А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1, j = 2, 3, Èãð� Γ3 . G3 = min max bij = 6, D� = {(i, j) | bij > 6}, 1≤i≤3 1≤j≤3 � K = max � aij = 4 > F1 = 3 ⇒ F3 = K � = 4 (i,j)∈D(2, g(2) = 1, � f1 0 (g) = − îïòèìàëüíà� ñòðàòåãèÿ. 3, g(2) 6= 1, Ïðèìå� 11.2. Ðåøè� èãð� Γ1 , Γ2 , Γ3 äë� èãð� Γ : X = Y = [0, 1], F (x, y) = 3x/4 + y/2, G(x, y) = (x − y)2 . Èãð� Γ1 . F1 = sup min (3x/4 + y/2), 0≤x≤1 y∈Y (x)⎧ 0 ≤ x < 1/2,{1}, Y (x) = Arg max (x − y)2 = {0, 1}, x = 1/2, 0≤y≤1⎩ {0}, 1/2 < x ≤ 1.
Ãðàôè� ôóíêöè� W (x) = min (3x/4 + y/2) ñì. í� ðèñ. 11.1. y∈Y (x) 129ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�W (x) � 7/8 >� 3/4 � 1/2 x 1 Ðèñ. 11.1 Çäåñ� F1 = 7/8, xε = 1/2 − 4ε/3 − ε-îïòèìàëüíà� ñòðàòåãèÿ. Îòìåòèì, ÷ò� âíåøíÿ� âåðõíÿ� ãðàí� � âûðàæåíè� äë� F1 í� äîñòèãàåòñÿ. Èãð� Γ2 . G2 = max min (x − y)2 = 0, D = {(x, y) | (x − y)2 > 0}, 0≤y≤1 0≤x≤1� xε , y = y ε , ε εεK = 5/4 = F2 , (x , y ) = (1 − 4ε/3, 1), f (y) = y, y = 6 y ε , − ε-îïòèìàëüíà� ñòðàòåãèÿ.
Èãð� Γ3 . G3 = min max (x − y)2 = 1/4, x� = 1/2, 0≤x≤1 0≤y≤1D� = {(x, y) | |x − y| > 1/2}, K � = sup (3x/4 + y/2) = 1 >(x,y)∈D� 07/8 = F1 (⇒ F3 = K , (x , y ) = (1, 1/2 − 2ε) ∈ K 0 , f1 ε (g) = εε1,g(1) = 1/2 − 2ε,− ε-îïòèìàëüíà� ñòðàòåãèÿ.1/2, g(1) =6 1/2 − 2ε, Ïðèìå� 11.3. Èãð� ïåðåñòðàõîâàíèÿ.
Ïåðåñòðàõîâùè� (èãðî� 1) � ñòðàõîâùè� (èãðî� 2) çàêëþ÷àþ� äîãîâî� ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ïóñò� Z −ñóììàðíî� âîçìåùåíè� ñòðàõîâùèê� êëèåíòàì, ïðåäñòàâëÿþùå� ñîáî� ñëó÷àéíó� âåëè÷èí� � ýêñïîíåíöèàëüíî� ïëîòíîñòü� ðàñïðåäåëåíè� e−z/m /m, z ≥ 0. Ïð� çàêëþ÷åíè� äîãîâîð� ñòðàõîâùè� âûáèðàå� ïðåäå� óáûòî÷íîñò� y ∈ Y = {y ∈ E 1 | y ≥ 0} : åñë� Z > y, ò� ñóìì� Z − y âîçìåùàå� ïåðåñòðàõîâùèê. Îòìåòèì, ÷ò� ïð� y = 0 ñòðàõîâùè� ïîëíîñòü� ïåðåäàå� îïëàò� èñêî� ïåðåñòðàõîâùèêó. Âåëè÷èí� Z∞ 1 h(y) = E max[Z − y, 0] = (z − y) e−z/m dz = me−y/m m def y 130 11. Èåðàðõè÷åñêè� èãð� äâó� ëè�− ñðåäíÿ� âåëè÷èí� âûïëà� ïåðåñòðàõîâùèêà.
