А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ÈÃÐ� ÌÍÎÃÈ� ËÈ�Óïðàæíåíè� 15.10. Ïîêàçàòü, ÷ò� äë� ñèììåòðè÷íî� êîîïåðàòèâíî� èãð� âåêòî� Øåïë� ϕ = (v|A| /|A|, ..., v|A| /|A|). Êîììåíòàðè� � áèáëèîãðàôè� � ãëàâ� III 12. Îïðåäåëåíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� äë� èãð� ìíîãè� ëè� ïðèíàäëåæè� Äæ. Íýø� [76]. Òåîðåì� 12.1 äîêàçàí� Ñ. Êàêóòàí� [47] � èñïîëüçîâàí� äë� äîêàçàòåëüñòâ� òåîðåì� 2.3 � âîãíóòî-âûïóêëî� ôóíêöèè. Òåîðåì� ñóùåñòâîâàíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãðà� � êîíå÷íûì� ìíîæåñòâàì� ñòðàòåãè� äîêàçàí� Äæ. Íýøå� [76].
Òà� æ� ïðèâåäåí� ñâîéñòâ� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. Ïðèìå� 12.1 ïðèíàäëåæè� Í.Í. Âîðîáüåâ� [34]. Îïðåäåëåíè� èãðû, ðàçðåøèìî� ï� äîìèíèðîâàíèþ, ââåäåí� Ý. Ìóëåíî� [71]. 13. Îñíîâíû� ïîíÿòè� òåîðè� ïîçèöèîííû� èã� îïðåäåëåí� Äæ. ôî� Íåéìàíî� � Î. Ìîðãåíøòåðíî� � [72]. Ïîëíà� ôîðìàëèçàöè� ýòè� èã� ïðîâåäåí� Ã.Ó. Êóíî� [58]. Îïðåäåëåíè� ñîâåðøåííîã� ïîäûãðîâîã� ðàâíîâåñè� ïðèíàäëåæè� Ð. Ñåëòåí� [98]. Òåîðåì� 13.1 � ñóùåñòâîâàíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ïîçèöèîííî� èãð� � ïîëíî� èíôîðìàöèå� äîêàçàí� Ã.Ó. Êóíî� [58]. Êîíöåïöè� âîçìóùåííî� èãðû, � êîòîðî� èãðîê� ìîãó� îøèáàòüñ� ïð� âûáîð� ñâîè� ñòðàòåãèé, ââåäåí� Ð. Ñåëòåíî� [99].
14. Ïðèìå� 14.1 � òåîðåì� 14.1 î� ýêâèâàëåíòíîñò� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� ñîîòâåòñòâóþùè� ñòðàòåãèÿ� ïîâåäåíè� � èãðà� � ïîëíî� ïàìÿòü� ïðèíàäëåæè� Ã.Ó. Êóí� [58]. Äðóãè� ðåçóëüòàò� ï� òåîðè� ïîçèöèîííû� èã� ñì. � ñáîðíèê� [82]. � ìîäåëÿì� ìíîãîøàãîâû� íåàíòàãîíèñòè÷åñêè� èã� ìîæí� îçíàêîìèòüñ� � [22, 23, 71, 91]. 15. Îñíîâ� êîîïåðàòèâíî� òåîðè� çàëîæåí� Äæ.ôî� Íåéìàíî� � Î. Ìîðãåíøòåðíî� � [72]. Ïðèìå� êîîïåðàòèâíî� èãð� "äæàç-îðêåñòð" ïðèíàäëåæè� Ã.Ï. ßíã� (ñì.
[71]). Ïîíÿòè� ÿäð� îïðåäåëåí� Ä. Äæèëëèñî� � [44]. Íåîáõîäèìî� � äîñòàòî÷íî� óñëîâè� ñóùåñòâîâàíè� ÿäð� � èñïîëüçîâàíèå� íîâû� êîìáèíàòîðíû� îáúåêòî� − ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� ïîêðûòè� − ïîëó÷åí� Î.Í. Áîíäàðåâî� � 1962 ãîä� � [13], ãäå, � ÷àñòíîñòè, îïèñàí� ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� ïîêðûòè� äë� èã� òðå� � ÷åòûðå� ëèö.
Î.Ð. Ìåíüøèêîâ� � êàíäèäàòñêî� äèññåðòàöè� (ôàêóëüòå� ÂÌè� ÌÃÓ, 1978 ãîä) ïåðå÷èñëèë� âñ� ïðèâåäåííû� ñáàëàíñèðîâàííû� ïîêðûòè� äë� èã� ïÿò� � øåñò� ëèö. Ðåçóëüòà� óïðàæíåíè� 15.5 âçÿ� è� [109]. Òåîðè� äâîéñòâåííîñò� ëèíåéíîã� ïðîãðàììèðîâàíè� ñì. � [5]. Ð. Àóìà� [7] îïðåäåëè� ïîíÿòè� ÿäð� äë� èãð� � íîðìàëüíî� ôîðìå. Ðÿ� ðåçóëüòàòî� � ýòî� íàïðàâëåíè� ïîëó÷å� À.À.
