А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ðàññìîòðè� ýêîíîìèê� � àíàëîãè÷íî� òåõíîëîãè÷åñêî� ñòðóêòóðîé, í� � óñëîâèÿ� öåíòðàëèçîâàííîã� ïëàíèðîâàíèÿ. Ïîêàæåì, ÷ò� äë� öåíòðàëèçîâàíí� óïðàâëÿåìî� ýêîíîìèê� îïòèìàëüíû� ïëà� ñîîòâåòñòâóå� 194 18. Ìîäåë� äâóõîòðàñëåâî� ýêîíîìèê�ñîñòîÿíè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ. Ðàññìàòðèâàå� ò� æ� ìîäåë� � äâóì� îòðàñëÿìè.
Ïëàíîâû� îðãà� óñòàíàâëèâàå� çàäàíè� äë� êàæäîã� ïðåäïðèÿòèÿ. Ïëàíîâî� çàäàíè� äë� aïðåäïðèÿòè� a äîáûâàþùå� îòðàñë� îáîçíà÷è� êà� V , � äë� ïðåäïðèÿbòè� b ïåðåðàáàòûâàþùå� îòðàñë� êà� W . Äîëæå� ñîáëþäàòüñ� áàëàíñ, ò.å. ñóìì� äîáûòîã� ñûðü� äîëæí� ðàâíÿòüñ� ñóìì� ïåðåðàáîòàííîã� ñûðüÿ, � òàêæ� äîëæí� ñîáëþäàòüñ� îãðàíè÷åíè� í� ìîùíîñòè: Xb W = Xa a b V , V ≤ V a , a ∈ A, W ≤ W b , b ∈ B. (18.1) a∈A b∈BabÍàáî� (V , a ∈ A, W , b ∈ B), óäîâëåòâîðÿþùè� ñèñòåì� (18.1), íàçûâàåòñ� äîïóñòèìû� ïëàíîì. Çàäà÷� öåíòðàëèçîâàííîã� ïëàíèðîâàíè� − íàéò� îïòèìàëüíû� ïëàí, ò.å.
äîïóñòèìû� ïëàí, ìàêñèìèçèðóùè� äîõî� ñòðàí� î� ïðîèçâîäñòâ� � ýêñïîðò� ïðîäóêòà. Äîõîä, ñîîòâåòñòâóþùè� äîïóñòèìîì� ïëàí� ab (V , a ∈ A, W , b ∈ B), ðàâå� q� W b b∈Bdb !− � aa c V − a∈A� b∈Bb b W c̃ b d= � b r b W − � a c a V . a∈A b∈BÏîñêîëüê� ýêîíîìèê� − öåíòðàëèçîâàííàÿ, ò� âíóòðåííè� öå� ìîæå� � í� áûòü. Óòâåðæäåíè� 18.1. Îïòèìàëüíû� ïëà� ñîîòâåòñòâóå� ñîñòîÿíè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ, ò.å.
äë� êàæäîã� ïðåäïðèÿòè� íàä� óñòàíîâèò� çàäàíèå, êîòîðî� ñîîòâåòñòâóå� îáúåì� âûïóñê� ýòîã� ïðåäïðèÿòè� � óñëîâèÿ� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóå� öåí� p ∈ [c1 , r1 ] � äë� äîïóñòèìîã� abïëàí� (V , a ∈ A, W , b ∈ B) çàïèøå� äîõî� � âèä� Xa (p − c a )V +a∈AXb (r b − p)W .
b∈B Áå� ïîòåð� îáùíîñò� áóäå� ñ÷èòàòü, ÷ò� Xdef V l ≥ W (p) = l:p≥cl Xl:p≤r l 195 W l . (18.1) ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�Îïðåäåëè� öåëî� k è� óñëîâè� kXl V < W (p) ≤ l=1 Åñë� k = 0, ò� óñëîâí� ïîëàãàå� k+1XV l . l=1 0PV l = 0 � ïåðâî� (ñòðîãîå) íåðàâåíl=1 ñòâ� çäåñ� îòñóòñòâóåò. Òîãä� ïëàí, ìàêñèìèçèðóþùè� äîõî� (18.1) ïð� ôèêñèðîâàííî� p, îïðåäåëÿåòñ� ï� ôîðìóëà� ⎧ 0, p < ca , � p ≥ ca , a ≤ k, V a ,0,rb < p,a b k� V = W =W (p) − V l , p ≥ ca , a = k + 1,W b , rb ≥ p.
