А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Òàêè� îáðàçîì, í� (k + 1)-� øàã� âîçíèêíå� ïàð� (1,1) èë� (1,3). Ïðè÷å� ïîñë� íåñêîëüêè� âîçìîæíû� ïîâòîðåíè� ïàð� (1,1) îáÿçàòåëüí� ïåðåéäå� � ïàð� (1,3). Àíàëîãè÷í� äîêàçûâàåòñÿ, ÷ò� ïîñë� ïàð� (1,3) ïðîöåñ� îáÿçàòåëüí� ïåðåéäå� � ïàð� (3,3) � ò.ä.
ï� ñõåì� (1, 1) → (1, 3) → (3, 3) → (3, 2) → (2, 2) → (2, 1) → (1, 1).Ïóñò� í� (k + 1)-� øàã� ïðîöåñ� ïåðåøå� � ïàð� (2,1) í� ïàð� (1,1) (ò.å. ik = 2, jk = 1, ik+1 = jk+1 = 1), í� (k + s + 1)-� øàã� − � ïàð� (1,1) í� ïàð� (1,3), � í� (k + s + t + 1)-� øàã� − � ïàð� (1,3) í� ïàð� (3,3): =kk+sk+s+t ..., (2, 1), (1, 1), ..., (1, 1), (1, 3), ..., (1, 3), (3, 3), ... Òîãä� A(1, q(k)) ≥ A(3, q(k)) � A(3, q(k + s + t)) = kA(3, q(k)) + sa31 + ta33≥ A(1, q(k + s + t)) = k + s + t kA(1, q(k)) + sa11 + ta13 kA(3, q(k)) + sa11 + ta13 ≥ .
k + s + t k + s + tÎòñþä� ïîëó÷àå� íåðàâåíñòâ� sa31 + ta33 ≥ sa11 + ta13 èë� t ≥ 2s. = 120 10. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � áèìàòðè÷íû� èãðà�Èòàê, "ïðåáûâàíèå"ïðîöåññ� � åã� îñòàíîâê� í� ïàð� (1,3) áóäå� ï� êðàéíå� ìåð� � äâ� ðàç� ïðîäîëæèòåëüíåå, ÷å� í� íåïîñðåäñòâåíí� ïðåäøåñòâîâàâøå� îñòàíîâê� í� ïàð� (1,1). Òî÷í� òà� æ� ïîñëåäóþùà� îñòàíîâê� í� ïàð� (3,3) ï� êðàéíå� ìåð� � äâ� ðàç� ïðîäîëæèòåëüíåå, ÷å� í� ïàð� (1,3) � ò.ä. Òåïåð� ðàññìîòðèì, êà� ìåíÿþòñ� ñòðàòåãè� èãðîêîâ. Åñë� ïåðâû� èãðî� í� íåêîòîðî� øàã� èñïîëüçóå� ñòðàòåãè� 1, ò� � äàëüíåéøå� î� å� ñìåíè� í� ñòðàòåãè� 3, ïîòî� ñòðàòåãè� 3 í� ñòðàòåãè� 2 � ò.ä.
ï� ñëåäóþùåì� öèêëó: 1 → 3 → 2 → 1. Ðàçîáüå� ðàññìàòðèâàåìû� ïðîöåñ� í� îòðåçê� øàãî� ïîñòîÿííîã� èñïîëüçîâàíè� ïåðâû� èãðîêî� ñâîè� ÷èñòû� ñòðàòåãèé. Äëèí� òàêîã� îòðåçê� − ýò� ÷èñë� ñîäåðæàùèõñ� � íå� øàãîâ. Ëåìì� 10.1. Äëèí� îòðåçê� ïîñòîÿííîã� èñïîëüçîâàíè� ïåðâû� èãðîêî� ëþáî� ÷èñòî� ñòðàòåãè� áîëåå, ÷å� � òð� ðàç� ïðåâûøàå� ÷èñë� øàãî� ïðîöåññà, ïðåäøåñòâîâàâøè� äàííîì� îòðåçêó. Äîêàçàòåëüñòâî.
