А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 34
Текст из файла (страница 34)
a∈A Äåëå� y çàäàå� ðàñïðåäåëåíè� âûèãðûø� v(A), óäîâëåòâîðÿþùå� óñëîâè� èíäèâèäóàëüíî� ðàçóìíîñò� y a ≥ v(a) ∀ a ∈ A. Ïóñò� Y − ìíîæåñòâ� âñå� äåëåæåé. È� ñâîéñòâ� ñóïåðàääèòèâíîñò� õàðàêòåðèñòè÷åñêî� ôóíêöè� v âûPòåêàå� íåðàâåíñòâ� v(a) ≤ v(A). a∈A Îïðåäåëåíèå. PÊîîïåðàòèâíà� èãð� K = ñòâåííîé, åñë� v(a) = v(A). A, v íàçûâàåòñ� íåñóùåa∈A � íåñóùåñòâåííî� èãð� äåëå� y = (v(a), a ∈ A) − åäèíñòâåííûé. � äàëüíåéøå� áóäå� ðàññìàòðèâàò� òîëüê� ñóùåñòâåííû� èãðû.
166 15. Êîîïåðàòèâíû� èãð�Îïðåäåëåíèå. Äâ� êîîïåðàòèâíû� èãð� K = A, v � K� = A, v � íàçûâàþòñ� ýêâèâàëåíòíûìè, åñë� òàêè� ÷èñë� c > 0 � P íàéäóòñ� a0a d , a ∈ A, ÷ò� v (K) = cv(K) + d ∀ K ⊆ A. a∈K Ïåðåõî� î� èãð� K � ýêâèâàëåíòíî� èãð� K� ìîæí� ñâÿçàò� � èçìåíåíèå� � c ðà� äåíåæíî� åäèíèöû.
Ïîëîæèòåëüíà� âåëè÷èí� da èíòåðïðåòèðóåòñ� êà� äîïîëíèòåëüíà� âûïëàò� èãðîê� a. Åñë� æ� âåëè÷èí� da îòðèöàòåëüíà, ò� −da ìîæí� ðàññìàòðèâàò� êà� ïëàò� èãðîê� a ç� ó÷àñòè� � èãðå. Äåëå� y èãð� K ïåðåõîäè� � äåëå� z èãð� K� � êîìïîíåíòàì� z a = cy a + da ∀ a ∈ A.Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷ò� êîîïåðàòèâíà� èãð� K� èìåå� (0 − 1)-ðåäóöèðîâàííó� ôîðìó, åñë� v 0 (A) = 1, v 0 (a) = 0 ∀ a ∈ A. Äë� êîîïåðàòèâíî� èãð� K ýêâèâàëåíòíà� èãð� K� èìåå� (0 − 1)-ðåäóöèðîâàííó� ôîðìó, åñë� Pc = (v(A) − v(a))−1 � da = −cv(a), ∀a ∈ A.
a∈A Óïðàæíåíè� 15.3. Äë� èãð� "äæàç-îðêåñòð"íàéò� ýêâèâàëåíòíó� èãð� � (0 − 1)-ðåäóöèðîâàííî� ôîðìå. � êîîïåðàòèâíî� òåîðè� íå� åäèíîã� ïîíÿòè� "ðàçóìíîãî"äåëåæà. Áîëå� òîãî, ðàçëè÷íû� ñîîáðàæåíè� "îïòèìàëüíîñòè"ïðèâîäÿ� � ðàçíû� ìíîæåñòâà� "ðàçóìíûõ"äåëåæåé. Ðàññìîòðè� äâ� ïîäõîäà, îñíîâàííû� í� ïîíÿòèÿ� ÿäð� � âåêòîð� Øåïëè. Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâ� äåëåæå� XC = {y ∈ Y | y a ≥ v(K) ∀ K =6 A}a∈K íàçûâàåòñ� ÿäðî� (èë� c-ÿäðî� î� àíãëèéñêîã� ”core”). Äåëå� y, ïðèíàäëåæàùè� ÿäðó, óäîâëåòâîðÿå� óñëîâè� "ãðóïïîâî� ðàçóìíîñòè": âûèãðû� v(K) ëþáî� êîàëèöè� K í� ïðåâîñõîäè� å� äîë� P a y ï� äåëåæ� y.