l=1⎩ 0,p ≥ ca , a > k + 1, Ñîîòâåòñòâóþùà� âåëè÷èí� äîõîä� ðàâí� ïëîùàä� ôèãóðû, îãðàíè÷åííî� îñü� öåí, ãîðèçîíòàëüíî� ëèíèå� V = W (p) � ãðàôèêàì� ôóíêöè� ñïðîñ� � ïðåäëîæåíè� (ñì. ðèñ. 18.5, ãä� p = r2 , W (p) = W 1 +W 2 , k = 2). Ïëîùàä� ýòî� ôèãóð� ìàêñèìàëüíà� ïð� p = p.˜Îáñóäè� ýòî� ðåçóëüòàò.
Óòâåðæäåíè� ãîâîðè� � òîì, ÷ò� � öåíòðàëèçîâàíí� óïðàâëÿåìî� ýêîíîìèê� ìàêñèìàëüíà� îáùà� ïðèáûë� òàêà� æå, êà� � � ñîñòîÿíè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ. Âîçíèêàå� âîïðîñ: çà÷å� âñ� ýò� ïåðåõîä� î� êàïèòàëèçì� � ñîöèàëèçì� � îáðàòíî, åñë� � òà� � òà� íàèëó÷øè� ðåçóëüòà� îäèíàêîâûé? Äåë� � òîì, ÷ò� � óñëîâèÿ� öåíòðàëèçîâàííîã� óïðàâëåíè� îïòèìàëüíû� ïëà� í� óäàåòñ� ðåàëèçîâàò� í� ïðàêòèêå. Ïëàíîâû� îðãà� äîëæå� èìåò� ïðàâäèâó� èíôîðìàöè� î� èçäåðæêà� � îáúåìà� ïðîèçâîäñòâà. Í� ïðåäïðèÿòè� í� çàèíòåðåñîâàí� � ïðåäîñòàâëåíè� ïðàâäèâî� èíôîðìàöèè. Ïð� ïëàíîâî� ýêîíîìèê� ñíèæàåòñ� òàêæ� êà÷åñòâ� ïðîäóêöèè, � çíà÷è� ðàñòó� èçäåðæê� ïðîèçâîäñòâ� � ïîñëåäóþùè� çâåíüÿ� òåõíîëîãè÷åñêî� öåïè.
×ò� êàñàåòñ� ðûíî÷íî� ýêîíîìèêè, ò� îí� ìîæå� îáåñïå÷èò� îïòèìàëüíû� ðåçóëüòàò, åñë� ñêëàäûâàåòñ� êîíêóðåíòíî� ðàâíîâåñèå. Êà� ì� ïîêàçàëè, äåéñòâè� ìîíîïîëèè, ìàêñèìèçèðóþùå� ïðèáûëü, ïðèâîäÿ� � çíà÷èòåëüíû� îòêëîíåíèÿ� î� ýòîã� îïòèìàëüíîã� ðåçóëüòàòà. Ðåàëüíû� ðûíê� îáû÷í� í� ÿâëÿþòñ� ìîíîïîëüíûìè, � íè� ó÷àñòâóþ� íåñêîëüê� àãåíòî� � êàæäî� ñòîðîíû. Âàæíà� òåîðåòè÷åñêà� ïðîáëåì� − îöåíê� 196 19. Ìîäåë� îëèãîïîëè�âîçìîæíîã� îòêëîíåíè� î� ñîñòîÿíè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� äë� òàêè� ðûíêîâ. Äë� å� èññëåäîâàíè� ðàçðàáîòàí� ìîäåë� íåñîâåðøåííî� êîíêóðåíöèè, èë� îëèãîïîëèè, ðàññìàòðèâàåìû� � ñëåäóþùå� ïàðàãðàôå.