Áå� ïîòåð� îáùíîñò� áóäå� ñ÷èòàòü, ÷ò� ïðîöåñ� íà÷èíàåòñ� � ïàð� ñòðàòåãè� (i1 , j1 ) = (1, 1). Ïóñò� ïåðâû� èãðî� l1 = 1 + s ðà� ïîäðÿä, íà÷èíà� � ïåðâîã� øàãà, âûáèðà� ñòðàòåãè� 1 ( îäè� ðà� ïð� ïàð� (1,1) � s ðà� ïð� ïàð� (1,3)). Äàëåå, ïóñò� î� l3 = t + h ðà� âûáèðà� ñòðàòåãè� 3 ( t ðà� ïð� ïàð� (3,3) � h ðà� ïð� ïàð� (3,2)). Çàòå� î� l2 ðàç� ïîäðÿ� âûáèðà� ñòðàòåãè� 2. Òîãäà, ñîãëàñí� ðàíå� äîêàçàííîìó, s ≥ 2, t ≥ 2s, h ≥ 2t ≥ 4s ⇒ l3 = t + h ≥ 6s.
Í� l1 = 1 + s ≤3s/2 ≤ l3 /4. Ñëåäîâàòåëüíî, l3 ≥ 4l1 > 3l1 . Àíàëîãè÷í� ìîæí� äîêàçàò� íåðàâåíñòâ� l2 ≥ 4l3 > 3(l1 + l3 ). Èòàê, óòâåðæäåíè� ëåìì� äîêàçàí� äë� íà÷àëüíû� îòðåçêî� èñïîëüçîâàíè� ñòðàòåãè� 1,3 � 2. Çàâåðøè� äîêàçàòåëüñòâ� èíäóêöèå� ï� ÷èñë� îòðåçêî� èñïîëüçîâàíè� ïåðâû� èãðîêî� ñâîè� ñòðàòåãèé. Ïóñò� ik = 3 è, íà÷èíà� � (k + 1)-ã� øàãà, ïåðâû� èãðî� l20 ðà� èñïîëüçîâà� ñòðàòåãè� 2, çàòå� � (k + l20 + 1)-ã� øàã� î� l10 ðà� èñïîëüçîâà� ñòðàòåãè� 1 � äàëå� ñòðàòåãè� 3. Òîãä� l10 ≥ 4l20 (ýò� äîêàçûâàåòñ� àíàëîãè÷í� íåðàâåíñòâ� l1 ≥ 4l2 ).
Èíäóêòèâíî� ïðåäïîëîæåíè� ñîñòîè� � âûïîëíåíè� íåðàâåíñòâ� l20 > 3k. Í� òîãä� l10 ≥ 4l20 > 3(l20 + k). È� ëåìì� íåïîñðåäñòâåíí� âûòåêàåò, ÷ò� åñë� � ìîìåí� k + 1 ïåðâû� èãðî� ìåíÿå� ñâî� ñòðàòåãè� i (ik = i, ik+1 6= i), ò� i-à� êîìïîíåíò� âåêòîð� p(k) áîëüø� 3/4. Ïîñìîòðèì, êà� ïåðåìåùàåòñ� òî÷ê� p(k) � ñèìïëåêñ� P − ìíîæåñòâ� âñå� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîêà.
Èñïîëüçó� áàðèöåíòðè÷åñêè� 121ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�êîîðäèíàòû, ñèìïëåê� P ìîæí� èçîáðàçèò� í� ïëîñêîñò� � âèä� ðàâíîñòîðîííåã� òðåóãîëüíèê� (ñì. êîììåíòàðè� � ðèñ. 4.1). Í� ðèñ. 10.3 òî÷ê� M, N, � K ðàçáèâàþ� ñòîðîí� òðåóãîëüíèê� P � îòíîøåíè� 3:1. Îòðåçê� [e1 , M ], [e2 , K] � [e3 , N ], ïåðåñåêàÿñü, îáðàçóþ� âíóòðåííè� òðåóãîëüíè� ABC. e1JBBJ� B J000Bp bJ bNAB � � B J� BJBJKb� � p� bXXXXXC XXX BJXXp0� � BXB B� bXXXJe3 Me2 Ðèñ. 10.3 � òå÷åíè� íåñêîëüêè� íà÷àëüíû� øàãî� òî÷ê� p(k) íàõîäèòñ� � âåðøèí� e1 .