Âàñèíû� (ñì. 172 15. Êîîïåðàòèâíû� èãð�[22], ãä� èìååòñ� òàêæ� îáçî� ðàáî� ï� òåîðè� ÿäðà). Â.Â. Ìîðîçî� � Ì.Õ. Àúçàìõóæàå� ââåë� äèñêðåòíû� êîîïåðàòèâíû� èãðû, � êîòîðû� çíà÷åíè� õàðàêòåðèñòè÷åñêî� ôóíêöè� � êîìïîíåíò� äåëåæå� − öåëû� ÷èñëà. Äë� òàêè� èã� ïîèñ� äåëåæ� è� ÿäð� ñâîäèòñ� � çàäà÷� öåëî÷èñëåííîã� ëèíåéíîã� ïðîãðàììèðîâàíèÿ. � [68] ïðåäëîæå� ýôôåêòèâíû� àëãîðèò� å� ðåøåíè� äë� èã� øåñò� ëèö. Âåêòî� Øåïë� áû� îïðåäåëå� � [102], ãä� èìååòñ� àêñèîìàòè÷åñêî� åã� îáîñíîâàíè� (ñì. òàêæ� [31]). � äðóãèì� êîíöåïöèÿì� îïòèìàëüíîñò� � êîîïåðàòèâíî� òåîðè� (ðåøåíèå� ôî� Íåéìàíà-Ìîðãåíøòåðíà, nÿäðî� Øìàéäëåð� � äð.) ìîæí� îçíàêîìèòüñ� � [55, 31, 78].
Ôóíäàìåíòàëüíû� îáçî� ðåçóëüòàòî� ï� òåîðè� èã� ñì. � [93]. 173ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ� � ýòî� ãëàâ� ðàññìàòðèâàþòñ� ïðîñòåéøè� ìàòåìàòè÷åñêè� ìîäåë� ïðîèçâîäñòâà, ðàñïðåäåëåíè� � ïîòðåáëåíèÿ. 16. Ìîäåë� íåðåãóëèðóåìû� ðûíêî� Âàæíó� ðîë� � ýêîíîìè÷åñêî� òåîðè� èãðàå� ïîíÿòè� ðûíêà. Ðûíî� − ýò� ìåõàíèç� îáìåí� òîâàðàìè, âêëþ÷àþùè� äâ� òèï� àãåíòîâ: ïðîèçâîäèòåë� (ïðîäàâöû) � ïîòðåáèòåë� (ïîêóïàòåëè). Êàæäû� àãåí� ñàìîñòîÿòåëüí� ïðèíèìàå� ðåøåíè� î� ó÷àñòè� � îáìåíå, èñõîä� è� ñâîè� èíòåðåñî� � ïðåäëàãàåìû� óñëîâèé.
Îáû÷í� êàæäû� ïðîäàâå� íàçíà÷àå� óñëîâè� îáìåí� � âèä� öåí� í� ñâî� òîâàð, � ïîêóïàòåë� âûáèðàþò, ñêîëüê� � êàêîã� òîâàð� êóïèòü. Í� ñóùåñòâóþ� � äðóãè� âàðèàíò� ðûíêîâ. � ýòî� ãëàâ� ðàññìàòðèâàþòñ� òð� îñíîâíû� ìîäåë� ðûíê� îäíîã� òîâàðà: 1) ðûíî� � óñëîâèÿ� ñîâåðøåííî� êîíêóðåíöèè, èë� êîíêóðåíòíû� ðûíîê, í� êîòîðî� ìíîã� ìåëêè� àãåíòîâ-ïðîèçâîäèòåëå� � ïîòðåáèòåëåé; 2) ìîíîïîëèçèðîâàííû� ðûíîê, í� êîòîðî� îäè� ïðîèçâîäèòåëüìîíîïîëèñ� âçàèìîäåéñòâóå� � áîëüøè� ÷èñëî� ìåëêè� ïîòðåáèòåëåé; 3) îëèãîïîëèÿ, ò� åñò� ðûíîê, í� êîòîðî� íåñêîëüê� ôèð� êîíêóðèðóþò, âçàèìîäåéñòâó� � ìíîæåñòâî� ìåëêè� ïîòðåáèòåëåé. � ÷èòàòåë� � ìàòåìàòè÷åñêè� ñêëàäî� óì� çäåñ� âîçíèêàþ� âîïðîñû: ÷ò� îçíà÷àå� "ìåëêèé"àãåíò, "áîëüøî� ÷èñë� ìåëêè� ïîòðåáèòåëåé"� ò.ï.? Ñëåäóå� îòìåòèòü, ÷ò� äîñòàòî÷í� ïîëíû� � òî÷íû� îòâåòî� í� ïîäîáíû� âîïðîñ� í� ïîëó÷åí� ä� íàñòîÿùåã� âðåìåíè.
