А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

ëÿåòñ� íåîòðèöàòåëüíîñò� âòîðî� ïðîèçâîäíî� C(V Áóäå� ïðåäïîëàãàòü, ÷ò� ôóíêöè� èçäåðæå� C(V ) îáëàäàå� ñëåäóþùèì� ñâîéñòâàìè: C1 ìîíîòîíí� âîçðàñòàå� ï� V ; C2 C(0) = 0; C3 ÿâëÿåòñ� âûïóêëî� ôóíêöèåé; C4 Ċ− (V ) → ∞ ïð� V → ∞. Îáñóäè� ñâîéñòâ� C1-C4 � ïðàêòè÷åñêî� òî÷ê� çðåíèÿ. Ïåðâî� ñâîéñòâ� î÷åâèäíî: ÷å� áîëüø� îáúå� âûïóñêà, òå� áîëüø� îáùè� èçäåðæêè. Âòîðî� óñëîâè� êàæåòñ� îãðàíè÷èòåëüíûì, òà� êà� � ïðåäïðèÿòè� ìîãó� áûò� ïîñòîÿííû� èçäåðæêè. Îäíàê� ýò� èçäåðæê� í� èãðàþ� ðîë� ïð� ðàñ÷åò� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� (ñì.

íèæå), � èíâåñòèöèîííû� ïðîöåññ� ì� í� ðàññìàòðèâàåì. Òðåòü� � ÷åòâåðòî� ñâîéñòâ� îçíà÷àþò, ÷ò� óäåëüíû� èçäåðæê� Ċ+ (V ) ðàñòó� � ñòðåìÿòñ� � áåñêîíå÷íîñò� � óâåëè÷åíèå� îáúåì� âûïóñêà. � ò� æ� âðåì� è� ïðîèçâîäñòâåííî� ïðàêòèê� èçâåñòíî, ÷ò� ïð� ïåðåõîä� î� îïûòíîã� ïðîèçâîäñòâ� � ìàññîâîì� âûïóñê� âîçíèêàå� ýôôåê� ìàñøòàáà, ò.å. óäåëüíû� èçäåðæê� óáûâàþ� � ðîñòî� îáúåì� âûïóñêà. Îäíàêî, äàííû� ýôôåê� âîçíèêàå� òîãäà, êîãä� ïðåäïðèÿòè� ìåíÿå� ñòðóêòóð� îñíîâíû� ôîíäîâ. Ðàññìàòðèâàåìà� çäåñ� ìîäåë� îòðàæàå� ðàáîò� ïðåäïðèÿòè� � ñòàöèîíàðíû� óñëîâèÿõ. Äàäè� ôîðìàëüíî� îáîñíîâàíè� ñâîéñòâ� C3.

Îòìåòèì, ÷ò� ðàññìàòðèâàåìû� âåëè÷èí� (ìàêñèìàëüíû� îáúå� âûïóñêà, ðåàëüíû� îáúåì, èçäåðæêè) îòíîñÿòñ� � íåêîòîðîì� ôèêñèðîâàííîì� ïåðèîä� âðåìåíè. Ðàññìîòðè� äâ� òåõíîëîãèè, õàðàêòåðèçóþùèåñ� îáúåìàì� âûïóñê� V1 � V2 . Áóäå� ÷åðåäîâàò� ýò� òåõíîëîãè� (ïóñò� äîë� âðåìåí� t èñïîëüçóåòñ� îäí� òåõíîëîãèÿ, � äîë� âðåìåí� (1 − t) − äðóãàÿ). Òàêè� îáðàçîì, ì� âûïóñòè� îáúå� tV1 + (1 − t)V2 � èçäåðæêàì� tC(V1 ) + (1 − t)C(V2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, C(tV1 + (1 − t)V2 )) ≤ tC(V1 ) + (1 − t)C(V2 ). Óïðàæíåíè� 16.1. Êàêè� ðåàëüíû� ôàêòîð� í� ó÷òåí� � ýòî� ðàññóæäåíèè? 177 ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�Äë� ôóíêöè� ñåáåñòîèìîñò� C a (V ), óäîâëåòâîðÿþùå� óñëîâèÿ� C1C4, ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� ïðåäïðèÿòè� îïðåäåëÿåòñ� êà� S a (p) = Arg max(pV − C a (V )), V ≥0 ãä� pV −C a (V ) − ôóíêöè� ïðèáûëè.

