А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ðàññìîòðè� ïðèìå� íåýëàñòè÷íî� ôóíêöè� ñïðîñà: ⎧ b p < rb , ⎨ V , b Db (p) = [0, V ], p = rb ,⎩0, p > rb . Â� âñå� ïðèâåäåííû� âûø� ïðèìåðà� ôóíêöè� ñïðîñ� Db (p) − ýò� òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííî� îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùå� ñëåäóþùè� ñâîéñòâàì: D1 âûïóêëîçíà÷íîñò� ( çíà÷åíèå� ôóíêöè� ñïðîñ� Db (p) äë� ëþáîã� p ÿâëÿåòñ� ëèá� òî÷êà, ëèá� îòðåçîê); 181 ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�D2 çàìêíóòîñò� (ãðàôè� îòîáðàæåíè� Db (p) Gr(Db (p)) = {(p, V ) | 0 ≤ p < ∞, V ∈ Db (p)} ÿâëÿåòñ� çàìêíóòûì); D3 ìîíîòîííî� íåâîçðàñòàíè� ( ïð� ëþáû� p < p� � ëþáû� V ∈ Db (p), V � ∈ Db (p0 ) âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� V ≥ V 0 ); D4 Db (p) → 0 ïð� p → ∞ (ïð� íåîãðàíè÷åííî� âîçðàñòàíè� öåí� ñïðî� ñòðåìèòñ� � íóëþ).
Îáñóäè� ïîäðîáíå� ñâîéñòâ� ìîíîòîííîã� íåâîçðàñòàíè� (ñâîéñòâ� D3). Ýò� ñâîéñòâ� ãîâîðè� � òîì, ÷ò� ïð� ðîñò� öåí� í� òîâà� ñïðî� í� íåã� í� óâåëè÷èâàåòñ� (� èíîãä� � óáûâàåò, åñë� ó÷åñò� äîïîëíèòåëüí� ñâîéñòâ� D4). Âîçíèêàå� âîïðîñ: äë� âñå� ë� òîâàðî� âûïîëíåí� ýò� ñâîéñòâî? � ýêîíîìèê� èçâåñòí� íåñêîëüê� ýêçîòè÷åñêè� ïðèìåðî� òîâàðîâ, ñïðî� í� êîòîðû� í� óäîâëåòâîðÿåò, ï� êðàéíå� ìåð� � îïðåäåëåííû� ïðîìåæóòê� âðåìåíè, ñâîéñòâ� ìîíîòîííîã� íåâîçðàñòàíèÿ.
Ïðèìå� 16.5. Èçâåñòíî, ÷ò� � Èðëàíäè� � ãîëîäíû� ãîäû, êîãä� öåí� í� êàðòîøê� ñèëüí� ïîâûøàëàñü, îáúå� å� ïîòðåáëåíè� òîæ� âîçðàñòàë. � ÷å� ýò� áûë� ñâÿçàíî? � îáû÷íû� ãîä� � ðàöèî� îñíîâíî� ìàññ� íàñåëåíè� âõîäèë� êàðòîøê� � ìÿñî. Êîãä� öåí� í� êàðòîøê� çíà÷èòåëüí� ïîâûøàëàñü, äåíå� í� ìÿñ� óæ� í� õâàòàëî, � ëþä� ïåðåõîäèë� í� ïèòàíè� îäíî� êàðòîøêîé.
Ïîýòîì� êàðòîøê� òðåáîâàëîñ� áîëüøå, ÷å� îáû÷íî. Ïðèìå� 16.6. Òðàäèöèîííà� ÿïîíñêà� âîäê� − ñàêå. Åñò� íåñêîëüê� ñîðòî� ñàêå, ïðè÷å� êà� õîðîøåã� êà÷åñòâà, òà� � ïëîõîãî. Èçâåñòå� ñëåäóþùè� ôàêò: êîãä� öåí� í� íèçêîêà÷åñòâåííû� ñàê� ðàñòåò, ò� îáúå� åã� ïîòðåáëåíè� � ýòî� ìîìåí� òîæ� óâåëè÷èâàåòñÿ. Äåë� � òîì, ÷ò� îïðåäåëåííà� ãðóïï� ëèö, ñòðàäàþùà� àëêîãîëüíî� çàâèñèìîñòüþ, íóæäàåòñ� � îïðåäåëåííî� äîç� ÷èñòîã� àëêîãîëÿ. Îíè, êîíå÷íî, ïðåäïî÷ë� á� ïèò� õîðîøè� ñàêå, í� êîãä� öåí� í� ñàê� ñèëüí� ðàñòåò, è� äë� ïîëó÷åíè� ñâîå� ñóòî÷íî� íîðì� àëêîãîë� ïðèõîäèòñ� îòêàçûâàòüñ� î� õîðîøåã� ñàê� � ïîëüç� ïëîõîãî.