Íåêîòîðû� ïîäõîä� � îöåíê� èçëîæåí� � ïàðàãðàôå, ïîñâÿùåííî� îëèãîïîëèè. Óêàçàííû� õàðàêòåðèñòèê� ñëóæà� íåêîòîðû� îáîñíîâàíèå� ñôîðìóëèðîâàííû� äàëå� ïðåäïîëîæåíè� � ïîâåäåíè� àãåíòîâ. Êîíêóðåíòíû� ðûíî� îäíîã� òîâàð� Ðàññìîòðè� ðûíî� îäíîðîäíîã� (ò.å.
í� ðàçëè÷àþùåãîñ� ï� êà÷åñòâó) òîâàðà, òàêîã� êà� íåôò� èë� ìóêà. Ïðåäïîëîæåíèå, ëåæàùå� � îñíîâ� ìîäåë� êîíêóðåíòíîã� ðûíêà, ñîñòîè� � ñëåäóþùåì: í� ðûíê� ñêëàäûâàåòñ� åäèíà� öåí� p í� òîâà� � í� îäè� ïðîèçâîäèòåë� èë� ïîòðåáèòåë� 174 16. Ìîäåë� íåðåãóëèðóåìû� ðûíêî�í� ìîæå� ïîâëèÿò� í� íå� èíäèâèäóàëüíûì� äåéñòâèÿìè, ò.å. êàæäû� àãåí� ïðèñïîñàáëèâàåòñ� � ðûíî÷íî� öåí� p. Íà÷íå� � îïèñàíè� ïîâåäåíè� ïðîèçâîäèòåëå� òîâàðà.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷ò� êàæäû� è� íè� ñòðåìèòñ� ìàêñèìèçèðîâàò� ïðèáûë� î� ïðîèçâîäñòâ� òîâàðà. Îáîçíà÷è� ÷åðå� A ìíîæåñòâ� ïðåäïðèÿòèé, ïîñòàâëÿþùè� òîâà� í� ðûíîê. � ïðîñòåéøå� ñëó÷à� êîíêðåòíî� ïðåäïðèÿòè� a ∈ A õàðàêòåðèçóåòñ� ìàêñèìàëüíû� îáúåìî� âûïóñêà, èë� ïðîèçâîäñòâåííî� ìîùíîñòüþ, V a � óäåëüíî� ñåáåñòîèìîñòü� ïðîäóêò� (� ðàñ÷åò� í� åäèíèöó) ca . Ïð� ýòî� ñòðàòåãèå� ïðåäïðèÿòè� ÿâëÿåòñ� îáúå� âûïóñê� V . Ôîðìàëüí� ïîâåäåíè� ïðîäàâö� a õàðàêòåðèçóåòñ� ôóíêöèå� ïðåäëîæåíè� S a (p), êîòîðà� óêàçûâàå� îïòèìàëüíû� îáúå� ïðîèçâîäñòâ� � çàâèñèìîñò� î� öåíû.
Ðàññìîòðèì, êà� îïðåäåëÿåòñ� S a (p) � äàííî� ñëó÷àå: ⎧ åñë� p < ca , ⎨ 0, S a (p) = Arg max a [V (p − c a )] = [0, V a ], åñë� p = ca ,0≤V ≤V ⎩ a V , åñë� p > ca , ãä� V (p − ca ) − ôóíêöè� ïðèáûëè. Îòìåòèì, ÷ò� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� ÿâëÿåòñ� òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííû� îòîáðàæåíèåì, ò.å.
îäíîì� çíà÷åíè� àðãóìåíò� ìîæå� ñîîòâåòñòâîâàò� öåëî� ìíîæåñòâ� çíà÷åíè� ôóíêöèè. Îáùà� õàðàêòåðèñòèê� ðûíê� ñ� ñòîðîí� � ïðîèçâîäèòåëå� − ýò� ñóììàðíà� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� S(p) = S a (p). Ýò� ôóíêöè� óêàçûâàå� îáùå� êîëè÷åñòâ� òîâàðà, ïîa∈Añòàâëÿåìî� í� ðûíî� � çàâèñèìîñò� î� öåíû. Óïîðÿäî÷è� ïðåäïðèÿòè� ï� âîçðàñòàíè� óäåëüíû� ñåáåñòîèìîñòåé, ò.å. ïóñò� c1 ≤ c2 ≤ ... Òîãä� ãðàôè� ôóíêöè� ïðåäëîæåíè� äë� ñëó÷à� òðå� ïðîèçâîäèòåëå� âûãëÿäè� ñëåäóþùè� îáðàçîì: S(P )6V 1 + V 2 + V 3 V 1 + V 2 V 1 c1c2c3-pÐèñ. 16.1 � êà÷åñòâ� ïðèìåð� áîëå� îáùå� ìîäåë� ïðîèçâîäñòâ� ðàññìîòðè� 175 ÃËÀÂ� IV. ÂÂÅÄÅÍÈ� � ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓ� ÝÊÎÍÎÌÈÊ�ïðåäïðèÿòèå, í� êîòîðî� èìåþòñ� òð� âèä� ïðîèçâîäñòâåííû� ìîùíîñòå� (ñòàíêîâ) äë� âûïóñê� òîâàðà.
