А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 31
Текст из файла (страница 31)
� ëþáî� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� µ̂ ïð� äîñòàòî÷í� ìàëû� ε > 0 µ̂a (x) = µa (x), ïîñêîëüê� âåðîÿòíîñò� îñóùåñòâëåíè� ïîçèöè� x ïîëîæèòåëüí� � ëþáî� äðóãî� âûáî� ïðèâåäå� � ñòðîã� ìåíüøåì� âûèãðûøó. Äàëå� ðàññìàòðèâàþòñ� âåðøèí� è� Z2 , Z3 , ..., ïðîâîäÿòñ� àíàëîãè÷íû� ðàññóæäåíè� ï� èíäóêöè� � äîêàçûâàåòñÿ, ÷ò� µ̂ = µ. Ñëåäñòâèå. Ïóñò� G − ïîçèöèîííà� èãðà, äë� êîòîðî� ñóùåñòâóå� åäèíñòâåííî� ñîâåðøåííî� ïîäèãðîâî� ðàâíîâåñè� µ. Òîãä� èãð� � íîðìàëüíî� ôîðì� Γ(G) ðàçðåøèì� ï� äîìèíèðîâàíèþ, � âûèãðûø� èãðîêî� ua (µ), a ∈ A, çàäàþòñ� àëãîðèòìî� Êóíà. � ñëåäóþùå� ïðèìåð� (ðèñ. 13.6) ñîâåðøåííî� ïîäûãðîâî� ðàâíîâåñè� ñòðîã� õóæ� äë� èãðîêîâ, ÷å� äðóãà� ñèòóàöèÿ.
×(2, 2) 1b@@@@ b2 @@@@@@@@××(5, 5)(0, 6) Ðèñ. 13.6 152 14. Ïîçèöèîííû� èãð� îáùåã� âèä� 14. Ïîçèöèîííû� èãð� îáùåã� âèä� Îñíîâíî� îòëè÷è� ïîçèöèîííû� èã� � íåïîëíî� èíôîðìàöèå� î� èã� � ïîëíî� èíôîðìàöèå� ñîñòîè� � òîì, ÷ò� èãðî� � ìîìåí� ïðèíÿòè� ðåøåíè� í� çíàå� òî÷í� ñîñòîÿíè� èãðû, ò� åñò� í� ðàçëè÷àå� íåêîòîðû� âåðøèí� ìåæä� ñîáîé.
Îòìåòèì, ÷ò� íåòî÷íà� èíôîðìàöè� � òåêóùå� ñîñòîÿíè� òèïè÷í� äë� ðåàëüíû� êîíôëèêòîâ. Îáùå� ïîíÿòè� ïîçèöèîííî� èãð� (� íåïîëíî� èíôîðìàöèåé) îòëè÷àåòñ� î� äàííîã� âûø� îïðåäåëåíè� èãð� � ïîëíî� èíôîðìàöèå� � ñëåäóþùå� îòíîøåíèè. Äë� êàæäîã� èãðîê� a ââîäèòñ� äîïîëíèòåëüíî� ðàçáèåíè� ìíîæåñòâ� åã� ïîçèöè� í� èíôîðìàöèîííû� ìíîæåñòâà. Èíôîðìàöèîííî� ìíîæåñòâ� − ýò� ñîâîêóïíîñò� ñîñòîÿíè� ïîçèöèîííî� èãðû, êîòîðû� èãðî� í� ðàçëè÷àå� ìåæä� ñîáîé.
Íåîáõîäèìû� óñëîâèå� äë� âñå� ïîçèöè� îäíîã� èíôîðìàöèîííîã� ìíîæåñòâ� ÿâëÿåòñ� îäèíàêîâî� ÷èñë� àëüòåðíàòèâ, ò.å. ïîñëåäóþùè� ïîçèöèé, � êàæäî� òàêî� âåðøèíå. Êðîì� òîãî, èíôîðìàöèîííî� ìíîæåñòâ� í� äîëæí� ñîäåðæàò� äâó� ïîçèöèé, ïðèíàäëåæàùè� îäíîì� ïóòè, ñîåäèíÿþùåì� íà÷àëüíó� âåðøèí� � íåêîòîðî� ôèíàëüíîé. Çàíóìåðóå� ýò� ìíîæåñòâ� äë� êàæäîã� èãðîê� � îáîçíà÷è� èíôîðìàöèîííî� ìíîæåñòâ� � íîìåðî� j èãðîê� a ∈ A ÷åðå� Z aj .
