä� sa = sa +ε, ò� ïð� ìàëî� ε > 0 � ñèë� ñâîéñòâ� íåïðåðûâíîñò� îñòàòî÷íû� ñïðî� D(p(s||sa ), Ṽ (s||sa )) îñòàíåòñ� ïîëîæèòåëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäèòåë� a ïðîäàñ� òîâà� � îáúåì� V a � óâåëè÷è� ïðèáûë� (ïðîòèâîðå÷èå).
Èòàê, ca < p(s) ⇒ � a a s = p(s). Äàëåå, V ≥ D(p̃) > D(p(s)). Ïîýòîìó, åñë� ïðîèçâîäèa:ca <p(s) a òåëå� a, äë� êîòîðû� c < p(s), ï� ìåíüøå� ìåð� äâîå, ò� îí� í� ñìîãó� ðåàëèçîâàò� ïîëíîñòü� ñâî� îáúåì� ï� öåí� p(s). Îäíîì� è� íè� âûãîäí� îòêëîíèòüñ� � íàçíà÷èò� öåí� p(s)−ε. � ðåçóëüòàò� î� óâåëè÷è� ñâî� ïðèáûëü, ÷ò� ïðîòèâîðå÷è� îïðåäåëåíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Ñëåäñòâèå.
Åñë� íàéäóòñ� äâ� ïðîèçâîäèòåë� a, äë� êîòîðû� ca < p,˜� ñóùåñòâóå� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� s, ò� p(s) = p̃ (ñì. ðèñ. 19.4). Óïðàæíåíè� 19.4. � óñëîâèÿ� ïðåäûäóùåã� ñëåäñòâè� äîïîëíèòåëüí� ïðåäïîëîæèì, ÷ò� S + (p̃) > D(p̃) (ñì. ðèñ. 19.5).
Äîêàæèòå, ÷ò� äë� ïðîèçâîäèòåë� a, èìåþùåã� óäåëüíó� ñåáåñòîèìîñò� ca = p,˜ âûïîëíåí� a +íåðàâåíñòâ� V ≤ S (p̃) − D(p̃). V 6D(p)V 6D(p)S(p) ≡S(p)Pvaa∈A-p̃M-p p̃(v) Ðèñ.19.5 Mp Ðèñ.19.6 Òåïåð� ñôîðìóëèðóå� äîñòàòî÷íû� óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó. 209 ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�Óòâåðæäåíè� 19.4. Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� XV a − max V a ≥ D(p̃).
aa:c ≤p̃a:ca ≤p̃(19.14) Òîãä� ëþáà� ñèòóàöè� s, óäîâëåòâîðÿþùà� óñëîâèþ: sa = p̃, åñë� ca ≤ p,˜ ÿâëÿåòñ� ðàâíîâåñèå� ï� Íýøó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ï� óñëîâè� p(s) = p.˜ Ïðîèçâîäèòåë� a, äë� êîòîðû� sa ≥ ca > p,˜ íè÷åã� í� ïðîäàäóò. Îòêëîíÿòüñ� è� î� ñâîè� ñòðàòåãè� sa í� èìåå� ñìûñëà, ïîñêîëüê� è� ïðèáûë� îñòàíåòñ� íóëåâîé.
Ðàññìîòðè� òåïåð� ïðîèçâîäèòåëå� a, äë� êîòîðû� ca ≤ p.˜ Åñë� îäè� è� íè� óâåëè÷è� öåí� ä� sa = p̃ + ε, ò� íè÷åã� í� ïðîäàñò, òà� êà� ï� óñëîâè� (19.14) äðóãè� ïðåäñòàâèòåë� ýòî� ãðóïï� ïîëíîñòü� ïîêðîþ� ñïðî� ï� öåí� p̃ � îñòàòî÷íû� ñïðî� ï� öåí� p̃ + ε áóäå� íóëåâûì. Ïîýòîì� óâåëè÷èâàò� öåí� ïðîèçâîäèòåë� a íåâûãîäíî. Óìåíüøàò� å� (åñë� ca < p̃) òàêæ� í� èìåå� ñìûñëà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüê� XV a ≤ S − (p̃) ≤ D(p̃), a:ca <p̃ïðîèçâîäèòåë� a ñìîæå� ïðîäàò� âåñ� ñâî� îáúå� ï� öåí� p.˜ Èòàê, s −ðàâíîâåñè� ï� Íýøó.
Ââåäå� îáîçíà÷åíèå: c = max ca . aa:c <p̃Óòâåðæäåíè� 19.5. Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� S + (p̃) = S − (p̃) = D(p̃) � ñóùåñòâóþ� õîò� á� äâ� ïðîèçâîäèòåë� a1 � a2 , äë� êîòîðû� max[ca1 , ca2 ] < p̃(ñì. ðèñ. 19.4). 1) Ïóñò� D(p)(p − c) ≤ D(p̃)(˜p − c) ïð� p ∈ [p̃, M ] � D(p, Ṽ ) ≤ D(p)(1 − XṼp� /D(p0 )).