Êàæäû� âè� õàðàêòåðèçóåòñ� âåëè÷èíàì� óäåëüíî� ñåáåñòîèìîñò� ci � ìàêñèìàëüíîã� îáúåì� âûïóñê� V i , ãä� i = 1, 2, 3 � c1 < c2 < c3 . Ïð� âûïîëíåíè� çàêàç� í� âûïóñ� V åäèíè� òîâàð� ïðåäïðèÿòè� ñòðåìèòñ� ìèíèìèçèðîâàò� èçäåðæê� ïðîèçâîäñòâà. Âûÿñíèì, êà� çàâèñè� ïîëíà� ñåáåñòîèìîñò� C(V ) î� îáúåì� âûïóñê� ïð� îïòèìàëüíî� çàãðóçê� ìîùíîñòåé. Î÷åâèäíî, ÷ò� ïðåäïðèÿòè� � ïåðâó� î÷åðåä� èñïîëüçóå� ìîùíîñò� � ìèíèìàëüíî� óäåëüíî� ñåáåñòîèìîñòü� âûïóñêà. Åñë� è� í� õâàòèò, ò� áóäó� çàäåéñòâîâàí� ìîùíîñò� âòîðîãî, � çàòå� òðåòüåã� òèïà. Òàêè� îáðàçîì, ãðàôè� C(V ) èìåå� ñëåäóþùè� âèä: C(V ) 6 tgαi = ci , i = 1, 2, 3α3 α21 αV1-V1+V2V1+V2+V3 VÐèñ.
16.2 � îáùå� ñëó÷à� ïðåäïðèÿòè� a õàðàêòåðèçóåòñ� ôóíêöèå� C a (V ) ñåáåñòîèìîñò� âûïóñê� � îáúåì� V í� äàííî� ïðåäïðèÿòèè. Äàëå� ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷ò� ýò� ôóíêöè� çàäàå� îáùè� èçäåðæêè. Ïðåæäå, ÷å� ñôîðìóëèðîâàò� ñâîéñòâ� ôóíêöè� èçäåðæåê, íàïîìíè� îïðåäåëåíè� âûïóêëî� (âîãíóòîé) ôóíêöè� (ñì. 2.). Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöè� C(V ) íàçûâàåòñ� âûïóêëî� (âîãíóòîé), åñë� äë� ëþáû� äâó� òî÷å� V1 � V2 � ëþáîã� ÷èñë� 0 < t < 1 ñïðàâåäëèâ� íåðàâåíñòâ� C(tV1 + (1 − t)V2 )) ≤ (≥)tC(V1 ) + (1 − t)C(V2 ). Îòìåòè� íåêîòîðû� ñâîéñòâ� âûïóêëû� ôóíêöèé, èçâåñòíû� è� êóðñ� ìàòåìàòè÷åñêîã� àíàëèçà. Âûïóêëà� ôóíêöè� C(V ), îïðåäåëåííà� í� ïîëóîñ� V ≥ 0, íåïðåðûâí� � ëþáî� òî÷ê� V > 0. Âûïóêëà� � íåóáûâàþùà� ôóíêöè� C(V ) íåïðåðûâí� � � òî÷ê� V = 0. Äë� âûïóêëî� ôóíêöè� C(V ) � ëþáî� òî÷ê� V ñóùåñòâóþ� ëåâîñòîðîííÿ� Ċ− (V ) � ïðàâîñòîðîííÿ� Ċ+ (V ) ïðîèçâîäíûå.
Ïðè÷åì, åñë� 176 16. Ìîäåë� íåðåãóëèðóåìû� ðûíêî�V < V 0 , ò� Ċ+ (V ) ≤ Ċ− (V 0 ). Äë� äèôôåðåíöèðóåìî� ôóíêöè� C(V ) íåîáõîäèìû� � äîñòàòî÷íû� óñëîâèå� âûïóêëîñò� ÿâëÿåòñ� íåóáûâàíè� ï� V ïðîèçâîäíî� Ċ(V ). Äë� äâàæä� äèôôåðåíöèðóåìî� ôóíêöè� àíàëîãè÷íû� óñëîâèå� ÿ⨠).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