Êà� � � èãð� � ïîëíî� èíôîðìàöèåé, � ïðîèçâîëüíî� ïîçèöèîííî� èãð� � a G = A, (X, σ), ua (x), x ∈ T, a ∈ A; X\T = X ∪ X 0 , a∈A � ∀ x ∈ X 0 ∃ p(x0 |x), x� ∈ σ −1 (x) , çàäàí� • A − ìíîæåñòâ� èãðîêîâ; • (X, σ) − êîíå÷íî� äåðåâ� (îðèåíòèðîâàííû� ãðà� áå� öèêëîâ), ãä� X − ìíîæåñòâ� ïîçèöè� (âåðøèí) � íà÷àëüíî� âåðøèíî� x0 � σ : X → X − îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùå� êàæäî� âåðøèí� äåðåâ� (X, σ) å� áëèæàéøåã� ïðåäøåñòâåííèêà, ïðè÷å� 1) σ(x0 ) = x0 , 2) íàéäåòñ� öåëî� l ≥ 0, ÷ò� σ l (x) = x0 ∀ x ∈ X; íàèìåíüøå� òàêî� l íàçûâàåòñ� äëèíî� äåðåâ� (X, σ); • T = {x ∈ X | σ −1 (x) = ∅} − ìíîæåñòâ� ôèíàëüíû� âåðøèí; • R = {X a , a ∈ A, X 0 } − ðàçáèåíè� ìíîæåñòâ� X\T í� ïîïàðí� íåïåðåñåêàþùèåñ� ïîäìíîæåñòâà; • X a − ìíîæåñòâ� ëè÷íû� ïîçèöèé, � êîòîðû� äåëàå� õî� èãðî� a ∈A; 153ÃËÀÂ� III.
ÈÃÐ� ÌÍÎÃÈ� ËÈ�• X 0 − ìíîæåñòâ� ïîçèöèé, � êîòîðû� "äåëàå� õîä"ñëó÷àé; • ua : T → E 1 − ôóíêöè� âûèãðûø� èãðîê� a;• äë� êàæäîã� x ∈ X 0 çàäàí� âåðîÿòíîñò�Pp(x0 |x) > 0,p(x0 |x) = 1, x0 ∈σ −1 (x) � −1ïåðåõîä� è� ïîçèöè� � � ïîçèöè� x ∈ σ (x). Êðîì� òîãî, äë� êàæäîã� a ∈ A çàäàí� aj ðàçáèåíè� a X = Zj∈J a í� èíôîðìàöèîííû� ìíîæåñòâ� Z , j ∈ J a , âêëþ÷àþùè� ïîçèöè� � îäèíàêîâû� ÷èñëî� àëüòåðíàòèâ, ðàâíû� k(j).
Àëüòåðíàòèâ� êàæäî� ïîçèöè� x ∈ Z aj ïðîíóìåðîâàí� ñëåâ� íàïðàâ� ÷èñëàì� î� 1 ä� k(j). Èãðî� a äåëàå� õîä, í� ðàçëè÷à� ïîçèöè� è� Z aj ìåæä� ñîáîé. ×òîá� îòðàçèò� ýò� îáñòîÿòåëüñòâî, îáîçíà÷è� ÷åðå� Alaj = {1, ..., k(j)} ìíîæåñòâ� íîìåðî� àëüòåðíàòè� äë� èíôîðìàöèîííîã� ìíîæåñòâ� Z aj èãðîê� a ∈ A.
