А.А. Васин, В.В. Морозов - Введение в теорию игр с приложениями к экономике (1184512), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Îäíàê� åñò� ñèòóàöè� (2,2), áîëå� âûãîäíà� îáîè� èãðîêàì, í� í� ÿâëÿþùàÿñ� ñèòóàöèå� ðàâíîâåñèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîâåñè� ï� Íýø� ìîãó� áûò� íåýôôåêòèâí� � òî� ñìûñëå, ÷ò� ç� ñ÷å� îòêëîíåíè� îáîè� èãðîêî� î� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� ìîæí� óëó÷øèò� âûèãðûø� êàæäîã� è� íèõ. Îïèñàííà� � ïðèìåð� 9.4 èãð� èìåå� ñëåäóþùó� ñòðóêòóðó: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a11 a12 b11 > b12 ⎝ ∨ ⎠ .
∨ ⎠ , ⎝ a21 a22 b21 > b22 Óïðàæíåíè� 9.5. Ïðîâåðèòü, ÷ò� ïð� âûïîëíåíè� òàêè� ñîîòíîøåíè� � èãð� âñåãä� ñóùåñòâóå� åäèíñòâåííî� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó. � ñâÿç� � ïîñëåäíè� ïðèìåðî� äàäè� îïðåäåëåíè� ñèòóàöèè, îïòèìàëüíî� ï� Ïàðåòî. Îïðåäåëåíèå. Ñèòóàöè� (x0 , y 0 ) èãð� Γ íàçûâàåòñ� îïòèìàëüíî� ï� Ïàðåòî, åñë� í� ñóùåñòâóå� òàêî� ñèòóàöè� (x, y) ÷ò� âûïîëíåí� íåðàâåíñòâ� F (x, y) ≥ F (x 0 , y 0 ), G(x, y) ≥ G(x 0 , y 0 ) � ïð� ýòî� õîò� á� îäí� è� íè� − ñòðîãîå. � ïðèìåð� 9.4 � ñèòóàöè� (2,2) îá� èãðîê� ïîëó÷àþ� ï� −1, ÷ò� áîëüøå, ÷å� è� âûèãðû� −8 � ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� (1,1). Ñëåäîâàòåëüíî, ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� í� ÿâëÿåòñ� îïòèìàëüíî� ï� Ïàðåòî. 96 9. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãðà� äâó� ëè�Óïðàæíåíè� 9.6.
Äîêàæèòå, ÷ò� � àíòàãîíèñòè÷åñêî� èãð� ëþáà� ñèòóàöè� îïòèìàëüí� ï� Ïàðåòî. Ñëåäóþùè� ïðèìå� ïîêàçûâàåò, ÷ò� í� âñåãä� ðàâíîâåñíû� ñòðàòåãè� ÿâëÿþòñ� ìàêñèìèííûìè. Ïðèìå� 9.5. Ïóñò� � A = � 2 0 5 , 2 2 3 � B = � 2 2 1 . 0 7 8 Çäåñ� (1,1) − åäèíñòâåííà� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ, í� ñòðàòåãè� 1 ïåðâîã� èãðîê� í� ÿâëÿåòñ� ìàêñèìèííîé. Äåéñòâèòåëüíî, W (1) = min a1j = 0,W (2) = min a2j = 2. 1≤j≤31≤j≤3 Ñòðàòåãè� 1 âòîðîã� èãðîê� òàêæ� í� ÿâëÿåòñ� ìàêñèìèííîé.
Åñë� èãðî� íåáëàãîæåëàòåëüí� íàñòðîå� ï� îòíîøåíè� � ïàðòíåðó, ò� î� ìîæå� íàðóøèò� ñîãëàøåíè� � âìåñò� ðàâíîâåñíî� ñòðàòåãè� âûáðàò� ìàêñèìèííóþ. � ðåçóëüòàò� î� ïîëó÷è� òî� æ� âûèãðû� 2, ÷ò� � � ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ, � ïàðòíå� ïîëó÷è� 0.