Îäíàê� ïðèâåäåííû� ïðèìåð� äîñòàòî÷í� ðåäê� � íåòèïè÷íû, � äë� áîëüøèíñòâ� òîâàðî� ñâîéñòâ� ìîíîòîííîã� íåâîçðàñòàíè� ôóíêöè� ñïðîñ� âûïîëíÿåòñÿ. Ïðèíöè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� Èòàê, ì� îïèñàë� ïîâåäåíè� äâó� ãðóï� àãåíòî� í� ðûíê� (ïðîèçâîäèòåëå� òîâàð� � ïîòðåáèòåëåé) � çàâèñèìîñò� î� öåí� í� òîâàð. Äë� ïîëó÷åíè� ïîëíîã� ïðåäñòàâëåíè� � ìîäåë� êîíêóðåíòíîã� ðûíê� îäíîã� òîâàð� îñòàëîñ� âûÿñíèòü, êà� îïðåäåëÿåòñ� öåí� p í� ðûíêå. 182 16. Ìîäåë� íåðåãóëèðóåìû� ðûíêî�Í� êîíêóðåíòíî� ðûíê� öåí� òîâàð� îïðåäåëÿåòñ� è� ïðèíöèï� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ.
Ïðèíöè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� Âàëüðàñà. � óñëîâèÿ� ñîâåðøåííî� êîíêóðåíöè� í� ðûíê� óñòàíàâëèâàåòñ� öåí� p̃, êîòîðà� áàëàíñèðóå� ñïðî� � ïðåäëîæåíè� í� òîâà� � íàçûâàåòñ� öåíî� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� (èë� âàëüðàñîâñêî� öåíîé). Ôîðìàëüí� ýò� öåí� îïðåäåëÿåòñ� è� óñëîâè� D(p̃) ∩ S(p̃) 6= ∅, ãä� S(p) − ôóíêöè� ñóììàðíîã� ïðåäëîæåíèÿ, � D(p) − ôóíêöè� ñóììàðíîã� ñïðîñà.
Òàêè� îáðàçîì, öåí� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� îáëàäàå� òå� ñâîéñòâîì, ÷ò� ñóùåñòâóå� îáúå� òîâàðà, êîòîðû� ìîæå� áûò� ïðåäëîæå� ï� ýòî� öåí� � ìîæå� áûò� ïîòðåáëå� ï� ýòî� öåíå. Åñë� ôóíêöè� ñïðîñ� � ïðåäëîæåíè� − îäíîçíà÷íû� ôóíêöèè, ò� ïðèíöè� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñè� ìîæí� ñôîðìóëèðîâàò� ïðîùå: ï� ðàâíîâåñíî� öåí� ñïðî� ðàâå� ïðåäëîæåíèþ. Ïîëíà� ôîðìóëèðîâê� ïðèíöèï� íà÷èíàåòñ� ñëîâàìè: "� óñëîâèÿ� ñîâåðøåííî� êîíêóðåíöèè...".
×ò� ïîíèìàåòñ� ïî� óñëîâèÿì� ñîâåðøåííî� êîíêóðåíöèè? Ñîäåðæàòåëüí� Âàëüðà� îõàðàêòåðèçîâà� è� êà� íàëè÷è� áîëüøîã� ÷èñë� áëèçêè� ï� ñâîè� õàðàêòåðèñòèêà� ïðîèçâîäèòåëå� � ïîòðåáèòåëåé, êàæäû� è� êîòîðû� í� ìîæå� âëèÿò� í� ðûíî÷íó� öåí� (ò.å. âñ� îí� ìàë� ï� ñðàâíåíè� � îáùèì� îáúåìàì� ðûíêà). Êðîì� òîãî, âñ� ïðîèçâîäèòåë� � ïîòðåáèòåë� ðàñïîëàãàþ� ïîëíî� èíôîðìàöèå� � ðûíê� � ìîãó� ñâîáîäí� âûáèðàò� ñåá� ïàðòíåðî� äë� çàêëþ÷åíè� ñäåëêè. ßñíî, ÷ò� òàêî� îïèñàíè� í� ÿâëÿåòñ� êîíñòðóêòèâíûì.