Ñòîèìîñò� äîãîâîð� ïådef ðåñòðàõîâàíè� ðàâí� d(x, y) = (1 + x)h(y), ãä� x ≥ 0 − êîýôôèöèåí� íàäáàâê� ç� ðèñê, óñòàíàâëèâàåìû� ïåðåñòðàõîâùèêîì. Áóäå� ñ÷èòàòü, ÷ò� îïëàò� äîãîâîð� îñóùåñòâëÿåòñ� ñòðàõîâùèêî� è� ôîíä� ñòðàõîâû� ïëàòåæå� âåëè÷èí� A > m. Äîãîâî� ìîæå� áûò� çàêëþ÷å� ëèø� ïð� âûïîëíåíè� íåðàâåíñòâ� d(x, y) + y ≤ A.
Ïîëîæè� Ŷ (x) = {y ∈ Y | d(x, y) + y ≤ A}, X = {x ∈ E 1 | x ≥ 0, Ŷ (x) =6 ∅}. Åñë� y ∈ Ŷ (x), ò� äîãîâî� çàêëþ÷àåòñÿ, âûèãðû� ïåðåñòðàõîâùèê� ðàâå� åã� îæèäàåìî� ïðèáûë� F (x, y) = xh(y), � âûèãðû� ñòðàõîâùèê� −ãàðàíòèðîâàííî� âåëè÷èí� îñòàòê� ôîíä� ñòðàõîâû� ïëàòåæå� G(x, y) = A − d(x, y) − y, ñîîòâåòñòâóþùå� ñëó÷à� Z ≥ y.
Ðåøè� èãð� Γ1 . Íàïîìíèì, ÷ò� ñíà÷àë� ïåðâû� èãðî� ñîîáùàå� âòîðîì� ñòðàòåãè� x ∈ X. Çàòå� âòîðî� èãðî� âûáèðàå� ñòðàòåãè� y ∈ Y (x) = Arg max G(x, y). Ïóñò� x ∈ X. Ìàêñèìó� y∈Ŷ (x) max G(x, y) = max [A − (1 + x)me−y/m − y] = A − m − m ln(1 + x) y∈Ŷ (x) y∈Ŷ (x) äîñòèãàåòñ� � åäèíñòâåííî� òî÷ê� y(x) = m ln(1 + x). Îòñþä� âûòåêàåò, ÷ò� Ŷ (x) 6= ∅, åñë� A − m − m ln(1 + x) ≥ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, X = [0, x0 ], def ãä� x0 = e(A−m)/m − 1. Îòñþä� F1 = max F (x, y(x)) = max 0 x∈X 0≤x≤xxm x0 m = 1 + x 1 + x0 � x0 − îïòèìàëüíà� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà.
Óïðàæíåíè� 11.5. Ðàññìîòðèò� èãð� äâó� ôèð� è� ïðèìåð� 9.9 ïð� α = 1 � ðåøèò� èãð� Γ1 . Ñðàâíèò� íàèëó÷øè� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòà� ïåðâîã� èãðîê� F1 � âûèãðûøåì, êîòîðû� î� ïîëó÷àå� � ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Ðàâíîâåñè� ï� Øòàêåëüáåðã� Îïðåäåëè� òåïåð� ðàâíîâåñè� ï� Øòàêåëüáåðã� èãð� Γ1 . Ïîëîæè� Y ∗ (x) =Ar� max F (x, y) ìíîæåñòâ� íàèëó÷øè� îòâåòî� âòîðîã� èãðîêà, y∈Y (x) áëàãîæåëàòåëüíû� ï� îòíîøåíè� � ïåðâîìó. Îïðåäåëåíèå. Ñèòóàöè� (x0 , y 0 ) íàçûâàåòñ� ðàâíîâåñèå� ï� Øòàêåëüáåðãó, åñë� x 0 ∈ Arg max max F (x, y), y 0 ∈ Y ∗ (x 0 ). x∈X y∈Y (x) 131 ÃËÀÂ� II.
ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�Çäåñ� ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷ò� âòîðî� èãðîê, ïîëó÷è� èíôîðìàöè� � x, èñïîëüçóå� ñâî� íàèëó÷øè� îòâåò, áëàãîæåëàòåëüíû� ï� îòíîøåíè� � ïåðâîì� èãðîêó. Ïîêàæåì, ÷ò� � ñäåëàííû� ïðåäïîëîæåíèÿ� ðàâíîâåñè� ï� Øòàêåëüáåðã� ñóùåñòâóåò. Äë� ýòîã� îïðåäåëè� ñòðàòåãè� âòîðîã� èãðîê� g ∗ : g ∗ (x) ∈ Y ∗ (x) ∀x ∈ Y. Ï� ëåìì� 11.1 ôóíêöè� F (x, g ∗ (x)) ïîëóíåïðåðûâí� ñâåðõ� í� X. Ñëåäîâàòåëüíî, îí� äîñòèãàå� í� êîìïàêò� X íàèáîëüøå� çíà÷åíè� � íåêîòîðî� òî÷ê� x0 . Òîãä� ïð� y 0 = g ∗ (x0 ) ñèòóàöè� (x0 , y 0 ) áóäå� ðàâíîâåñèå� ï� Øòàêåëüáåðãó. Óïðàæíåíè� 11.6. � óñëîâèÿ� ïðèìåðî� 11.1 � 11.2 íàéäèò� ðàâíîâåñè� ï� Øòàêåëüáåðãó.
Îòìåòèì, ÷ò� èñïîëüçîâàíè� ðàâíîâåñè� ï� Øòàêåëüáåðã� òðåáóå� î� èãðîêî� ñîòðóäíè÷åñòâà, êîòîðîå, êà� ïîêàçûâàå� ñëåäóþùè� ïðèìåð, í� âñåãä� âîçìîæíî. � èãð� � ìàòðèöàì� 5 7 5 6 A = , B = 4 8 1 1 ñèòóàöè� (2,2) ÿâëÿåòñ� åäèíñòâåííû� ðàâíîâåñèå� ï� Øòàêåëüáåðãó. Îäíàê� äîãîâîðèòüñ� � íå� èãðîêà� áóäå� î÷åí� ñëîæíî, ïîñêîëüê� � ñèòóàöè� (1,2) (âîçíèêàþùå� ïð� ðåøåíè� èãð� Γ1 ) âûèãðû� âòîðîã� èãðîê� ñóùåñòâåíí� áîëüøå, ÷å� � (2,2), � î� åäâ� ë� ñîãëàñèòñ� í� ñèòóàöè� (2,2).
Êîììåíòàðè� � áèáëèîãðàôè� � ãëàâ� II 9. Ïîíÿòè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ÷àñòíî� ñëó÷àå, åù� � 19-� âåêå, èñïîëüçîâàëîñ� Î. Êóðí� ïð� àíàëèç� ìîäåë� äóîïîëè� [59]. Îïðåäåëåíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� äë� èãð� ìíîãè� ëè� ïðèíàäëåæè� Äæ. Íýø� [76]. � 1999 ãîä� Äæî� Íý� ïîëó÷è� Íîáåëåâñêó� ïðåìè� ï� ýêîíîìèêå. Êðèòè÷åñêè� ðàçáî� ïîíÿòè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� (� ÷àñòíîñòè, àíàëè� èã� "ñåìåéíû� ñïîð"� "äèëåìì� çàêëþ÷åííîãî") ñäåëà� Ð.Ä. Ëüþñî� � Õ. Ðàéôî� [61].
Ïðèìå� 9.3 ÿâëÿåòñ� ìîäèôèêàöèå� ïðèìåð� "ïåðåêðåñòîê"è� [71]. Òåîðåì� 9.1 � íåïîäâèæíî� òî÷ê� ïðèíàäëåæè� Ë. Áðàóýð� [18]. Êîìáèíàòîðíî� äîêàçàòåëüñòâ� ýòî� òåîðåìû, èñïîëüçóþùå� ëåìì� Ý. Øïåðíåð� [107], ïîëó÷åí� Á. Êíàñòåðîì, Ê. Êóðàòîâñêè� � Ñ. Ìàçóðêåâè÷å� [53] (äîêàçàòåëüñòâ� òåîðåì� ñì. � Ïðèëîæåíè� � � [79]). 132 11. Èåðàðõè÷åñêè� èãð� äâó� ëè�Òåîðåì� ñóùåñòâîâàíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãð� ìíîãè� ëè� � âîãíóòûì� ôóíêöèÿì� âûèãðûø� (ñì.
