А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Îïðåäåëåíèå. Ñèòóàöè� (x0 , y 0 ) íàçûâàåòñ� ñèòóàöèå� ðàâíîâåñè� (ðàâíîâåñèå� ï� Íýøó) èãð� Γ, åñë� max F (x, y 0 ) = F (x 0 , y 0 ), max G(x 0 , y) = G(x 0 , y 0 ). x∈Xy∈Y Ñòðàòåãè� x0 � y 0 , ñîñòàâëÿþùè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ, áóäå� íàçûâàò� ðàâíîâåñíûìè.
Åñë� îá� èãðîê� ïðèäåðæèâàþòñ� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ, ò� îäíîì� èãðîê� î� íå� íåâûãîäí� îòêëîíÿòüñÿ. Óïðàæíåíè� 9.1. Åñë� F (x, y) ≡ −G(x, y), ò� èãð� Γ − àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ. Äîêàæèòå, ÷ò� � àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãð� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� −ýò� ñåäëîâû� òî÷ê� ôóíêöè� F (x, y) í� X × Y. Îáñóäèì, êà� ìîæí� èñïîëüçîâàò� ïîíÿòè� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� � òî÷ê� çðåíè� ïðèíÿòè� ðåøåíèé.
� òåîðè� èãð, êà� � â� ìíîãè� äðóãè� òåîðèÿõ, ìîæí� âûäåëèò� äâ� ïîäõîäà: íîðìàòèâíû� � ïîçèòèâíûé. Íîðìàòèâíû� ïîäõî� ñîñòîè� � òîì, ÷ò� òåîðè� äàå� ðåêîìåíäàöèè, êà� ñëåäóå� äåéñòâîâàò� � òî� èë� èíî� êîíôëèêòíî� ñèòóàöèè. � ïð� ïîçèòèâíî� ïîäõîä� òåîðè� ïûòàåòñ� îïèñàòü, êà� í� ñàìî� äåë� ïðîèñõîäè� 91ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�âçàèìîäåéñòâè� ìåæä� èãðîêàìè. Èçíà÷àëüí� òåîðè� èã� ðàçâèâàëàñ� êà� íîðìàòèâíàÿ. � ñåé÷à� ì� îáñóäè� ïîíÿòè� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� èìåíí� � òàêî� òî÷ê� çðåíèÿ. � ýòî� ñëó÷à� ïðàâèë� ïðèíÿòè� ðåøåíè� ìîæí� ñôîðìóëèðîâàò� ñëåäóþùè� îáðàçîì: � êîíôëèêòíî� ñèòóàöèè, îïèñûâàåìî� èãðî� � íîðìàëüíî� ôîðìå, êàæäîì� ó÷àñòíèê� ñëåäóå� èñïîëüçîâàò� ñòðàòåãèþ, êîòîðà� âõîäè� � ðàâíîâåñè� ï� Íýøó.
Ïîçèòèâíû� ïîäõî� îáñóæäàåòñ� � êîíö� 10. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � ïðîèçâîëüíî� èãð� äâó� ëè� ìîæå� í� îáëàäàò� òåì� ñâîéñòâàìè, êîòîðû� õàðàêòåðí� äë� ñåäëîâî� òî÷ê� àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãðû. � àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãðå, èìåþùå� ðåøåíèå, êîìïîíåíò� ñåäëîâî� òî÷ê� ÿâëÿþòñ� ìàêñèìèííî� � ìèíèìàêñíî� ñòðàòåãèÿì� èãðîêî� è, íàîáîðîò, ëþáà� ïàð� òàêè� ñòðàòåãè� îáðàçóå� ñåäëîâó� òî÷êó. Òàêè� îáðàçîì, � àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãð� ïðèíöè� ðàâíîâåñè� ñîãëàñóåòñ� � ïðèíöèïî� îïòèìèçàöè� èãðîêàì� ñâîè� ãàðàíòèðîâàííû� ðåçóëüòàòîâ. Êðîì� òîãî, â� âñå� ñåäëîâû� òî÷êà� âûèãðû� ïåðâîã� èãðîê� îäè� � òî� æ� � ðàâå� çíà÷åíè� èãðû.