19. Ìîäåë� îëèãîïîëè� Ââåäåííî� âûø� ïîíÿòè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� õàðàêòåðèçóåòñ� ñëåäóþùèì� ñâîéñòâàìè. 1. Òîâà� í� ðûíê� ïðîäàåòñ� ï� åäèíî� öåíå. 2. Êàæäû� ïðîèçâîäèòåë� � ïîòðåáèòåë� îïðåäåëÿå� îáúå� ïðåäëîæåíè� (ñîîòâåòñòâåííî, ñïðîñà), ìàêñèìèçèðó� ñâî� ïðèáûë� (ïîëåçíîñòü) ïð� äàííî� öåíå. 3. Öåí� óñòàíàâëèâàåòñ� òàêè� îáðàçîì, ÷ò� áàëàíñèðóå� ñïðî� � ïðåäëîæåíèå.
Ðàññìîòðè� òåïåð� ìîäåë� ðûíêà, í� êîòîðî� äåéñòâóå� íåñêîëüê� ïðîèçâîäèòåëå� òîâàðà, êàæäû� è� êîòîðû� îáëàäàå� îïðåäåëåííûì� âîçìîæíîñòÿì� âëèÿò� í� ðûíî÷íó� öåí� � ó÷èòûâàå� ýò� âîçìîæíîñò� ïð� âûáîð� ñâîå� ñòðàòåãèè. Ïîòðåáèòåëå� ïî-ïðåæíåì� ñ÷èòàå� ìåëêèìè: îòäåëüíû� ïîòðåáèòåë� í� îêàçûâàå� âëèÿíè� í� ïàðàìåòð� ðûíêà. Ðûíî� � òàêî� ñòðóêòóðî� íàçûâàåòñ� îëèãîïîëèåé. Öåë� èññëåäîâàíè� ýòî� ìîäåë� − îòâåòèò� í� ñëåäóþùè� âîïðîñû: Ïð� êàêè� óñëîâèÿ� í� ñòðóêòóð� îòðàñëè-ïðîèçâîäèòåë� òîâàð� ðûíî� ïðèäå� � ñîñòîÿíè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ? Êà� çàâèñè� îòêëîíåíè� î� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� (ï� öåí� � îáúåìà� âûïóñêà) î� ñòðóêòóð� îòðàñëè? Íàñêîëüê� ýôôåêòèâí� àíòèìîíîïîëüíî� çàêîíîäàòåëüñòâ� � êàêè� ìåð� ðåãóëèðîâàíè� ìîæí� ïðåäëîæèò� äë� ïîâûøåíè� ýôôåêòèâíîñò� ðûíêà? Ìîäåë� îëèãîïîëè� ï� Êóðí� Ðàññìàòðèâàåòñ� îòðàñë� ýêîíîìèêè, âûïóñêàþùà� îäíîðîäíû� òîâàð.
� îòðàñë� âõîäè� m ïðåäïðèÿòèé-ïðîèçâîäèòåëåé, êàæäî� è� êîòîðû� õàðàêòåðèçóåòñ� ïîñòîÿííûì� óäåëüíûì� ñåáåñòîèìîñòÿì� ca � ìàêñèìàëüíû� îáúåìî� ïðîèçâîäñòâ� V a , a ∈ A = {1, ..., m}. Çàäàí� îäíîçíà÷íà� ôóíêöè� ñïðîñ� í� òîâà� D(p), ïðè÷å� D(p) óáûâàå� ï� p � D(p) → 0 ïð� p → ∞. Õàðàêòåðíû� ïðèìåðî� ôóíêöè� ñïðîñ� ÿâëÿåòñ� ôóíêöè� âèä� D(p) = K/pα , α > 0. (19.1) Ñòðàòåãèå� ïðåäïðèÿòè� a ∈ A ÿâëÿåòñ� îáúå� âûïóñê� v a ∈ [0, V a ]. Öå197ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�í� í� ðûíê� óñòàíàâëèâàåòñ� òàêè� îáðàçîì, ÷òîá� ôàêòè÷åñêî� ïðåäP a ëîæåíè� òîâàð� v ñîîòâåòñòâîâàë� ñïðîñ� í� íåãî.