Âîçüìå� êîíêðåòíû� ðûíîê, í� êîòîðî� äåéñòâóþ� 20 ïðîèçâîäèòåëå� ïðîäóêöè� � 500 ïîòðåáèòåëåé, õàðàêòåðèçóþùèõñ� îïðåäåëåííûì� ïàðàìåòðàìè. Èñïîëüçó� îïðåäåëåíè� Âàëüðàñà, íåëüç� ñêàçàòü, íàõîäèòñ� ë� ýòî� ðûíî� � ñîñòîÿíè� ñîâåðøåííî� êîíêóðåíöèè, òà� êà� ýò� îïðåäåëåíè� ÷èñò� êà÷åñòâåííî� � í� äàå� êîëè÷åñòâåííû� êðèòåðèåâ. Ñâîéñòâ� ðàâíîâåñíî� öåí� Áóäå� èñïîëüçîâàò� çàïèñ� D(p) − S(p) > 0, åñë� V > V � ïð� âñå� V ∈ D(p), V � ∈ S(p).
Àíàëîãè÷íî, áóäå� ïèñàò� D(p) − S(p) < 0, åñë� V < V � ïð� âñå� V ∈ D(p), V � ∈ S(p). Óòâåðæäåíè� 16.2. Ïóñò� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� S a (p) êàæäîã� ïðîèçâîäèòåë� a ∈ A óäîâëåòâîðÿå� óñëîâèÿ� S1-S3, � ôóíêöè� ñïðîñ� Db (p) êàæäîã� ïîòðåáèòåë� b ∈ B − óñëîâèÿ� D1-D4. Òîãä� ðàâíîâåñíà� öåí� âñåãä� ñóùåñòâóåò. 183ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�P aÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷ò� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� S(p) = S (p) a∈A � aóäîâëåòâîðÿå� óñëîâèÿ� S1-S3, � ôóíêöè� ñïðîñ� D(p) = D (p) −b∈B óñëîâèÿ� D1-D4.
Ïîñêîëüê� S(0) = 0, ò� è� ìîíîòîííîñò� ôóíêöè� S(p) � çàìêíóòîñò� å� ãðàôèê� âûòåêàåò, ÷ò� S(p) = 0 � íåêîòîðî� ìàëî� ïîëóîêðåñòíîñò� òî÷ê� 0. � äðóãî� ñòîðîíû, ôóíêöè� ñïðîñ� D(p) � ýòî� ïîëóîêðåñòíîñò� ìîæí� ñ÷èòàò� ïîëîæèòåëüíîé. Ïîýòîì� ðàçíîñò� D(p) − S(p) > 0 ïð� ìàëû� p. Äë� äîñòàòî÷í� áîëüøè� p ôóíêöè� S(p) ïîëîæèòåëüí� (äîñòàòî÷í� âçÿò� p > Ċ a (0) äë� íåêîòîðîã� ïðîèçâîäèòåë� a ∈ A) � í� óáûâàåò, � D(p) → 0 ïð� p → ∞.
Çíà÷èò, D(p) − S(p) < 0 ïð� áîëüøè� p . Âîñïîëüçóåìñ� àíàëîãî� òåîðåì� � ïðîìåæóòî÷íî� çíà÷åíè� íåïðåðûâíî� ôóíêöèè, èçâåñòíî� è� ìàòåìàòè÷åñêîã� àíàëèçà: åñë� íåïðåðûâíà� ôóíêöè� ïðèíèìàå� ïðîòèâîïîëîæíû� ï� çíàê� çíà÷åíè� í� êîíöà� íåêîòîðîã� îòðåçêà, ò� âíóòð� ýòîã� îòðåçê� ñóùåñòâóå� òî÷êà, � êîòîðî� ôóíêöè� îáðàùàåòñ� � íîëü. Êà� óæ� ãîâîðèëîñü, ñâîéñòâ� çàìêíóòîñò� àíàëîãè÷í� ñâîéñòâ� íåïðåðûâíîñòè.