(19.15) p0 <p Òîãä� ëþáà� ñèòóàöè� s, óäîâëåòâîðÿþùà� óñëîâèþ: sa = p,˜ åñë� a c ≤ p,˜ ÿâëÿåòñ� ðàâíîâåñèå� ï� Íýøó. 2) Ïóñò� � íåêîòîðî� ïðàâî� ïîëóîêðåñòíîñò� òî÷ê� p̃ âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� D(p)(p − c) ≥ D(p̃)(˜p − c) � D(p, Ṽ ) ≥ D(p)(1 − Xp0 <p 210Ṽp� /D(p0 )), (19.16) 19. Ìîäåë� îëèãîïîëè�ïð� ýòî� õîò� á� îäí� è� íè� ñòðîãîå. Òîãä� � ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöè� í� ñóùåñòâóå� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó.
Äîêàçàòåëüñòâî. È� ðàâåíñòâ� S + (p̃) = S − (p̃) âûòåêàåò, ÷ò� í� ñóùåñòâóå� ïðîèçâîäèòåëå� a, äë� êîòîðû� ca = p.˜ Äàëåå, ðàâåíñòâ� Pa S(p̃) = V = D(p̃) îçíà÷àþò, ÷ò� ñïðî� ï� öåí� p̃ áóäå� óäîâëåòâîðå� a:ca <p̃ïîëíîñòüþ. Ïîýòîì� ïðîèçâîäèòåë� a, äë� êîòîðîã� sa ≥ ca > p,˜ íè÷åã� í� ïðîäàñò. Ñëåäîâàòåëüíî, p(s) = p.˜1) È� óñëîâè� ñëåäóåò, ÷ò� D(p)(p − ca ) ≤ D(p̃)(˜p − ca ) ïð� p ∈ [p̃, M ] äë� âñå� ïðîèçâîäèòåëå� a, èìåþùè� óäåëüíó� ñåáåñòîèìîñò� ca < p.˜Äåéñòâèòåëüíî, ïð� p > p̃ è� íåðàâåíñòâ� D(p)(p − c) ≤ D(p̃)(˜p − c) ïîëó÷àå� D(p)p − D(p̃)˜p ≤ c(D(p) − D(p̃)) ≤ c a (D(p) − D(p̃)). Îòñþä� D(p)(p − ca ) ≤ D(p̃)(˜p − ca ). Ðàññìîòðè� ïðîèçâîäèòåë� a, òàêîãî, ÷ò� ca < p.˜ Åì� íåâûãîäí� ñíèa æàò� öåí� s = p̃, ïîñêîëüê� î� ïðîäàñ� âåñ� ñâî� îáúå� V a � ï� öåí� p.˜a Åì� íåâûãîäí� âûáèðàò� � áîëå� âûñîêó� öåí� s > p,˜ òà� êà� u a (s||s a ) = (s a − c a )D(s a , Ṽ (s||s a )) ≤ (s a − c a )D(s a )(1 − Ṽp̃ (s||s a )/D(p̃)) = XX b= (s − c )D(s ) 1 − V /V b = a aab∈A\{a} = (s a − c a )D(s a )V a /Xb∈A V b ≤ (˜p − c a )D(p̃)V a /b∈AXV b = u a (s).
b∈A 2) Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� ñóùåñòâóå� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� s. Ðàññìîòðè� ïðîèçâîäèòåëÿ, èìåþùåã� óäåëüíó� ñåáåñòîèìîñò� ca = c < p.˜ Ïð� íàa çíà÷åíè� íîâî� öåí� s = p̃ + ε åã� ïðèáûë� áóäå� ðàâí� u a (s||s a ) = (s a − c)D(s a , Ṽ (s||s a )) ≥ (s a − c)D(s a )(1 − Ṽp̃ (s||s a )/D(p̃)) = = (s a − c)D(s a )V a /XV b ≥ (˜p − c)D(p̃)V a /b∈AXV b = u a (s), b∈A ïð� ýòî� îäí� è� ïîñëåäíè� äâó� íåðàâåíñò� âûïîëíåí� êà� ñòðîãîå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åí� ïðîòèâîðå÷è� � òåì, ÷ò� ñèòóàöè� s ÿâëÿåòñ� ðàâíîâåñèå� ï� Íýøó.