� ñîæàëåíèþ, � îáùå� ñëó÷à� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� í� îáëàäàþ� óêàçàííûì� ñâîéñòâàìè. Óáåäèìñ� � ýòî� í� ïðèìåðàõ. Ïðåäâàðèòåëüí� ââåäå� ïîíÿòè� áèìàòðè÷íî� èãðû. Îïðåäåëåíèå. Èãð� äâó� ëè� Γ íàçûâàåòñ� áèìàòðè÷íîé, åñë� ìíîæåñòâ� ñòðàòåãè� èãðîêî� êîíå÷íû: X = {1, ..., m}, Y = {1, ..., n}.
Çäåñ� i ∈ X, j ∈ Y − ñòðàòåãè� ïåðâîã� � âòîðîã� èãðîêîâ. Âûèãðûø� èãðîêî� çàäàþòñ� äâóì� ìàòðèöàì� A = (F (i, j))m×n = (aij )m×n , B = (G(i, j))m×n = (bij )m×n . Çàïèøå� îïðåäåëåíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � îáîçíà÷åíèÿ� áèìàòðè÷íî� èãðû. Îïðåäåëåíèå. Ñèòóàöè� (i0 , j 0 ) áèìàòðè÷íî� èãð� Γ íàçûâàåòñ� ñèòóàöèå� ðàâíîâåñè� (ðàâíîâåñèå� ï� Íýøó), åñë� aij 0 ≤ ai0 j 0 , i = 1, ..., m, bi0 j ≤ bi0 j 0 , j = 1, ..., n. Âñåãä� ë� � èãð� äâó� ëè� ñóùåñòâóå� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ? � îáùå� ñëó÷à� îòâå� − îòðèöàòåëüíûé, ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, � àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãð� í� âñåãä� ñóùåñòâóå� ñåäëîâà� òî÷êà. Ïðèâåäå� ïðèìå� íåàíòàãîíèñòè÷åñêî� èãðû, í� èìåþùå� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ.
92 9. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãðà� äâó� ëè�Ïðèìå� 9.1. Ïîêóïàòåë� (èãðî� 2) ïðèõîäè� í� ðûíî� ç� ÿáëîêàìè. Ïðîäàâåö, òîðãóþùè� ÿáëîêàì� (èãðî� 1), èñïîëüçóå� ïðóæèííû� âåñû. � íåã� åñò� äâ� ñòðàòåãèè: 1) ÷åñòí� âçâåñèò� 1 ê� ÿáëîê; 2) ïîäêðóòèò� ïðóæèíê� � îáâåñèò� ïîêóïàòåë� í� 200 ãðàìì. Íàçîâå� ýò� ñòðàòåãè� "÷åñòíîñòü"� "îáìàí"ñîîòâåòñòâåííî. Ïîêóïàòåë� òàêæ� èìåå� äâ� ñòðàòåãèè: 1) ïîâåðè� ïðîäàâöó, çàïëàòèò� äåíüã� � óéòè; 2) âçâåñèò� êóïëåííû� ÿáëîê� í� êîíòðîëüíû� âåñà� � � ñëó÷à� îáíàðóæåíè� îáìàí� çâàò� êîãî-ò� � äîêàçûâàòü, ÷ò� åã� îáâåñèëè. Íàçîâå� ýò� ñòðàòåãè� "ïîâåðèòü"� "ïðîâåðèòü"ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëè� âûèãðûø� ïðîäàâö� � ïîêóïàòåë� � êàæäî� ñèòóàöèè: à) Ïðîäàâå� ÷åñòí� âçâåñèë, � ïîêóïàòåë� åì� ïîâåðèë.