Çàìåòèì, ÷ò� çäåñ� íå� îãðàíè÷åíè� ñâåðõ� í� îáúå� V âûïóñêàåìîã� òîâàðà. Óòâåðæäåíè� 16.1. Åñë� ôóíêöè� C a (V ) óäîâëåòâîðÿå� ñâîéñòâà� C1 − C4, ò� ôóíêöè� S a (p) óäîâëåòâîðÿå� ñëåäóþùè� ñâîéñòâàì: S1 S a (0) = 0; S2 äë� êàæäîã� p ìíîæåñòâ� S a (p) âûïóêë� � îãðàíè÷åíî, � ãðàôè� îòîáðàæåíè� S a (p) Gr(S a (p)) = {(p, V ) | p ≥ 0, V ∈ S a (p)} çàìêíóò; S3 S a (p) í� óáûâàå� ï� p , ò.å.

äë� ëþáû� p < p� � äë� ëþáû� V ∈ S a (p), V � ∈ S a (p0 ) âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� V ≤ V 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. S1. Î÷åâèäíî, ïîñêîëüê� ïð� íóëåâî� öåí� ïðîèçâîäñòâ� òîâàð� í� âûãîäíî. S2. Ôóíêöè� pV − ëèíåéíà� ï� V , � C a (V ) − âûïóêëàÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöè� pV − C a (V ) ÿâëÿåòñ� âîãíóòîé. Ìíîæåñòâ� òî÷å� ìàêñèìóì� � âîãíóòî� ôóíêöè� âûïóêëî. S a (p) åñò� ìíîæåñòâ� òî÷å� ìàêñèìóì� íåïðåðûâíî� ôóíêöè� pV − C a (V ).

Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâ� S a (p) çàìêíóòî. Ï� ñâîéñòâ� C4 ôóíêöè� èçäåðæå� C(V ) ðàñòå� áûñòðå� ëþáî� ëèíåéíî� ôóíêöèè. Ïîýòîì� ïð� ëþáî� p > 0 íàéäåòñ� òàêà� âåëè÷èí� V (p), ÷ò� pV − C a (V ) < 0 ∀ V ≥ V (p). Îòñþä� âûòåêàå� îãðàíè÷åííîñò� ìíîæåñòâ� S a (p). S3. Âîçüìå� p < p� � çàôèêñèðóå� ïðîèçâîëüíû� V ∈ S a (p), � V ∈ S a (p0 ). Åñë� V � = 0, ò� íåîáõîäèì� Ċ+ (0) ≥ p� > p. Ñëåäîâàòåëüíî, S a (p) = {0} � óòâåðæäåíè� äîêàçàíî. Ïóñò� V > 0, V � > 0.

Òîãä� è� óñëîâè� ìàêñèìóì� ôóíêöè� ïðèáûë� âûòåêàþ� íåðàâåíñòâ� Ċ−a (V ) ≤ p ≤ Ċ+a (V ), Ċ−a (V 0 ) ≤ p� ≤ Ċ+a (V 0 ). Îòñþä� � ó÷åòî� p < p� íàõîäè� Ċ−a (V ) < Ċ+a (V 0 ). È� âûïóêëîñò� ôóíêöè� C a (V ) ñëåäóå� íåðàâåíñòâ� V ≤ V 0 . Ãðàôè÷åñêè� ìåòî� ïîñòðîåíè� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� 1) Ïóñò� C a (V ) − ãëàäêà� ôóíêöèÿ. Åñë� ìàêñèìó� ïðèáûë� äîñòèãàåòñ� â� âíóòðåííå� òî÷ê� V ∗ > 0, ò� p = Ċ a (V ∗ ) ⇒ V ∗ = (Ċ a )−1 (p) = S a (p). Åñë� ìàêñèìó� äîñòèãàåòñ� � íóëå, ò� p ≤ Ċ a (0). Ïð� p = Ċ a (0) S a (p) = [0, S a+ ], ãä� S a+ = sup{V | Ċ a (V ) = Ċ a (0)}.