Ì� îòìåòèë� òð� íåäîñòàòê� ïîíÿòè� ðàâíîâåñè� ï� Íýøó: 1) ðàâíîâåñè� ï� Íýø� � èãð� ìîæå� í� ñóùåñòâîâàòü; 2) ðàâíîâåñè� ï� Íýø� ìîæå� áûò� í� åäèíñòâåííî; 3) ðàâíîâåñè� ï� Íýø� ìîæå� áûò� íåýôôåêòèâíî. Íî, íåñìîòð� í� ýò� íåäîñòàòêè, óêàçàííî� ïîíÿòè� èãðàå� öåíòðàëüíó� ðîë� � òåîðè� ïðèíÿòè� ðåøåíè� � êîíôëèêòíû� ñèòóàöèÿõ. Ïðèâåäå� òåîðåì� ñóùåñòâîâàíè� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãð� äâó� ëèö, êîòîðà� ÿâëÿåòñ� îáîáùåíèå� òåîðåì� 2.3. Ïðåäâàðèòåëüí� ñôîðìóëèðóå� òîïîëîãè÷åñêó� òåîðåì� � íåïîäâèæíî� òî÷êå.
Òåîðåì� 9.1 (Áðàóýð). Ïóñò� f : Z → Z − íåïðåðûâíî� îòîáðàæåíè� � ñåá� âûïóêëîã� êîìïàêò� Z êîíå÷íîìåðíîã� åâêëèäîâ� ïðîñòðàíñòâà. Òîãä� � íåã� ñóùåñòâóå� íåïîäâèæíà� òî÷ê� z 0 : f (z 0 ) = z 0 . Äîêàçàòåëüñòâ� òåîðåì� ñì. � Ïðèëîæåíè� (Ï3,Ï4). Óïðàæíåíè� 9.7. Äîêàæèò� òåîðåì� äë� X = [0, 1]. Îòìåòèì, ÷ò� âñ� óñëîâè� òåîðåì� ñóùåñòâåííû. Íàïðèìåð, åñë� ìíîæåñòâ� Z − íåâûïóêëîå, ò� óòâåðæäåíè� òåîðåì� ìîæå� áûò� íåâåðíûì.
Äåéñòâèòåëüíî, åñë� Z − îêðóæíîñòü, � f − å� ïîâîðî� í� óãî� α < 2π, ò� f íåïîäâèæíî� òî÷ê� í� èìååò. 97ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�Óïðàæíåíè� 9.8. Ïîñòðîéò� êîíòðïðèìåð� � óòâåðæäåíè� òåîðåìû, åñë� 1) Z = [0, ∞); 2) Z = (0, 1]; 3) Z = [0, 1], í� ôóíêöè� f ðàçðûâíà. Òåîðåì� 9.2. Ïóñò� � èãð� äâó� ëè� Γ ìíîæåñòâ� X � Y − âûïóêëû� êîìïàêò� åâêëèäîâû� ïðîñòðàíñò� E m � E n .
