А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ïóñò� öåí� í� ïðîäóêöè� îïðåäåëÿåòñ� ï� ñëåäóþùå� ôîðìóë� p(x + y) = K/(x + y)α , ãä� 1 ≥ α > 0. Òîãä� ìîæí� ñ÷èòàòü, ÷ò� X = [0, (K/c1 )1/α ], ïîñêîëüê� ïð� x > (K/c1 )1/α ïåðâà� ôèðì� òåðïè� óáûòêè. Àíàëîãè÷í� Y = [0, (K/c2 )1/α ]. Çàìåòèì, ÷ò� äë� ïîëó÷åííî� èãð� âûïîëíåí� óñëîâè� òåîðåì� 9.2 � ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� (x0 , y 0 ) ñóùåñòâóåò. Ïóñò� x0 > 0, y 0 > 0.
Òîãä� 100 9. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãðà� äâó� ëè�ðàâíîâåñíû� ñòðàòåãè� x0 , y 0 íàõîäÿòñ� è� ñèñòåì� óðàâíåíè� Fx0 (x 0 , y 0 ) = K αKx0 − c− = 0,1 (x0 + y 0 )α (x0 + y 0 )α+1 G0y (x 0 , y 0 ) = K αKy 0 − c− = 0. 2 (x0 + y 0 )α (x0 + y 0 )α+1 Ñêëàäûâà� óðàâíåíèÿ, íàõîäè� ñíà÷àë� ñóìì� (2 − α)K 1/α , � çàòå� c1 + c2 (2 − α)K (α+1)/α � � 1 (x 0 , y 0 ) = c2 + (α − 1)c1 , c1 + (α − 1)c2 .
α(2 − α)K c1 + c2 x 0 + y 0 = Ïîñêîëüê� y 0 > 0, ò� íåîáõîäèì� c1 + (α − 1)c2 > 0. Åñë� âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� c1 + (α − 1)c2 ≤ 0, ò� ïåðâà� ôèðì� ÿâëÿåòñ� í� ðûíê� ìîíîïîëèñòî� � ðàâíîâåñíû� ñòðàòåãè� èìåþ� âè� (1 − α)K 1/α , y 0 = 0. x 0 = c1 Áàéåñîâñêî� ðàâíîâåñè� Ïóñò� � èãð� äâó� ëè� Γ = X, Y, F (x, y, c), F (x, y, c) ôóíêöè� âûèãðûø� èãðîêî� F (x, y, c) � G(x, y, c) çàâèñÿ� í� òîëüê� î� ñèòóàöè� (x, y), í� � î� ñëó÷àéíîã� âåêòîð� ïàðàìåòðî� c = (c1 , c2 ) ∈ C. Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� ìíîæåñòâ� C êîíå÷í� � p(c), c ∈ C − âåðîÿòíîñòíî� ðàñïðåäåëåíè� í� C, èçâåñòíî� âñå� èãðîêàì.
Ïóñò� Ck − ìíîæåñòâ� çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìû� ïàðàìåòðî� ck , êîãä� âåêòî� c ïðîáåãàå� ìíîæåñòâ� C. Èãðîê� k ïåðå� âûáîðî� ñòðàòåãè� ñòàíîâèòñ� èçâåñòíû� çíà÷åíè� "ñâîåãî"ïàðàìåòð� ck , k = 1, 2. Ïîýòîì� ñòðàòåãèå� ïåðâîã� èãðîê� ÿâëÿåòñ� ôóíêöè� x̃ : C1 → X, � âòîðîã� − ôóíêöè� ỹ : C2 → Y, Ìíîæåñòâ� âñå� ˜ � ôóíêöè� y ˜ − ÷åðå� Y˜ .òàêè� ôóíêöè� x̃ îáîçíà÷è� ÷åðå� X, Îïðåäåëè� îñðåäíåííû� ôóíêöè� âûèãðûø� èãðîêî�XXF̃ (x̃, ỹ) = p(c)F (x̃(c), ỹ(c), c), G̃(x̃, ỹ) = p(c)G(x̃(c), ỹ(c), c). c∈Cc∈C ˜ = X, ˜ Y˜ , F ˜ (˜˜ x, y) Îïðåäåëåíèå.