Çàòå� îí� ïåðåìåùàåòñ� âäîë� îòðåçê� [e1 , e3 ] ä� íåêîòîðî� òî÷ê� p0 , ìèíó� ïð� ýòî� òî÷ê� K . Äàëå� òî÷ê� p(k) äâèæåòñ� âäîë� îòðåçê� [p0 , e2 ] ä� íåêîòîðî� òî÷ê� p00 , ïåðåñåêà� îòðåçî� [e1 , M ]. Çàòå� îí� ïåðåìåùàåòñ� âäîë� îòðåçê� [p00 , e1 ] ä� íåêîòîðî� òî÷ê� p000 , ïåðåñåêà� îòðåçî� [e3 , N ], � ò.ä.
Ïð� ýòî� òî÷ê� p(k) íèêîãä� í� áóäå� íàõîäèòüñ� âíóòð� òðåóãîëüíèê� ABC , ñîäåðæàùåã� òî÷ê� p0 = (1/3, 1/3, 1/3). Ïîýòîì� p0 í� ÿâëÿåòñ� ïðåäåëüíî� òî÷êî� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� {p(k)}. Àíàëîãè÷í� äîêàçûâàåòñÿ, ÷ò� q 0 = (1/3, 1/3, 1/3) í� ÿâëÿåòñ� ïðåäåëüíî� òî÷êî� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� {q(k)}. 11. Èåðàðõè÷åñêè� èãð� äâó� ëè� Çäåñ� ì� ðàññìàòðèâàå� èãð� äâó� ëèö, � êîòîðû� èãðîê� ïðåæäå, ÷å� âûáðàò� ñòðàòåãè� x ∈ X, y ∈ Y , ïðåäâàðèòåëüí� îáìåíèâàþòñ� èíôîðìàöèå� � ñâîè� âûáîðàõ. Òàêîã� ðîä� èãð� îïèñûâàþ� âçàèìîäåéñòâè� ìåæä� âåðõíè� � íèæíè� çâåíüÿì� óïðàâëåíè� (íà÷àëüíèêî� � ïîä÷èíåííûì, öåíòðî� � ïðîèçâîäèòåëå� ïðîäóêöè� � ò.ï.) � íàçûâàþòñ� èåðàðõè÷åñêèìè. Áóäå� ñ÷èòàòü, ÷ò� ïåðâû� èãðî� îñóùåñòâëÿå� óïðàâëåíè� âòîðû� èãðîêî� � äåëàå� ñîîáùåíè� ïåðâûì.
122 11. Èåðàðõè÷åñêè� èãð� äâó� ëè�Ðàññìîòðè� èñõîäíó� èãð� äâó� ëè� � íîðìàëüíî� ôîðì� Γ = X, Y, F (x, y), G(x, y) , í� îñíîâ� êîòîðî� áóäå� ñòðîèò� èåðàðõè÷åñêè� èãðû. Ïð� ýòî� íà� áóäå� èíòåðåñîâàò� íàèëó÷øè� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòà� (âûèãðûø), êîòîðû� ìîæå� ïîëó÷èò� � èãð� ïåðâû� èãðîê. � äàííî� ïàðàãðàô� ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷ò� ôóíêöè� F (x, y) � G(x, y) íåïðåðûâí� í� ïðîèçâåäåíè� X×Y êîìïàêòî� ìåòðè÷åñêè� ïðîñòðàíñòâ.
Èãð� Γ1 . Ïåðâû� èãðî� âûáèðàå� ñòðàòåãè� x ∈ X � ñîîáùàå� å� âòîðîìó. Çàòå� âòîðî� èãðî� âûáèðàå� ñòðàòåãè� y ∈ Y , çíà� x. Ïð� ýòî� 2áóäå� èñïîëüçîâàò� ñõåìàòè÷íó� çàïèñ� x→y . Ñìûñ� ïîäîáíû� ñîîáùåíè� î÷åâèäå� � òå� ñëó÷àÿõ, êîãä� èíòåðåñ� èãðîêî� áëèçêè. Íàïðèìåð, åñë� â� ðåøèë� � êåì-íèáóä� âñòðåòèòüñÿ, ò� ñîîáùàåòå, êóä� ïðèäåòå. Èãð� Γ1 ÿâëÿåòñ� íåàíòàãîíèñòè÷åñêî� îäíîøàãîâî� èãðî� � ïîëíî� èíôîðìàöèåé. Ýêîíîìè÷åñêà� èíòåðïðåòàöèÿ: ïåðâû� èãðî� (öåíòð) ñîîáùàå� âòîðîì� èãðîê� (ïðîèçâîäèòåë� ïðîäóêöèè) öåí� x í� ïðîäóêöèþ.