178Ÿ 16. Ìîäåë� íåðåãóëèðóåìû� ðûíêî�Ñòðîè� ãðàôè� îáðàòíî� ôóíêöè� (Ċ a )−1 (p). Äë� ýòîã� îòîáðàçè� ãðàôè� ôóíêöè� Ċ a (V ) ñèììåòðè÷í� îòíîñèòåëüí� áèññåêòðèñû. Í� îñ� p ñîåäèíè� íîë� � òî÷êî� Ċ a (0) � ïîëó÷è� ãðàôè� ôóíêöè� S a (p). 2) � íåãëàäêî� ôóíêöèå� ïîñòóïàå� àíàëîãè÷íî: ñêà÷êà� ôóíêöè� Ċ a (V ) áóäó� ñîîòâåòñòâîâàò� ãîðèçîíòàëüíû� îòðåçê� í� ãðàôèê� ôóíêöè� S a (p). Ïðèìå� 16.1. Ôóíêöè� èçäåðæå� çàäàí� ñëåäóþùè� îáðàçîì: C a (V ) 6⎧ 0 ≤ V < 2,⎨ V /2, aC (V ) = V − 1, 2 ≤ V < 3, ⎩ 3V /9 − 1, V ≥ 3.

� -V Ðèñ. 16.3 Òðåáóåòñ� ïîñòðîèò� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� S a (p). 1) Ñòðîè� ôóíêöè� Ċ a (V ): Ċ a6 (V )⎧ 0 < V < 2,⎨ 1/2, aĊ (V ) = 1, 2 < V < 3, ⎩ 2V /3, V ≥ 3. ...................................... ..-VÐèñ. 16.4 2) Ñòðîè� ôóíêöè� S a (p) êà� îáðàòíó� � Ċ a (V ): 179 ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�⎧0,[0, 2],2,S a (p) =[2, 3],3,√3p,0 ≤ p < 1/2,p = 1/2,1/2 < p < 1,p = 1,1 < p < 3,p ≥ 3.Sa6 (p)......................................

..-pÐèñ. 16.5 Óïðàæíåíè� 16.2. Íàéäèò� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� S a (p) ï� çàäàííî� ôóíêöè� èçäåðæå� C a (V ) = max[V, V 2 ]. Ôóíêöè� ñïðîñ� Ì� îïèñàë� ïîâåäåíè� ïðîèçâîäèòåëåé. Îáðàòèìñ� òåïåð� � äðóãî� ñòîðîí� ðûíê� � ðàññìîòðè� ïîâåäåíè� âòîðî� ãðóïï� àãåíòîâ, äåéñòâóþùè� í� ðûíêå, − ïîòðåáèòåëåé. Ïóñò� B − ìíîæåñòâ� ïîòðåáèòåëå� òîâàðà; b ∈ B − êîíêðåòíû� ïîòðåáèòåëü, êîòîðû� õàðàêòåðèçóåòñ� ôóíêöèå� ñïðîñ� Db (p), óêàçûâàþùåé, êàêî� îáúå� òîâàð� ãîòî� êóïèò� ïîòðåáèòåë� b ï� öåí� p. Îáùå� õàðàêòåðèñòèêî� ïîâåäåíè� âñåã� ìíîæåñòâ� ïðèñóòñòâóþùè� í� ðûíê� ïîòðåáèòåëå� ÿâëÿåòñ� ñóììàðíà� Pôóíêöè� ñïðîñà, êîòîðà� îïðåäåëÿåòñ� ñëåäóþùè� îáðàçîì: D(p) = Db (p). Äë� íà÷àë� ðàññìîòðè� b∈B íåñêîëüê� ïðèìåðî� ôóíêöè� ñïðîñ� îòäåëüíîã� ïîòðåáèòåëÿ.