Â� âñå� ïîçèöèÿ� x ∈ Z aj ìíîæåñòâ� Alaj èçîìîðôí� ìíîæåñòâ� ïîçèöè� σ −1 (x). Îáîçíà÷è� ÷åðå� ξ(x, k) âåðøèíó, ñëåäóþùó� ç� x � ñîîòâåòñòâóþùó� àëüòåðíàòèâ� � íîìåðî� k ∈ Alaj ïð� óêàçàííî� èçîìîðôèçìå. ajÎïðåäåëåíèå. ×èñòî� ñòðàòåãèå� èãðîê� a ∈ A íàçûâàåòñ� îòîáðàæåíè� µa , îïðåäåëÿþùå� äë� êàæäîã� èíôîðìàöèîííîã� ìíîæåñòâ� Z aj àëüòåðíàòèâ� µa (Z aj ) ∈ Alaj , êîòîðó� èãðî� âûáèðàå� � ëþáî� è� âåðøè� ýòîã� ìíîæåñòâà. Íàáî� òàêè� ñòðàòåãè� µ = (µa , a ∈ A) íàçûâàåòñ� ñèòóàöèåé. Âåðîÿòíîñò� ïîïàñò� � ïîçèöè� x ∈ X , íåïîñðåäñòâåíí� ñëåäóþùó� ç� âåðøèíî� σ(x) ∈ Z aj ïð� èñïîëüçîâàíè� ñèòóàöè� µ, îïðåäåëÿåòñ� ï� ôîðìóë� p(x|µ) = p(σ(x)|µ)p(x|σ(x), µ), ãä� � 1, åñë� x = ξ(σ(x), µa (Z aj )), p(x|σ(x), µ) = 0 � ïðîòèâíî� ñëó÷àå.
Åñë� æ� σ(x) ∈ X 0 − ïîçèöè� ñëó÷àÿ, ò� âåðîÿòíîñò� p(x|σ(x), µ) = p(x|σ(x)) çàäàí� óñëîâèÿì� èãðû. Òàêè� îáðàçîì, äë� ëþáî� ñèòóàöè� µ äë� êàæäîã� èãðîê� a ∈ A îïðåäåëåí� ñðåäíå� çíà÷åíè� ôóíêöè� âûèãðûø� � u a (µ) = E(u a (x)|µ) = p(x|µ)u a (x). x∈T Îïðåäåëåíèå. Ñìåøàííî� ñòðàòåãèå� π a èãðîê� a ∈ A íàçûâàåòñ� âåðîÿòíîñòíî� ðàñïðåäåëåíè� í� ìíîæåñòâ� {µa } åã� ÷èñòû� ñòðàòåãèé, 154 14. Ïîçèöèîííû� èãð� îáùåã� âèä�ñòàâÿùå� � ñîîòâåòñòâè� êàæäî� ñòðàòåãè� µa âåðîÿòíîñò� πµa a å� âûáîðà. Ñèòóàöè� π = (π a , a ∈ A) � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� îïðåäåëÿå� âåðîÿòíîñòíî� ðàñïðåäåëåíè� í� ìíîæåñòâ� T ôèíàëüíû� ïîçèöèé: X Yp(x|π) = πµa p(x|µ) ∀ x ∈ T.
µa∈A Îæèäàåìû� âûèãðû� èãðîê� a � ñèòóàöè� π îïðåäåëÿåòñ� êà� ìàòåìàòè÷åñêî� îæèäàíè� Xu a (π) = E(u a (x)|µ) = p(x|π)u a (x). x∈T Óêàçàííû� ñïîñî� ââåäåíè� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� àíàëîãè÷å� ñëó÷à� èã� � íîðìàëüíî� ôîðìå. Îäíàê� � äàííî� êëàññ� èã� îí, êà� ïðàâèëî, íåýôôåêòèâåí, ïîñêîëüê� äàæ� äë� íåáîëüøè� äåðåâüå� ÷èñë� âîçìîæíû� ÷èñòû� ñòðàòåãè� ìîæå� áûò� î÷åí� âåëèêî.
Áîëå� ýôôåêòèâíû� ÿâëÿåòñ� ñëåäóþùè� ïîäõîä, ñâÿçàííû� � ïîíÿòèå� ñòðàòåãè� ïîâåäåíèÿ. Ðàññìîòðè� ñèòóàöèþ, êîãä� èãðî� âûáèðàå� âåðîÿòíîñòíî� ðàñïðåäåëåíè� í� àëüòåðíàòèâà� äë� êàæäîã� ñâîåã� èíôîðìàöèîííîã� ìíîæåñòâ� è, � ñëó÷à� ñâîåã� âûáîðà, ïðîâîäè� ðàíäîìèçàöèþ, ïîëüçóÿñ� ýòè� ðàñïðåäåëåíèåì. Ïð� ýòî� ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷ò� ñëó÷àéíû� âûáî� àëüòåðíàòè� � ðàçëè÷íû� èíôîðìàöèîííû� ìíîæåñòâà� ïðîèçâîäèòñ� íåçàâèñèìî. Îïðåäåëåíèå. Ñòðàòåãèå� ïîâåäåíè� β a èãðîê� a íàçûâàåòñ� îòîáðàæåíèå, êîòîðî� êàæäîì� èíôîðìàöèîííîì� ìíîæåñòâ� Z aj , j ∈ J a , ñîïîñòàâëÿå� íàáî� (pajk ,k = 1, ..., k(j)) : k(j)Xaj paj k = 1, pk ≥ 0, k = 1, ..., k(j),k=1aj ïðè÷å� paj� ëþáî� ïîçèk − âåðîÿòíîñò� âûáîð� àëüòåðíàòèâ� k ∈ Alajöè� ìíîæåñòâ� Z .