Èãð� Γx, y), ˜ G(˜˜ � ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � íå� íàçûâàþòñ� áàéåñîâñêèìè. 101 ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�Ïðèìå� 9.10. � ïðîäîëæåíè� ïðèìåð� 9.9 ðàññìîòðè� ìîäåë� äóîïîëè� c ôóíêöèÿì� âûèãðûø� èãðîêî� F (x, y, c1 ) = (p(x + y) − c1 )x, G(x, y, c2 ) = (p(x+y)−c2 )y � ëèíåéíî� ôóíêöèå� öåí� p(x+y) = a−x−y. Ïóñò� ñåáåñòîèìîñò� c1 èçâåñòí� îáîè� èãðîêàì, � ñåáåñòîèìîñò� c2 ïðåäñòàâëÿå� ñîáî� ñëó÷àéíó� âåëè÷èíó, ïðèíèìàþùó� çíà÷åíè� c1 2 � c2 2 � âåðîÿòíîñòü� 1/2.
� ýòè� ïðåäïîëîæåíèÿ� ñòðàòåãè� x̃ èãðîê� 1 ÿâëÿåòñ� ôóíêöèåé-êîíñòàíòî� � ñîâïàäàå� � x. Ïîëîæè� y i = ỹ(ci 2 ), i = 1, 2.Òîãä� � áàéåñîâñêî� èãð� ôóíêöè� âûèãðûø� èãðîêî� èìåþ� âè� F̃ (x̃, ỹ) = a − x − � y 1 + y 2 2 � − c1 x, 11G̃(x̃, ỹ) = (a − x − y 1 − c 12 )y 1 + (a − x − y 2 − c 22 )y 2 .
22Íàéäå� áàéåñîâñêó� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� (x0 , (y 01 , y 02 )) ïð� a > 2 max[c1 , c12 , c22 ]. Ôóíêöè� íàèëó÷øåã� îòâåò� èãðîêî� èìåþ� âè� "x̃∗ (y 1 , y 2 ) = max 1 2 #a − c1 y + y− , 0 , 2 4 � � ia − cx2 ỹ ∗ (ci 2 , x) = max − , 0 , i = 1, 2.22 Ðåøà� ñèñòåì� óðàâíåíè�x̃∗ (y 1 , y 2 ) = x, ỹ ∗ (ci2 , x) = y i , i = 1, 2, íàõîäè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� !1 2 1 c+ c2 x 0 = a − 2c1 + 2,32 y 01 !!17 1 1 217 2 1 1 02 = a + c1 − c 2 − c2 , y = a + c1 − c 2 − c2 .
3 4 4 3 4 4 102 10. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � áèìàòðè÷íû� èãðà� 10. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � áèìàòðè÷íû� èãðà� Ïåðåéäå� � ñìåøàííû� ðàñøèðåíèÿ� áèìàòðè÷íû� èã� Γ, çàäàâàåìû� ìàòðèöàì� A = (aij )m×n , B = (bij )m×n . Ñìåøàííû� ñòðàòåãè� èãðîêî� çäåñ� òàêè� æå, êà� � � ìàòðè÷íî� èãðå: p ∈ P, q ∈ Q. Îæèäàåìû� âûèãðûø� èãðîêî� − A(p, q) = m XnXpi aij qj , B(p, q) = i=1 j=1 m XnXpi bij qj . i=1 j=1 � ðåçóëüòàò� ïîëó÷èë� ñìåøàííî� ðàñøèðåíè� áèìàòðè÷íî� èãð� Γ = P, Q, A(p, q), B(p, q) .
Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� èãð� Γ áóäå� íàçûâàò� ñèòóàöèÿì� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� (èë� ñìåøàííûì� ðàâíîâåñèÿì� ï� Íýøó) èñõîäíî� èãð� Γ. Ìíîæåñòâ� ñìåøàííû� ñòðàòåãè� P � Q − âûïóêëû� êîìïàêò� åâêëèäîâû� ïðîñòðàíñòâ, � ôóíêöè� A(p, q) � B(p, q) áèëèíåéíû. Ï� òåîðåì� 9.2 � èãð� Γ ñóùåñòâóå� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� (p0 , q 0 ). Äë� íå� ï� îïðåäåëåíè� âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� A(p, q 0 ) ≤ A(p 0 , q 0 ) ∀ p ∈ P, B(p 0 , q) ≤ B(p 0 , q 0 ) ∀ q ∈ Q.