a∈K Çàéìåìñ� âûâîäî� óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ÿäðà, ò.å. êîãä� C =6 ∅. Ïîëîæè� � C � = {y ∈ E |A| | y a ≥ v(K) ∀ K =6 A}. a∈K Óïðàæíåíè� 15.4. Äîêàæèòå, ÷ò� ÿäð� C ñóùåñòâóå� òîãä� � òîëüê� 167ÃËÀÂ� III. ÈÃÐ� ÌÍÎÃÈ� ËÈ�òîãäà, êîãä� min � y∈C� óñëîâè� (15.2) min � Py∈C a∈A � y a ≤ v(A). (15.2) a∈A y a çàïèøå� � ïîìîùü� äâîéñòâåííî� çàäà÷� ëèíåéíîã� ïðîãðàììèðîâàíè� XXmin � y a = max λK v(K), y∈Cλ∈Λ a∈A K=A6ãä� Λ = {λ = (λK , K =6 A) | XλK = 1 ∀a ∈ A, λK ≥ 0 ∀ K =6 A}. K:a∈K Ïîñëåäíè� ìàêñèìó� ìîæí� áðàò� òîëüê� ï� ìíîæåñòâ� Λ0 êðàéíè� òî÷å� (âåðøèí) ìíîãîãðàííèê� Λ (ñì.
óïðàæíåíè� 5.5). Îêîí÷àòåëüí� íåîáõîäèìî� � äîñòàòî÷íî� óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ÿäð� çàïèñûâàåòñ� � âèä� XλK v(K) ≤ v(A) ∀ λ ∈ Λ0 . (15.3) K=A 6Âåêòîð� è� ìíîæåñòâ� Λ íàçûâàþòñ� ñáàëàíñèðîâàííûì� ïîêðûòèÿì� ìíîæåñòâ� A, � âåêòîð� è� ìíîæåñòâ� Λ0 − ïðèâåäåííûì� (èë� ìèíèìàëüíûìè) ñáàëàíñèðîâàííûì� ïîêðûòèÿìè. Äë� êîàëèöè� K ⊂ A îïðåäåëè� âåêòî� (1, a ∈ K, |A| aχ(K) ∈ E : χ (K) = 0, a ∈ / K. Ýò� âåêòîð� ÿâëÿþòñ� ñòîëáöàì� ìàòðèö� ñèñòåì� óðàâíåíèé, çàäàþùå� ìíîæåñòâ� Λ. Äë� òîã� ÷òîá� ñáàëàíñèðîâàííî� ïîêðûòè� λ áûë� ïðèâåäåííûì, íåîáõîäèì� � äîñòàòî÷íî, ÷òîá� ñèñòåì� âåêòîðî� {χ(K) | λK > 0} áûë� ëèíåéí� íåçàâèñèìîé. Ýòî� ôàê� äîêàçûâàåòñ� àíàëîãè÷í� óïðàæíåíè� 5.5.
Îïðåäåëåíèå. Ñåìåéñòâ� B êîàëèöè� íàçûâàåòñ� ñáàëàíñèðîâàííûì, åñë� íàéäåòñ� òàêî� ïðèâåäåííî� ñáàëàíñèðîâàííî� ïîêðûòè� λ, ÷ò� B = {K | λK > 0}. 168 15. Êîîïåðàòèâíû� èãð�Ïðèìåðî� ñáàëàíñèðîâàííîã� ñåìåéñòâ� êîàëèöè� ÿâëÿåòñ� ðàçáèåíè� B ìíîæåñòâ� A í� ïîïàðí� íåïåðåñåêàþùèåñ� ïîäìíîæåñòâà. Äë� ñîîòâåòñòâóþùåã� ïðèâåäåííîã� ñáàëàíñèðîâàííîã� ïîêðûòè� λ êîìïîíåíò� λK = 1, K ∈ B. Îòìåòèì, ÷ò� äë� òàêîã� ïîêðûòè� íåðàâåíñòâ� è� (15.3) âûïîëíÿåòñ� "àâòîìàòè÷åñêè", � ñèë� ñóïåðàääèòèâíîñò� õàðàêòåðèñòè÷åñêî� ôóíêöèè.
Ïîýòîì� ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� ïîêðûòèÿ, îòâå÷àþùè� ðàçáèåíèÿ� ìíîæåñòâ� A, � äàëüíåéøå� í� ðàññìàòðèâàþòñÿ. Ñïðàâåäëè� � áîëå� îáùè� ðåçóëüòàò. Óïðàæíåíè� 15.5. Ïóñò� äë� ïðèâåäåííîã� ñáàëàíñèðîâàííîã� ïîêðûòè� λ íàéäóòñ� òàêè� êîàëèöè� T � L, ÷ò� T ∩ L = ∅, λT ≥ λL > 0.