Ñîîòâåòñòâóþùè� âûèãðûø� îáîèõ, ðàâíû� 0, âûáåðå� � êà÷åñòâ� íà÷àë� îòñ÷åòà. á) Ïðîäàâå� îáìàíóë, � ïîêóïàòåë� åì� ïîâåðèë. Âûèãðû� ïðîäàâö� ðàâå� 1, òà� êà� î� ïîëó÷è� äîïîëíèòåëüíó� ïðèáûëü. Âûèãðû� ïîêóïàòåë� ðàâå� −1, ïîñêîëüê� î� ïîëó÷è� ìåíüø� ÿáëîê. â) Ïðîäàâå� ÷åñòí� âçâåñèë, � ïîêóïàòåë� åã� ïðîâåðèë. Âûèãðû� ïðîäàâö� ðàâå� 0.
Âûèãðû� ïîêóïàòåë� ðàâå� −1/2: îí, âî-ïåðâûõ, çð� ïîòðàòè� âðåìÿ, à, âî-âòîðûõ, ãëóï� ñåá� ÷óâñòâóåò. ã) Ïðîäàâå� îáìàíóë, � ïîêóïàòåë� åã� ïðîâåðèë. Âûèãðû� ïðîäàâö� ðàâå� −1, òà� êà� îáíàðóæåíè� îáìàí� ãðîçè� åì� îïðåäåëåííûì� íåïðèÿòíîñòÿì� (íàïðèìåð, åã� ìîãó� ëèøèò� ëèöåíçè� í� òîðãîâë� í� ýòî� ðûíêå). Âûèãðû� ïîêóïàòåë� ðàâå� 1/2, òà� êàê, âî-ïåðâûõ, åì� âîçìåñòèë� îáâåñ, à, âî-âòîðûõ, î� èñïûòûâàå� ìîðàëüíî� óäîâëåòâîðåíè� î� ðàçîáëà÷åíè� îáìàíùèêà. Ïîëó÷àåòñ� ñëåäóþùà� áèìàòðè÷íà� èãðà: A = ÷åñò� îáìà� ïî� 01 ïðî� 0 ,−1 B = ÷åñò� îáìà� ïî� 0 −1ïðî� −1/2 .1/2 Ëåãê� ïðîâåðèòü, ÷ò� çäåñ� íå� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó. � ïðèâåäåííî� ïðèìåð� ýëåìåíò� ìàòðè� A � B óäîâëåòâîðÿþ� ñëåäóþùè� íåðàâåíñòâàì: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a11 a12 b11 > b12 ⎝ ∧ .
∨ , ⎝ a21 a22 b21 < b22 93ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�Óïðàæíåíè� 9.2. Ïðîâåðèòü, ÷ò� åñë� ýëåìåíò� � ìàòðèöà� âûèãðûøå� èãðîêî� ñâÿçàí� òàêèì� ñîîòíîøåíèÿìè, ò� � èãð� í� ñóùåñòâóå� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó. Èãðû, ïîäîáíû� ïðèìåð� 9.1, ðàñïðîñòðàíåí� � ìîäåëÿõ, îïèñûâàþùè� ýêîíîìè÷åñêè� � ýêîëîãè÷åñêè� âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðàññìîòðè� ïðèìå� èãðû, èìåþùå� äâ� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Ïðèìå� 9.2.
Èãð� "ñåìåéíû� ñïîð": A = � � ô � 1 0 ,0 2 B = � � ô � 2 0 .0 1 Èíòåðïðåòàöèÿ. Æåí� � ìó� (ïåðâû� � âòîðî� èãðîêè) îáñóæäàþ� âîïðîñ, êóä� ïîéò� ðàçâëå÷üñÿ: í� ôóòáî� (ñòðàòåãè� 1 ) èë� � òåàò� (ñòðàòåãè� 2). Åñë� èäó� í� ôóòáîë, ò� æåí� ïîëó÷àå� 1 åäèíèöó, � ìó� −2 åäèíèö� "óäîâîëüñòâèÿ."Åñë� èäó� � òåàòð, ò� âûèãðû� æåí� − 2, � ìóæ� − 1. Åñë� îá� èäó� � ðàçíû� ìåñòà, ò� âûèãðûø� èãðîêî� −íóëåâûå.