Ðàññìîòðè� ñâîéñòâ� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿõ, àíàëîãè÷íû� ñâîéñòâà� ðåøåíè� ìàòðè÷íû� èãð. Ëåìì� 10.1. Äë� òîã� ÷òîá� ñèòóàöè� (p0 , q 0 ) áûë� ñèòóàöèå� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� áèìàòðè÷íî� èãð� Γ, íåîáõîäèì� � äîñòàòî÷íî, ÷òîá� áûë� âûïîëíåí� óñëîâè� (A(i, q 0 ) ≤ A(p0 , q 0 ), i = 1, ..., m,(∗)B(p0 , j) ≤ B(p0 , q 0 ), j = 1, ..., n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñò� (p0 , q 0 ) − ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Òîãä� A(p, q 0 ) ≤ A(p0 , q 0 ) ∀ p ∈ P. Ïîëàãà� p = (0, ...0, 1, 0, ..., 0), ïîëó÷è� íåðàâåíñòâ� óñëîâè� (∗) äë� ìàòðèö� A. Àíàëîãè÷í� âûâîäÿòñ� íåðàâåíñòâ� äë� ìàòðèö� B. 103 ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñò� ñèòóàöè� (p0 , q 0 ) óäîâëåòâîðÿå� óñëîâè� (∗). Âîçüìå� ïðîèçâîëüíó� ñìåøàííó� ñòðàòåãè� p ïåðâîã� èãðîêà, äîìíîæè� íåðàâåíñòâ� A(i, q 0 ) ≤ A(p0 , q 0 ) í� pi � ñëîæè� èõ. � ðåçóëüòàò� ïîëó÷è� íåðàâåíñòâ� A(p, q 0 ) ≤ A(p0 , q 0 ).
Àíàëîãè÷íî, äë� ëþáî� ñìåøàííî� ñòðàòåãè� q âòîðîã� èãðîê� ñïðàâåäëèâ� íåðàâåíñòâ� B(p0 , q) ≤ B(p0 , q 0 ). Òåîðåì� 10.1 (ñâîéñòâ� äîïîëíÿþùå� íåæåñòêîñòè). Ïóñò� (p0 , q 0 ) − ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� áèìàòðè÷íî� èãð� Γ. Òîãä� 1) p0 i > 0 ⇒ A(i, q 0 ) = A(p0 , q 0 );2) qj 0 > 0 ⇒ B(p0 , j) = B(p0 , q 0 ).Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæå� óòâåðæäåíè� 1). Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� äë� íåêîòîðîã� i1 p0 i1 > 0 � A(i1 , q 0 ) < A(p0 , q 0 ). � óñëîâè� (∗) êàæäî� íåðàâåíñòâ� A(i, q 0 ) ≤ A(p0 , q 0 ), i = 1, ..., m óìíîæè� í� p0 i � ñëîæè� èõ. Ïîñêîëüê� i1 -� íåðàâåíñòâ� ñîõðàíèòñ� ñòðîãèì, ïîëó÷è� A(p0 , q 0 ) < A(p0 , q 0 ) (ïðîòèâîðå÷èå). Óòâåðæäåíè� 2) äîêàçûâàåòñ� àíàëîãè÷íî. Ñëåäñòâèå. Ïóñò� (p0 , q 0 ) − ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� áèìàòðè÷íî� èãð� Γ.
Òîãä� 1) A(i, q 0 ) < A(p0 , q 0 ) ⇒ p0 i = 0; 2) B(p0 , j) < B(p0 , q 0 ) ⇒ qj 0 = 0.Òåîðåì� 10.2. Äë� òîã� ÷òîá� ñèòóàöè� (p0 , q 0 ) áûë� ñèòóàöèå� ðàâíîâåñè� � ñìåøàííû� ñòðàòåãèÿ� áèìàòðè÷íî� èãð� Γ, íåîáõîäèì� � äîñòàòî÷íî, ÷òîá� íàøëèñ� ìíîæåñòâ� X 0 ⊆ X, Y 0 ⊆ Y � ÷èñë� v1 , v2 , äë� êîòîðû� âûïîëíåí� óñëîâè� � aij qj 0 = v1 ∀ i ∈ X 0 , j ∈Y 0 Paij qj 0 ≤ v1 ∀ i ∈ / X 0 , (10.1)j∈Y 0 P q 0 = 1, q 0 ≥ 0 ∀ j ∈ Y 0 , ⎩ j j j∈Y 0 � ∀ j ∈ Y 0 , p 0 i bij = v2 0 i∈XP 0 pi bij ≤ v2 ∀ j ∈ / Y 0 , 0 i∈XP 0 pi = 1, p0 i ≥ 0 ∀ i ∈ X 0 .