Ïîêàæèòå, ÷ò� ïîêðûòè� µ � êîìïîíåíòàì� T λ − λL ,⎨ 0,µ K = λL ,⎩ K λ ,K K K K = T, = L, = T ∪ L, 6= T, L, T ∪ L, ÿâëÿåòñ� ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� �XXλK v(K) ≤ µ K v(K). K=A6(15.4) K=A 6È� (15.4) âûòåêàåò, ÷ò� íåðàâåíñòâ� (15.3) äîñòàòî÷í� ïðîâåðÿò� òîëüê� äë� ñóùåñòâåííû� ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� ïîêðûòè� λ, äë� êîòîðû� í� ñóùåñòâóþ� íåïåðåñåêàþùèõñ� êîàëèöè� T � L � ïîëîæèòåëüíûì� λT � λL .
Íàéäå� íåîáõîäèìî� � äîñòàòî÷íî� óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ÿäð� � êîîïåðàòèâíî� èãð� òðå� ëèö. Êîìïîíåíò� âåêòîð� λ ∈ Λ0 óïîðÿäî÷è� ñëåäóþùè� îáðàçîì: λ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ23 , λ13 , λ12 ). Ïåðå÷èñëè� âñ� ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� ïîêðûòè� ìíîæåñòâ� A: λ(1) = (1, 1, 1, 0, 0, 0), λ(2) = (1, 0, 0, 1, 0, 0), λ(3) = (0, 1, 0, 0, 1, 0), λ(4) = (0, 0, 1, 0, 0, 1), λ(5) = (0, 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2). � ó÷åòî� ðåçóëüòàò� óïðàæíåíè� 15.5 ñóùåñòâåííû� ïîêðûòèå� ÿâëÿåòñ� òîëüê� λ(5) � óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ÿäð� çàïèñûâàåòñ� � âèä� v(23) + v(13) + v(12) ≤ 2v(123). 169 ÃËÀÂ� III.
ÈÃÐ� ÌÍÎÃÈ� ËÈ�Óïðàæíåíè� 15.6. Äë� êîîïåðàòèâíî� èãð� "äæàç-îðêåñòð"ïðîâåðüòå, ÷ò� ÿäð� C ñóùåñòâóåò. Èçîáðàçèò� ïðîåêöè� ÿäð� í� ïëîñêîñò� (y 1 , y 2 ) � íàéäèò� åã� âåðøèíû. � òàáëèö� 15.1 ïåðå÷èñëåí� âñ� ñóùåñòâåííû� ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� ïîêðûòè� ìíîæåñòâ� A èãð� ÷åòûðå� ëèö. Òàáë. 15.1 BA\{a}, a = 1, 2, 3, 4 {1,2,3},{1,2,4}, {3,4� {1,2,3},{1,4}, {2,4},{3,4� {1,2,3},{1,4}, {2,4},{3� λK , K ∈ B 1/3, 1/3, 1/3, 1/3 1/2, 1/2, 1/2 2/3, 1/3, 1/3, 1/3 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 Îñòàëüíû� ñóùåñòâåííû� ïîêðûòè� îòëè÷àþòñ� î� óêàçàííû� ïåðåñòàíîâêàì� íîìåðî� èãðîêîâ.
Ðàññìîòðè� ÷àñòíû� ñëó÷à� êîîïåðàòèâíî� èãðû, êîãä� óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ÿäð� ìîæå� áûò� çàïèñàí� � ïðîñòî� ôîðìå. Îïðåäåëåíèå. Êîîïåðàòèâíà� èãð� K = A, v íàçûâàåòñ� ñèììåòðè÷íîé, åñë� õàðàêòåðèñòè÷åñêà� ôóíêöè� v çàâèñè� òîëüê� î� ÷èñë� èãðîêî� � êîàëèöèè: v(K) = v|K| ∀ K ⊂ A. Óïðàæíåíè� 15.7. Ïîêàæèòå, ÷ò� äë� ñèììåòðè÷íî� êîîïåðàòèâíî� èãð� K ÿäð� C òîãä� � òîëüê� òîãä� ñóùåñòâóåò, êîãä� âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� |K |v|K| ≤ v|A| ∀ K ⊂ A.