Îáîçíà÷è� ÷åðå� a∈A v = (v a , a ∈ A) âåêòî� âûïóñê� òîâàðà. Òîãä� öåí� í� ðûíê� áóäå� ðàâí� !p(v) = D−1 Xv a . (19.2) a∈A Ïðèáûë� ïðîèçâîäèòåë� a çàâèñè� î� âåêòîð� âûïóñêî� v � îïðåäåëÿåòñ� êà� u a (v) = v a (p(v) − c a ). (19.3) Ïð� âûáîð� îáúåì� âûïóñê� êàæäî� ïðåäïðèÿòè� ñòðåìèòñ� ìàêñèìèçèðîâàò� ñâî� ïðèáûëü. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷ò� � îäíî� ñòîðîíû, åñë� ðàçíîñò� öåí� � óäåëüíî� ñåáåñòîèìîñò� ïîëîæèòåëüíà, ò.å. p(v) − ca > 0, ò� ïðèáûë� âîçðàñòàå� � óâåëè÷åíèå� îáúåì� ç� ñ÷å� ïåðâîã� ñîìíîæèòåë� v a . Í� � äðóãî� ñòîðîíû, öåí� óáûâàå� � óâåëè÷åíèå� îáúåì� âûïóñê� � ñèë� (19.2). Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöè� ñïðîñ� D(p) ïðåäïîëàãàåòñ� óáûâàþùå� � îáðàòíà� � íå� ôóíêöè� D−1 (V ) òàêæ� óáûâàåò.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèáûë� ìîæå� óáûâàò� � óâåëè÷åíèå� îáúåì� âûïóñê� ç� ñ÷å� âòîðîã� ñîìíîæèòåë� � (19.3). Îòìåòèì, ÷ò� � òî÷ê� v = 0 ôóíêöè� ua (v) èìåþ� îñîáåííîñòü. Åñòåñòâåíí� îïðåäåëèò� ua (0) = 0. Ì� îïèñàë� âçàèìîäåéñòâè� ïðîèçâîäèòåëå� � âèä� èãð� � íîðìàëüíî� ôîðìå: � � NΓ = A, [0, V a ], ua (v), v ∈ [0, V a ], a ∈ A , a∈A ãä� A − ìíîæåñòâ� èãðîêî� (ïðîèçâîäèòåëå� òîâàðà), [0, V a ] − ìíîæåñòâ� äîïóñòèìû� ñòðàòåãè� èãðîê� a (ìíîæåñòâ� äîïóñòèìû� îáúåìî� âûïóñêà), ua (v) − âûèãðû� (ïðèáûëü) èãðîê� a.
Îòìåòèì, ÷ò� åñë� lim D−1 (V )V > 0, ò� ôóíêöè� V →0+ ua (0||v a ) = v a (D−1 (v a ) − ca ) ðàçðûâí� � òî÷ê� v a = 0. � ýòî� ñëó÷à� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� � èãð� Γ ìîæå� í� ñóùåñòâîâàò� (ñì. íèæ� óïðàæíåíè� 19.1). Ïîèñ� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� äë� ìîäåë� Êóðí� Íàéäå� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� äë� ýòî� èãðû, ò.å. òàêî� íàáî� ñòðàòåãè� 198 19. Ìîäåë� îëèãîïîëè�v = (v a , a ∈ A), ÷ò� êàæäî� ïðåäïðèÿòè� âûïóñêàå� îáúå� òîâàð� !!Xv a ∈ Arg amax a v a D−1 v b + v a − c a . (19.4) v ∈[0,V ] b∈A\{a} Îáîçíà÷è� ÷åðå� u0va (v) ÷àñòíó� ïðîèçâîäíó� ôóíêöè� ua (v) ï� ïåðåìåííî� v a � òî÷ê� v.
Ëåìì� 19.1. Åñë� v − ðàâíîâåñè� ï� Íýøó, ò� v =6 0 � âûïîëíåí� ñëåäóþùè� íåîáõîäèìû� óñëîâèÿ: 1) v a = 0 ⇒ u0va (v) ≤ 0; 2) v a ∈ (0, V a ) ⇒ u0va (v) = 0; 3) v a = V a ⇒ u0va (v) ≥ 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷ò� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� v í� ìîæå� áûò� íóëåâîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷ò� v = 0 − ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