⎩ i∈X 0 104 (10.2) 10. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � áèìàòðè÷íû� èãðà�Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñò� (p0 , q 0 ) − ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Ïîëîæè� v1 = A(p0 , q 0 ), v2 = B(p0 , q 0 ), X 0 = {i ∈ X | p 0 i > 0}, Y 0 = {j ∈ Y | qj 0 > 0}. Óñëîâè� (10.1) � (10.2) âûòåêàþ� è� ëåìì� 10.1 � òåîðåì� 10.1. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñò� äë� ñèòóàöè� (p0 , q 0 ) âûïîëíåí� óñëîâè� (10.1) � (10.2). Ïîêàæåì, ÷ò� òîãä� íåîáõîäèì� A(p0 , q 0 ) = v1 .
Äåéñòâèòåëüíî, è� (10.1) nXX0 aij q j = aij q j 0 = v1 ∀ i ∈ X 0 .j∈Y 0 j=1 Óìíîæà� ýò� ðàâåíñòâ� í� p0i , i ∈ X 0 , � ñêëàäûâà� èõ, ïîëó÷è� A(p0 , q 0 ) = v1 . Àíàëîãè÷í� äîêàçûâàåòñÿ, ÷ò� B(p0 , q 0 ) = v2 . Ï� ëåìì� 10.1 (p0 , q 0 ) ÿâëÿåòñ� ñèòóàöèå� ðàâíîâåñèÿ. Óïðàæíåíè� 10.1. Äîêàæèòå, ÷ò� � èãð� Γ ⎛ ⎞ ⎛ 2 0 1 1 A = 1 2 0 , B = 2 0 1 2 0 � ìàòðèöàì� ⎞ 0 2 1 0⎠ 2 1 cóùåñòâóå� åäèíñòâåííî� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� (p0 , q 0 ) = ((1/3, 1/3, 1/3), (1/3, 1/3, 1/3)). Ñôîðìóëèðóå� óñëîâèå, îáåñïå÷èâàþùå� ðàâåíñòâ� |X 0 | = |Y 0 |� . � ýòî� ñëó÷à� ìàòðèö� ñèñòå� (9.7) � (9.8) A = (aij )i∈X 0 j∈Y 0 , B = (bij )i∈X 0 j∈Y 0 ÿâëÿþòñ� êâàäðàòíûìè. Îïðåäåëåíèå.
Ãîâîðÿò, ÷ò� ñèñòåì� âåêòîðî� a(i) ∈ E m , i ∈ X 0 , |X 0 | ≥ m + 1 èìåå� ìàêñèìàëüíû� àôôèííû� ðàíã, åñë� íàéäóòñ� òàêî� íîìå� i0 ∈ X 0 � òàêî� ìíîæåñòâ� X 1 ⊂ X 0 , i0 ∈/ X 1 , |X 1 | = m, ÷ò� âåêòîð� a(i) − a(i0 ) , i ∈ X 1 ëèíåéí� íåçàâèñèìû. Íàïðèìåð, ïð� m = 2 ñèñòåì� òî÷å� í� ïëîñêîñò� òîãä� � òîëüê� òîãä� èìåå� ìàêñèìàëüíû� àôôèííû� ðàíã, êîãä� òî÷ê� í� ëåæà� í� îäíî� ïðÿìîé. Îïðåäåëåíèå.
Ãîâîðÿò, ÷ò� ìàòðèö� A (ìàòðèö� B ) íàõîäèòñ� � îáùå� ïîëîæåíèè, åñë� ñèñòåì� ñòðî� (ñòîëáöîâ) ëþáî� å� ïîäìàòðèö� A = 1 Ìíîæåñòâ� X 0 � Y 0 ñîäåðæà� ðàâíî� ÷èñë� ýëåìåíòîâ. 105 ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�(aij )i∈X 0 j∈Y 0 � |X 0 | > |Y 0 | (ïîäìàòðèö� B = (bij )i∈X 0 j∈Y 0 c |X 0 | < |Y 0 |) èìåå� ìàêñèìàëüíû� àôôèííû� ðàíã. Îòìåòèì, ÷ò� äë� ëþáû� äâó� ìàòðè� A � B íàéäóòñ� ñêîë� óãîäí� ïîýëåìåíòí� áëèçêè� ìàòðèö� A� � B 0 , äë� êîòîðû� âûïîëíåí� óñëîâè� îáùíîñò� ïîëîæåíèÿ. Ýò� óòâåðæäåíè� ìîæí� äîêàçàòü, èñïîëüçó� íåïðåðûâíîñò� îïðåäåëèòåë� ìàòðèö� êà� ôóíêöè� å� ýëåìåíòîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