Ïðèìå� 16.2. Ïóñò� K b − äåíåæíû� êàïèòà� ïîòðåáèòåë� b. Ïîòðåáèòåë� òðàòè� âåñ� êàïèòà� í� ïîêóïê� òîâàðà, òîãä� Db (p) = K b /p. Ïðèìå� 16.3. Êà� � � ïðåäûäóùå� ïðèìåðå, ïîòðåáèòåë� b õàðàêòåðèçóåòñ� ðàçìåðî� èìåþùåãîñ� � íåã� äåíåæíîã� êàïèòàë� K b . Îòëè÷è� ñîñòîè� � òîì, ÷ò� ïîòðåáèòåë� ìîæå� ïîòðàòèò� ñâî� êàïèòà� í� òîëüê� í� ýòî� ðûíê� òîâàðà, í� � íåã� åñò� âîçìîæíîñò� ïîêóïàò� òî� æ� òîâà� � äðóãî� ìåñò� ï� ôèêñèðîâàííî� öåí� rb , êîòîðà� íàçûâàåòñ� ðåçåðâíî� öåíî� äë� äàííîã� ïîòðåáèòåëÿ. Ñìûñ� ýòî� âåëè÷èí� ñîñòîè� � òîì, ÷ò� ïîòðåáèòåë� íåâûãîäí� ïîêóïàò� òîâà� í� ðàññìàòðèâàåìî� ðûíêå, åñë� öåí� ïðåâûøàå� rb , ò.å.

ïð� p > rb ïîêóïê� í� ïðîèçâîäèòñÿ. 180Ÿ 16. Ìîäåë� íåðåãóëèðóåìû� ðûíêî�Ôóíêöè� ñïðîñ� äë� òàêî� ìîäåë� èìåå� âè�⎧ bp < rb , ⎨ K /p, Db (p) = [0, K b /p], p = rb , ⎩0, p > rb . Äàäè� àëüòåðíàòèâíó� èíòåðïðåòàöè� ïîíÿòè� ðåçåðâíî� öåíû: � äàííîã� òîâàð� ñóùåñòâóå� çàìåíèòåëü, öåí� í� êîòîðû� ôèêñèðîâàí� � ðàâí� rb . Ïîýòîì� � ñëó÷àå, êîãä� öåí� ïðîäóêò� ïðåâûøàå� rb , ïîòðåáèòåë� b ïîêóïàå� çàìåíèòåëü. Ä� ñè� ïî� ì� ïðåäïîëàãàëè, ÷ò� âåñ� äåíåæíû� êàïèòà� ïîòðåáèòåë� ðàñõîäóåòñ� í� ïðèîáðåòåíè� òîâàðà. Îäíàê� í� ïðàêòèê� êîëè÷åñòâ� äåíåã, êîòîðî� ðàñõîäóåòñ� í� äàííû� òîâàð, ìîæå� ìåíÿòüñ� � çàâèñèìîñò� î� öåíû. Îáúå� ïîòðåáëåíè� ïðåäìåòî� ïåðâî� íåîáõîäèìîñò� (îñíîâíû� ïðîäóêòî� ïèòàíèÿ, íåîáõîäèìî� îäåæä� � ò.ï.) îáû÷í� ñëàá� çàâèñè� î� öåíû.

Íàïðèìåð, äàæ� ïð� çíà÷èòåëüíî� ðîñò� öåí� í� õëåá, ëþä� áóäó� ïîòðåáëÿò� ò� æ� ñàìî� êîëè÷åñòâ� õëåáà. � äðóãî� ñòîðîíû, åñò� òîâàð� òèï� ïðåäìåòî� ðîñêîø� (äðàãîöåííîñòè, ïðåäìåò� èñêóññòâ� � ò.ä.), ñïðî� í� êîòîðû� ñèëüí� çàâèñè� î� êîëåáàíè� öåíû. Ýò� ïðîèñõîäè� îò÷àñò� ïîòîìó, ÷ò� ïð� ðîñò� öå� í� îäí� ïðåäìåò� ðîñêîø� ëþäè, êà� ïðàâèëî, ïðåäïî÷èòàþ� ïîêóïàò� äðóãè� ïðåäìåòû, êîòîðû� ïîäîðîæàë� � ìåíüøå� ñòåïåíè. Ñâîéñòâ� ôóíêöè� ñïðîñ� èçìåíÿòüñ� � çàâèñèìîñò� î� öåí� íàçûâàåòñ� ýëàñòè÷íîñòü� ñïðîñà. Ôîðìàëüíî� îïðåäåëåíè� áóäå� äàí� ïîçæå. � ñîäåðæàòåëüíî� òî÷ê� çðåíè� ýëàñòè÷íîñò� õàðàêòåðèçóå� ñòåïåí� çàâèñèìîñò� îáúåì� ñïðîñ� î� öåí� í� òîâàð. Ïðèìå� 16.4.

Характеристики

Список файлов книги