òàêæ� ñëåäóþùó� ãëàâó) äîêàçàí� Õ. Íèêàéä� � Ê. Èñîä� [75]. Ïðèìå� 9.6 ÿâëÿåòñ� ÷àñòíû� ñëó÷àå� ìîäåë� Î. Êóðí� [59]. Áàéåñîâñêè� èãð� ââåäåí� Äæ. Õàðøàíü� [92]. Ïðèìå� 9.10 âçÿ� è� [91]. 10. Òåðìè� "áèìàòðè÷íà� èãðà"áû� ïðåäëîæå� Í.Í. Âîðîáüåâû� (ñì. [34], ãä� ñîäåðæèòñ� ñèñòåìàòè÷åñêî� èçëîæåíè� òåîðè� áåñêîàëèöèîííû� èãð). Òåîðåì� ñóùåñòâîâàíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � áèìàòðè÷íû� èãðà� äîêàçàí� Äæ. Íýøå� [76]1 . Òà� æ� ïðèâåäåí� ñâîéñòâ� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ. Óñëîâè� îáùíîñò� ïîëîæåíè� äë� áèìàòðè÷íû� èã� èñïîëüçîâàë� Ê. Ëåìê� � Äæ. Õîóñî� [60] ïð� ðàçðàáîòê� àëãîðèòì� ïîèñê� âñå� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ.
Òåîðåì� 10.3 èìååòñ� � êíèã� Ý. Ìóëåí� [71]. Èçëîæåííû� àëãîðèò� ïîèñê� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� áèìàòðè÷íî� èãð� ÿâëÿåòñ� âåñüì� óïðîùåííû� âàðèàíòî� àëãîðèòì� Ê. Ëåìê� � Äæ. Õîóñîí� [60, 79]. Êîíöåïöè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ, îñíîâàííà� í� èñêëþ÷åíè� äîìèíèðóåìû� ñòðàòåãèé, ïðåäëîæåí� Ý.
Ìóëåíî� [71]. Äîêàçàòåëüñòâ� îòñóòñòâè� ñõîäèìîñò� èòåðàöèîííîã� ïðîöåññ� � ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� èãð� è� ïðèìåð� 10.1 ïðèíàäëåæè� Ë.Ñ. Øåïë� [103] 11. Îñíîâ� òåîðè� èåðàðõè÷åñêè� èã� � èñïîëüçîâàíèå� ïðèíöèï� ãàðàíòèðîâàííîã� ðåçóëüòàò� äë� èãðîêà-ëèäåð� (èãðîê� 1) çàëîæåí� Þ.Á. Ãåðìåéåðî� [37, 38]. � ÷àñòíîñòè, Þ.Á. Ãåðìåéåð� ïðèíàäëåæè� öåíòðàëüíû� ðåçóëüòà� ýòî� òåîðè� − òåîðåì� 11.1.
Àíàëîãè÷íû� ðåçóëüòà� äë� èã� Γ3 (óïðàæíåíè� 11.1 � 11.2) ïîëó÷å� Í.Ñ. Êóêóøêèíû� [57]. Ýêîíîìè÷åñêà� èíòåðïðåòàöè� èåðàðõè÷åñêè� èã� ïðåäëîæåí� È.À. Âàòåëå� � Ô.È. Åðåøê� [28]. Îïðåäåëåíè� ðàâíîâåñè� ï� Øòàêåëüáåðã� ñôîðìóëèðîâàí� � [95]. Îáçî� ðàáî� ï� èåðàðõè÷åñêè� èãðà� ñì. � [52]. 1 Äàæ� ãëàâ� III) äë� áîëå� îáùè� èã� � êîíå÷íûì� ìíîæåñòâàì� ñòðàòåãè� èãðîêî� (ñì. 133 ÃËÀÂ� III.
ÈÃÐ� ÌÍÎÃÈ� ËÈ� 12.Ðàâíîâåñè� ï� Íýøó. Ðåøåíè� èã� � íîðìàëüíî� ôîðì� Ïóñò� èìååòñ� ìíîæåñòâ� A ó÷àñòíèêî� èãð� èë� èãðîêîâ. Èãðî� a èìåå� � ñâîå� ðàñïîðÿæåíè� ñòðàòåãè� sa è� ìíîæåñòâ� ñòðàòåãè� S a . Êàæäû� è� èãðîêî� âûáèðàå� ñòðàòåãèþ, í� çíà� âûáîðî� ïàðòíåðîâ. � ðåçóëüòàò� � èãð� âîçíèêàå� íàáî� ñòðàòåãè� Ns = (sa , a ∈ A) ∈ S = S a , a∈A íàçûâàåìû� ñèòóàöèåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