� èãð� ñóùåñòâóå� äâ� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ: (1,1) � (2,2). Ïåðâà� è� íè� ïðåäïî÷òèòåëüíå� âòîðîì� èãðîêó, � âòîðà� − ïåðâîìó. Åñë� èãðîê� áóäó� äåéñòâîâàò� íåçàâèñèìî, ò� ïåðâû� âûáåðå� ñòðàòåãè� 2, � âòîðî� − ñòðàòåãè� 1. � ðåçóëüòàò� îá� ïîëó÷à� ï� íóëþ. Ïðèìå� 9.2 ïîêàçûâàåò, ÷ò� íåîáõîäè� êàêîé-ò� ìåõàíèç� êîîðäèíàöè� ïð� âûáîð� ñòðàòåãèè, åñë� ñóùåñòâóå� íåñêîëüê� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó. Ïîýòîì� èãðû, ïîäîáíû� ïðèìåð� 9.2, íàçûâàþ� òàêæ� "èãðàì� í� êîîðäèíàöèþ".
Èñïîëüçîâàíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� í� ïðàêòèê� ÷àñò� ñâÿçûâàåòñ� ñ� ñëåäóþùè� ñöåíàðèå� ïîâåäåíè� èãðîêîâ. Îí� ñíà÷àë� äîëæí� äîãîâîðèòüñ� � ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ, çàòå� âñÿêè� ïåðåãîâîð� çàïðåùàþòñ� � èãðîê� íåçàâèñèì� âûáèðàþ� ñâî� ñòðàòåãèè, âîçìîæí� íàðóøà� ïðèíÿòî� ñîãëàøåíèå. Çàìåòèì, ÷ò� îäíîì� èãðîê� áóäå� íåâûãîäí� îòêëîíÿòüñ� î� ñâîå� ðàâíîâåñíî� ñòðàòåãèè. Åñë� èãðîê� ïðèäåðæèâàþòñ� � èãð� òàêîã� ñöåíàðè� ïîâåäåíèÿ, ò� èãð� Γ íàçûâàåòñ� áåñêîàëèöèîííîé. Ïðèâåäå� åù� îäè� ïðèìå� "èãð� í� êîîðäèíàöèþ". Ïðèìå� 9.3.
Èãðîêàì� ÿâëÿþòñ� äâ� âîäèòåëÿ, êîòîðû� íàä� ïðîåõàò� ÷åðå� ïåðåêðåñòîê, � êîòîðîì� îí� ïîäúåõàë� îäíîâðåìåííî. Åñò� äâ� ñòðàòåãè� ïåðåñå÷åíè� ïåðåêðåñòêà: èñïîëüçîâàò� "ïðàâèë� ïðàâî� ðóêè", ñîãëàñí� êîòîðîì� âîäèòåë� äîëæå� ïðîïóñòèò� ïîìåõ� ñïðàâ� 94 9. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãðà� äâó� ëè�(ñòðàòåãè� 1), èë� "ïðàâèë� ëåâî� ðóêè", ñîãëàñí� êîòîðîì� âîäèòåë� äîëæå� ïðîïóñòèò� ïîìåõ� ñëåâ� (ñòðàòåãè� 2).
Åñë� îá� âîäèòåë� ïðèäåðæèâàþòñ� îäíîã� ïðàâèëà, ò� îí� óñïåøí� ðàçúåäóòñÿ, í� åñë� îäè� è� íè� èñïîëüçóå� "ïðàâèë� ïðàâî� ðóêè", � äðóãî� "ïðàâèë� ëåâî� ðóêè", ò� ìîæå� âîçíèêíóò� àâàðèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, äë� áëàãîïðèÿòíîã� èñõîä� � òàêè� èãðà� � âñå� èãðîêî� äîëæå� áûò� îäèíàêîâû� ïîäõî� � âûáîð� ïðàâè� ïîâåäåíèÿ. Óïðàæíåíè� 9.3. Îáúÿñíèò� (ñì.