Âòîðî� èãðî� âûïóñêàå� ïðîäóêöè� � êîëè÷åñòâ� y , çíà� öåí� x. Ïîëåçí� çàïèñàò� èãð� Γ1 � íîðìàëüíî� ôîðìå. Âòîðî� èãðî� èñïîëüçóå� ñòðàòåãè� âèä� g : X → Y . Ìíîæåñòâ� âñå� òàêè� ñòðàòåãè� îáîçíà÷è� ÷åðå� {g}. Òîãä� Γ1 = X, {g}, F (x, g), G(x, g) , def def ãä� F (x, g) = F (x, g(x)), G(x, g) = G(x, g(x)). Íàéäå� íàèëó÷øè� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòà� F1 ïåðâîã� èãðîê� � èãð� Γ1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� âòîðî� èãðîê, çíà� x, âûáèðàå� y ∈ Y (x) = Arg max G(x, y), y∈Y ò.å.
ìàêñèìèçèðóå� ñâî� ôóíêöè� âûèãðûø� G(x, y). Ïåðâû� èãðî� çíàå� ôóíêöè� âûèãðûø� âòîðîã� èãðîêà, åì� òàêæ� èçâåñòíî, ÷ò� âòîðî� áóäå� âûáèðàò� ñòðàòåãè� è� ìíîæåñòâ� Y (x), í� î� í� çíàå� êîíêðåòíîã� âûáîð� y ∈ Y (x). Âåëè÷èí� W (x) = min F (x, y) íàçûâàåòñ� îöåíêî� ýôôåêòèâíîñò� y∈Y (x) (ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòàòîì) ñòðàòåãè� x. Çàìåòèì, ÷ò� ìíîæåñòâ� Y (x) − íåïóñòî� � ÿâëÿåòñ� êîìïàêòîì. Ñëåäîâàòåëüíî, min äîñòèãàåòñ� � íàèëó÷øè� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòà� y∈Y (x) èìåå� âè� 123 ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�F1 = sup min F (x, y).
x∈X y∈Y (x) Îïðåäåëåíèå. Ïóñò� çàäàí� ε > 0. Ñòðàòåãè� ïåðâîã� èãðîê� xε íàçûâàåòñ� ε-îïòèìàëüíî� � èãð� Γ1 , åñë� W (xε ) ≥ F1 − ε. � äàëüíåéøå� ì� ïðèâåäå� ïðèìåð, � êîòîðî� sup í� äîñòèãàåòñÿ. x∈X Ðåøèò� èãð� Γ1 − ýò� çíà÷è� íàéò� âåëè÷èí� F1 � ε-îïòèìàëüíó� ñòðàòåãè� xε ïð� çàäàííî� ε > 0. Èãð� Γ2 . Ïåðâû� èãðî� ïåðå� âûáîðî� x èìåå� ïîëíó� èíôîðìàöè� î� y. Î� õîäè� ïåðâû� � ñîîáùàå� âòîðîì� èãðîê� ñòðàòåãè� âèä� f : Y → X. Ìíîæåñòâ� âñå� òàêè� ñòðàòåãè� îáîçíà÷è� ÷åðå� {f }.
Ñõåì� 21ñîîáùåíè� � èãð� Γ2 : f → y → x = f (y). Ýêîíîìè÷åñêà� èíòåðïðåòàöèÿ: f (y) − âåëè÷èí� ïðåìèè, îáåùàåìà� öåíòðî� ç� ïðîèçâåäåííó� ïðîäóêöè� y . Íàéäå� âûðàæåíè� äë� íàèëó÷øåã� ãàðàíòèðîâàííîã� ðåçóëüòàò� F2 ïåðâîã� èãðîê� � èãð� Γ2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� âòîðî� èãðîê, çíà� f, âûáèðàå� y è� ìíîæåñòâ� Y (f ) =Argmax G(f (y), y). Ìíîæåñòâ� Y (f ) ìîæå� y∈Y îêàçàòüñ� ïóñòûì, åñë� ôóíêöè� f ðàçðûâíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