Ëþáà� ñèòóàöè� β = (β a , a ∈ A) � ñòðàòåãèÿ� ïîâåäåíè� îïðåäåëÿå� âåðîÿòíîñòíî� ðàñïðåäåëåíè� í� ìíîæåñòâ� ïîçèöè� ñëåäóþùè� îáðàçîì: σ(x) ∈ Z aj , x = ξ(σ(x), k), k ∈ Alaj ⇒ p(x|β) = p(σ(x)|β)pajk ;155 ÃËÀÂ� III. ÈÃÐ� ÌÍÎÃÈ� ËÈ�σ(x) ∈ X 0 ⇒ p(x|β) = p(σ(x)|β)p(x|σ(x)).
Îæèäàåìû� âûèãðû� ua (β) èãðîê� a � ñèòóàöè� Pβ = (β a , a ∈ A) îïðåäåëÿåòñ� êà� ìàòåìàòè÷åñêî� îæèäàíè� ua (β) = p(x|β)ua (x). x∈T Òàêè� îáðàçîì, ì� îïðåäåëèë� äâ� ñìåøàííû� ðàñøèðåíè� èãð� Γ(G): ˆΓ(G) = A, {π a }, ua (π), a ∈ A � Γ(G)= A, {β a }, ua (β), a ∈ A . Êà� îí� ìåæä� ñîáî� ñîîòíîñÿòñÿ? Èçó÷è� ýòî� âîïðîñ, èñïîëüçó� ñëåäóþùè� ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèå.
Ïîçèöè� x ∈ X a èãðîê� a íàçûâàåòñ� âîçìîæíî� äë� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� π a (÷èñòî� ñòðàòåãè� µa ), åñë� ñóùåñòâóå� òàêà� ñèòóàöè� π (µ), ñîäåðæàùà� π a (µa ), ÷ò� p(x|π) > 0 (p(x|µ) > 0). Îïðåäåëåíèå. Èíôîðìàöèîííî� ìíîæåñòâ� Z aj èãðîê� a íàçûâàåòñ� ñóùåñòâåííû� äë� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� π a (÷èñòî� ñòðàòåãè� µa ), åñë� íåêîòîðà� ïîçèöè� x ∈ Z aj âîçìîæí� äë� π a (µa ). Îáîçíà÷è� ìíîæåñòâ� ïîçèöèé, âîçìîæíû� äë� ñòðàòåãè� µa , ÷åðå� Poss µa , � ñåìåéñòâ� èíôîðìàöèîííû� ìíîæåñòâ, ñóùåñòâåííû� äë� µa , ÷åðå� Rel µa . Àíàëîãè÷í� ââîäÿòñ� ìíîæåñòâ� Poss π a � ñåìåéñòâ� Rel π a . Îáîçíà÷è� ÷åðå� [x0 , x] ïóòü, âåäóùè� è� íà÷àëüíî� âåðøèí� x0 äåðåâ� � âåðøèí� x.
Óïðàæíåíè� 14.1. Ïóñò� µa − ÷èñòà� ñòðàòåãè� èãðîê� a ∈ A. Ïîêàæèòå, ÷ò� x ∈ Poss µa òîãä� � òîëüê� òîãäà, êîãä� ñòðàòåãè� µa � ëþáî� âåðøèí� x� ∈ [x0 , x] ∩ X a , x� 6= x, âûáèðàå� àëüòåðíàòèâó, ïðèíàäëåæàùó� ïóò� [x0 , x]. � ÷àñòíîñòè, åñë� x ∈ X a ∩ Z aj − ïåðâà� ïîçèöèÿ, ãä� èãðî� a äåëàå� õîä, ò� x ∈ Poss µa � Z aj ∈ Rel µa äë� ëþáî� ÷èñòî� ñòðàòåãè� µa .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