ðèñ. 9.1), ïî÷åì� âûèãðûø� èãðîêî� � ïîñëåäíå� ïðèìåð� ìîæí� çàäàò� ñëåäóþùèì� ìàòðèöàìè: A =ïð.� ëåâ.� ïð.� ëåâ.�1 −10 ,−10 B = ïð.� ëåâ.� ïð.� ëåâ.� 0 −10 .−11 2 � 61 Ðèñ. 9.1 Ðàññìîòðåííû� � ïðèìåðà� 9.2 � 9.3 èãð� õàðàêòåðèçóþòñ� ñëåäóþùèì� ñîîòíîøåíèÿì� ýëåìåíòî� ìàòðè� âûèãðûøà: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a11 a12 b11 > b12 ⎝ ∨ . ∧ , ⎝ a21 a22 b21 < b22 Óïðàæíåíè� 9.4. Ïðîâåðèòü, ÷ò� ïð� âûïîëíåíè� òàêè� ñîîòíîøåíè� � èãð� âñåãä� ñóùåñòâóå� äâ� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó.
Ïðèâåäå� ïðèìåð, êîòîðû� ïîêàçûâàåò, ÷ò� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� ìîæå� áûò� íåýôôåêòèâíû� � òî÷ê� çðåíè� èíòåðåñî� èãðîêîâ. Ïðèìå� 9.4. Èãð� "äèëåìì� çàêëþ÷åííîãî": A =ï� íå� ï� íå� −80 ,−10 −1 B = 95 ï� íå� ï� −8 0 íå� −10 .−1 ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�Èíòåðïðåòàöèÿ. Äâ� áàíäèò� (èãðîê� 1 � 2), ïîäîçðåâàåìû� � ñîâåðøåíè� òÿæêîã� ïðåñòóïëåíèÿ, íàõîäÿòñ� èçîëèðîâàíí� äðó� î� äðóã� � ïðåäâàðèòåëüíî� çàêëþ÷åíèè. Ââèä� îòñóòñòâè� ïðÿìû� óëè� óñïå� èë� íåóñïå� îáâèíåíè� çàâèñè� î� ïðèçíàíè� (ñòðàòåãè� 1) èë� íåïðèçíàíè� (ñòðàòåãè� 2) ñàìè� áàíäèòîâ. Åñë� îá� áàíäèò� ïðèçíàþòñ� (ñèòóàöè� (1,1)), ò� îí� áóäó� ïðèçíàí� âèíîâíûì� � ïðèãîâîðåí� � 8 ãîäà� òþðüìû.
Åñë� í� îäè� è� íè� í� ïðèçíàåòñ� (ñèòóàöè� (2,2)), ò� ï� îáâèíåíè� � ãëàâíî� ïðåñòóïëåíè� îí� áóäó� îïðàâäàíû, í� îáâèíèòåë� âñå-òàê� óäàñòñ� äîêàçàò� è� âèíîâíîñò� � íåêîòîðî� ñîïóòñòâóþùå� ìåíå� òÿæêî� ïðåñòóïëåíèè, íàïðèìåð, � íîøåíè� îðóæèÿ, � ðåçóëüòàò� ÷åã� îí� áóäó� ïðèãîâîðåí� � 1 ãîä� òþðüìû. Åñëè, íàêîíåö, ïðèçíàåòñ� òîëüê� îäè� è� íè� (ñèòóàöè� (2,1) � (1,2)), ò� ïðèçíàâøèéñ� áóäå� îñâîáîæäå� (ç� ïîìîù� ñëåäñòâèþ), � íåïðèçíàâøèéñ� áóäå� ïðèãîâîðå� � îòáûòè� ìàêñèìàëüíîã� ñðîê� − 10 ëåò. � ýòî� èãð� èìååòñ� åäèíñòâåííà� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� (1,1): îáîè� ïðèçíàòüñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