Òà� êà� D(p) � S(p) − çàìêíóòû� ôóíêöèè, ñëåäîâàòåëüíî, è� ðàçíîñò� D(p)−S(p) òîæ� çàìêíóòà� ôóíêöèÿ. Ïîýòîì� ñóùåñòâóå� òî÷ê� p̃ , � êîòîðî� ýò� ðàçíîñò� ïðèíèìàå� íóëåâî� çíà÷åíèå, � òî� ñìûñëå, ÷ò� 0 ∈ D(p̃) − S(p̃). Óòâåðæäåíè� 16.3. Ïóñò� p̃1 , p̃2 − äâ� öåí� êîíêóðåíòíîã� ðàâíîâåñèÿ. Òîãä� ëþáà� öåí� p̃ ∈ [p̃1 , p̃2 ] òîæ� ÿâëÿåòñ� ðàâíîâåñíîé, ò.å. S(p̃) ∩ D(p̃) 6= ∅. Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöè� D(p) − S(p) ìîíîòîíí� í� âîçðàñòàåò. Òà� êà� ýò� ôóíêöè� ïðèíèìàå� çíà÷åíè� 0 � òî÷êà� p̃1 � p̃2 , ò� � â� âñå� ïðîìåæóòî÷íû� òî÷êà� îí� ïðèíèìàå� ò� æ� çíà÷åíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, D(p̃) ∩ S(p̃) =6 ∅ äë� ëþáîã� p̃ ∈ [p̃1 , p̃2 ]. Ïîêàæåì, ÷ò� í� ñàìî� äåë� âîçìîæí� ñèòóàöèè, êîãä� ðàâíîâåñíà� öåí� îïðåäåëÿåòñ� í� åäèíñòâåííû� îáðàçîì.
� òàêè� ñëó÷àÿ� è� óòâåðæäåíè� 16.3 áóäå� ñëåäîâàòü, ÷ò� ñóùåñòâóå� öåëû� îòðåçî� ðàâíîâåñíû� öåí. Ïðèìå� 16.7. Ïóñò� í� ðûíê� åñò� âñåã� òð� ïîòðåáèòåë� � íåýëàñòè÷íûì� ôóíêöèÿì� ñïðîñà. Ðåçåðâíû� öåí� äë� ýòè� ïîòðåáèòåëå� ðàâí� r1 , r2 � r3 ñîîòâåòñòâåííî. � ýòî� ñëó÷à� ñóììàðíà� ôóíêöè� ñïðî184 16. Ìîäåë� íåðåãóëèðóåìû� ðûíêî�ñ� áóäå� èìåò� ñòóïåí÷àòû� âèä. Ïóñòü, êðîì� òîãî, í� ðûíê� åñò� äâ� ïðåäïðèÿòèÿ-ïðîèçâîäèòåë� � ôèêñèðîâàííûì� óäåëüíûì� ñåáåñòîèìîñòÿì� c1 , c2 � ìàêñèìàëüíûì� îáúåìàì� ïðîèçâîäñòâ� V 1 , V 2 ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíî� ïðåäëîæåíè� òàêæ� ÿâëÿåòñ� ñòóïåí÷àòî� ôóíêöèåé.
Òîãä� âîçìîæí� ñëåäóþùà� ñèòóàöèÿ, èçîáðàæåííà� í� ðèñ. 16.6, ãä� ïîëó÷èëñ� öåëû� îòðåçî� ðàâíîâåñíû� öå� p̃. V 6V 66Ṽ ?Ṽ---pp̃p̃Ðèñ. 16.6 pÐèñ. 16.7 Çàìåòèì, ÷ò� âîçìîæí� � äðóãà� ñèòóàöèÿ, êîãä� ðàâíîâåñíà� öåí� p̃ åäèíñòâåííà, í� í� åäèíñòâåííû� îáðàçî� îïðåäåëÿåòñ� ðàâíîâåñíû� îáúå� Ṽ (ñì. ðèñ. 16.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