211 ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�Öåí� p∗ � íàáî� îáúåìî� v a , a ∈ A, îòâå÷àþùè� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� � ìîäåë� Êóðíî, íàçîâå� èñõîäî� ï� Êóðíî. È� äîêàçàòåëüñòâ� óòâåðæäåíè� 19.5 âûòåêàåò, ÷ò� � åã� óñëîâèÿ� èñõî� ï� Êóðí� í� ÿâëÿåòñ� ðàâíîâåñèå� ï� Íýø� � ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöèè, åñë� ìîæí� îäíîâðåìåíí� ìåíÿò� öåí� � îáúå� ïðåäëàãàåìîã� òîâàðà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñë� D(p) = K/p, ca ≡ c, V a ≡ V ≤ K(m−1)/(cm2 ), ò� ñîãëàñí� óòâåðæäåíè� 19.2, � ìîäåë� Êóðí� ñóùåñòâóå� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� v = (V, ..., V ) � öåíî� p∗ = p.˜ Í� ï� âòîðî� ÷àñò� óòâåðæäåíè� 19.5 � ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöè� s = (p∗ , ..., p∗ ) í� ÿâëÿåòñ� ñèòóàöèå� ðàâíîâåñèÿ. Ðàññìîòðè� òàêæ� ìîäåë� � ïîñëåäîâàòåëüíû� âûáîðî� öå� � îáúåìîâ.
Ïóñò� í� ïåðâî� ýòàï� ïðîèçâîäèòåë� îäíîâðåìåíí� íàçíà÷àþ� öåí� sa ≥ ca , � í� âòîðî� îïðåäåëÿþ� îáúåì� âûïóñê� v a ∈ [0, V a ], çíà� öåí� sa , a ∈ A. Ïîêàæåì, ÷ò� í� âòîðî� ýòàï� îïòèìàëüíû� âûáî� (ðåøåíè� ï� äîìèíèðîâàíèþ) ñîîòâåòñòâóå� îáúåìà� ïðîäà� � ðàññìîòðåííî� ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöèè.
Äåéñòâèòåëüíî, çàìåòèì, ÷ò� � ýòî� ìîäåë� ôóíêöè� âûèãðûø� ïðîèçâîäèòåë� a ua í� óáûâàå� ï� ïàðàìåòð� V a ïð� ôèêñèðîâàííû� îñòàëüíû� ïåðåìåííûõ. Ïîýòîì� ñòðàòåãè� èãðîê� a (sa , V a ) ñëàá� äîìèíèðóå� ëþáó� åã� ñòðàòåãè� (sa , v a ), ãä� v a < V a . Òàêè� îáðàçîì, äàííû� ñëó÷à� äâóõýòàïíî� èãð� ýêâèâàëåíòå� ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöèè. Ïðåäïîëîæè� òåïåðü, ÷ò� öåí� � îáúåì� âûáèðàþòñ� � îáðàòíî� ïîðÿäêå: í� ïåðâî� ýòàï� ïðîèçâîäèòåë� óñòàíàâëèâàþ� ôèêñèðîâàííû� îáúåì� v a ∈ [0, V a ], � í� âòîðî� − öåí� sa ≥ ca , çíà� îáúåì� v a , a ∈ A. Ïðèáûëü, ïîëó÷àåìà� ïðîèçâîäèòåëå� a ðàâí� v̂ a sa −ca v a , ãä� v̂ a − îáúå� ðåàëèçîâàííî� ïðîäóêöèè, îïðåäåëÿåìû� (îñòàòî÷íûì) ñïðîñî� ï� öåí� sa .
Çàìåòèì, ÷ò� í� âòîðî� ýòàï� îïòèìèçàöè� ýòî� ïðèáûë� í� çàâèñè� î� èçäåðæå� ca v a ( îáúåì� v a áûë� âûáðàí� í� ïåðâî� ýòàï� � í� ìåíÿþòñÿ). Ïîýòîì� í� âòîðî� ýòàï� èãðîê� ôàêòè÷åñê� äåéñòâóþ� � ðàìêà� ìîäåë� öåíîâî� êîíêóðåíöè� � íóëåâûì� óäåëüíûì� ñåáåñòîèìîñòÿìè. Òîãä� ñïðàâåäëèâ� ñëåäóþùå� óòâåðæäåíèå. Óòâåðæäåíè� 19.6. P 1) aÏóñò� ïð� äîñòàòî÷í� ìàëû� p âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� D(p) >V . Åñë� e(D(p)) ≥ 1 ïð� p ∈ [p̃, M ] � äë� a∈A ôóíêöè� îñòàòî÷íîã� ñïðîñ� âûïîëíåí� óñëîâè� (19.15), ò� ñîâåðøåííû� ïîäûãðîâû� ðàâíîâåñè� � ðàññìàòðèâàåìî� äâóõýòàïíî� èãð� îäíîçíà÷í� ñîîòâåòñòâóþ� ðàâíîâåñèÿ� � ìîäåë� Êóðíî.
2) Ïóñò� äë� ôóíêöè� ñïðîñ� � îñòàòî÷íîã� ñïðîñ� ïð� p ∈ [p̃, M ] âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� D(p)p ≥ D(p̃)˜p � (19.16), ïðè÷å� õîò� á� îäí� è� 212 20. Íàëîãîâî� ðåãóëèðîâàíè�íè� ñòðîãîå. Òîãä� ñîâåðøåííîã� ïîäûãðîâîã� ðàâíîâåñè� � äâóõýòàïíî� èãð� í� ñóùåñòâóåò. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñò� âûáðàí� v a , a ∈ A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