(15.5) |A|Íåäîñòàòêî� ÿäð� ÿâëÿåòñ� òî� ôàêò, ÷ò� îí� ìîæå� í� ñóùåñòâîâàòü. Äîêàæåì, ÷ò� C = ∅, åñë� êîîïåðàòèâíà� èãð� K = A, v èìåå� ïîñòîÿííó� ñóììó. Äåéñòâèòåëüíî, åñë� y ∈ C, ò� Xy b ≥ v(A\{a}) = v(A) − v(a), y a ≥ v(a). b=a 6Ïîñëåäíè� äâ� íåðàâåíñòâ� Pìîãó� âûïîëíÿòüñ� òîëüê� êà� ðàâåíñòâà. a Îòñþä� y = v(a) ∀ a ∈ A � y a < v(A) (ïðîòèâîðå÷èå).
a∈A Óêàçàííû� íåäîñòàòêî� í� îáëàäàå� âåêòî� Øåïëè. Îïðåäåëè� åãî, èñïîëüçó� âåðîÿòíîñòíó� èíòåðïðåòàöèþ. Ïîëîæè� v(∅) = 0. 170 15. Êîîïåðàòèâíû� èãð�Îïðåäåëåíèå. Äë� èãðîê� a ∈ K âåëè÷èí� v(K)−v(K\{a}) íàçûâàåòñ� âêëàäî� èãðîê� � êîàëèöè� K. Ïóñò� êîàëèöè� A îáðàçóåòñ� � ðåçóëüòàò� ñëåäóþùåã� ñëó÷àéíîã� ïðîöåññà.
Ñíà÷àë� � âåðîÿòíîñòü� 1/|A| âûáèðàåòñ� èãðî� a1 , çàòå� è� îñòàâøèõñ� |A| − 1 èãðîêî� � âåðîÿòíîñòü� 1/(|A| − 1) âûáèðàåòñ� èãðî� a2 � ïðèñîåäèíÿåòñ� � èãðîê� a1 � ò.ä. � ðåçóëüòàò� � âåðîÿòíîñòü� 1/|A|! áóäå� âûáðàí� ïåðåñòàíîâê� èãðîêî� a1 , ..., a|A| . Ìîæí� ïîäñ÷èòàò� âêëà� èãðîê� al � êîàëèöè� {a1 , ..., al }. Òàêè� îáðàçîì, äë� êàæäîã� èãðîê� a åã� âêëà� (� êàêóþ-ò� êîàëèöè� K ) áóäå� ñëó÷àéíî� âåëè÷èíîé, ïðèíèìàþùå� çíà÷åíè� v(K) − v(K\{a}) (ãä� a ∈ K ) � âåðîÿòíîñòü� (|K| − 1)! (|A| − |K|)!/|A|!.
Îïðåäåëè� òåïåð� ñïåöèàëüíû� äåëå� ϕ − âåêòî� Øåïëè. Åã� êîìïîíåíò� ϕa ðàâí� ìàòåìàòè÷åñêîì� îæèäàíè� âêëàä� èãðîê� a, ò.å. ϕa = Ïðîâåðèì, ÷ò� � (|K| − 1)! (|A| − |K|)!(v(K) − v(K\{a})). |A|! K:a∈K X (|K| − 1)! (|A| − |K|)! = 1. |A|! K:a∈K (15.6) Äåéñòâèòåëüíî, |A|� (|K| − 1)! (|A| − |K|)! X= |A|! K:a∈K l=1 � K:a∈K, |K|=l (l − 1)! (|A| − l)! . |A|! ×èñë� êîàëèöèé, ñîäåðæàùè� l èãðîêî� � ñðåä� íè� èãðîê� a, ðàâí� l−1 C|A|−1 =(|A| − 1)! . (l − 1)! (|A| − l)! Ïîýòîì� � ïîñëåäíå� äâîéíî� ñóìì� ïð� ëþáî� l âíóòðåííÿ� ñóìì� ðàâí� 1/|A|.
Îòñþä� � ñëåäóå� (15.6). Óïðàæíåíè� 15.8. Ïîêàæèòå, ÷ò� âåêòî� Øåïë� ϕ = (ϕa , a ∈ A) ÿâëÿåòñ� äåëåæî� êîîïåðàòèâíî� èãðû. Óïðàæíåíè� 15.9. Âûïèøèò� ÿâíû� ôîðìóë� äë� ïîäñ÷åò� âåêòîð� Øåïë� � èãð� òðå� ëèö. Íàéò� âåêòî� Øåïë� äë� êîîïåðàòèâíî� èãð� "äæàç-îðêåñòð"� ïîêàçàò� åã� ïðèíàäëåæíîñò� ÿäðó. Ïðîâåðèòü, ÷ò� åñë� v(123) óìåíüøèò� í� $3 , ò� âåêòî� Øåïë� ÿäð� í� ïðèíàäëåæèò. 171ÃËÀÂ� III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