Ïðåäïîëîæèì, ÷ò� ôóíêöè� F (x, y) � G(x, y) íåïðåðûâí� í� X × Y, ôóíêöè� F (x, y) âîãíóò� ï� x ïð� ëþáî� ôèêñèðîâàííî� y, � ôóíêöè� G(x, y) âîãíóò� ï� y ïð� ëþáî� ôèêñèðîâàííî� x. Òîãä� � èãð� Γ ñóùåñòâóå� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Âíà÷àë� ïðåäïîëîæèì, ÷ò� ôóíêöè� F (x, y) � G(x, y) íåïðåðûâí� í� X × Y � ñòðîã� âîãíóò� ï� "ñâîèì"ïåðåìåííû� x � y ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãä� äë� ëþáû� ñòðàòåãè� y � x ìíîæåñòâ� íàèëó÷øè� îòâåòî� èãðîêî� def def X(y) = Arg max F (x, y) = {x(y)}, Y (x) = Arg max G(x, y) = {y(x)}x∈Xy∈Y ñîäåðæà� ï� îäíîì� ýëåìåíò� x(y) � y(x). Ñîãëàñí� òåîðåì� 2.2, ôóíêöè� x(y) � y(x) íåïðåðûâíû. Áóäå� íàçûâàò� è� ôóíêöèÿì� íàèëó÷øåã� îòâåò� ïåðâîã� � âòîðîã� èãðîêî� ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëîæè� Z = X × Y � ðàññìîòðè� îòîáðàæåíè� f : Z → Z, f (x, y) = (x(y), y(x)). Ï� òåîðåì� 9.1 îòîáðàæåíè� f èìåå� íåïîäâèæíó� òî÷ê� z 0 = (x0 , y 0 ) : f (z 0 ) = z 0 èë� x(y 0 ) = x0 , y(x0 ) = y 0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, (x0 , y 0 ) − ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Òåïåð� ïðåäïîëîæèì, ÷ò� ôóíêöè� F (x, y) � G(x, y) âîãíóò� ï� "ñâîèì"ïåðåìåííû� x � y , í� íåîáÿçàòåëüí� ñòðîãî. Ïîëîæè� Fε (x, y) = F (x, y) − εmXx2 i ,Gε (x, y) = G(x, y) − εi=1 mXyj 2 , j=1 ãä� ε > 0. Ôóíêöè� Fε (x, y) � Gε (x, y) íåïðåðûâí� í� X × Y , Fε (x, y) ñòðîã� âîãíóò� ï� x, � Gε (x, y) ñòðîã� âîãíóò� ï� y. Ï� äîêàçàííîì� � èãε ð� Γ = X, Y, Fε (x, y), Gε (x, y) ñóùåñòâóå� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� (xε , y ε ).
Ïóñò� {εh } − òàêà� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� ÷èñåë, ÷ò� εh → 0+ � ñîîòâåòñòâóþùà� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� {(xεh , y εh )} ñõîäèòñ� � íåêîòîðî� ñèòóàöè� (x0 , y 0 ). Ï� îïðåäåëåíè� (xεh , y εh ) Fεh (x, y εh ) ≤ Fεh (x εh , y εh ) ∀ x ∈ X, 98 9. Ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èãðà� äâó� ëè�Gεh (x εh , y) ≤ Gεh (x εh , y εh ) ∀ y ∈ Y. Ïåðåõîä� � ýòè� íåðàâåíñòâà� ïð� ôèêñèðîâàííû� x � y � ïðåäåë� ïð� h → ∞, ïîëó÷è� F (x, y 0 ) ≤ F (x 0 , y 0 ) ∀ x ∈ X, G(x 0 , y) ≤ G(x 0 , y 0 ) ∀ y ∈ Y, Ýò� îçíà÷àåò, ÷ò� (x0 , y 0 ) − ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� èãð� Γ.
Ðàññìîòðè� ìåòî� ïîèñê� ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� � èñïîëüçîâàíèå� ìíîæåñò� íàèëó÷øè� îòâåòî� X(y) = Arg max F (x, y) � Y (x) = Arg max G(x, y). x∈XÎ� ñîñòîè� � ðåøåíè� ñèñòåì� âêëþ÷åíè� x 0 ∈ X(y 0 ), y 0 ∈ Y (x 0 ). y∈Y (9.1) � ñëó÷àå, êîãä� � èãðîêî� ñóùåñòâóþ� íåïðåðûâíû� ôóíêöè� íàèëó÷øåã� îòâåò� x(y) � y(x) (ñì.
ïåðâó� ÷àñò� äîêàçàòåëüñòâ� òåîðåì� 9.2), ñèñòåì� âêëþ÷åíè� (9.1) ýêâèâàëåíòí� ñèñòåì� óðàâíåíè� x(y 0 ) = x0 , y(x0 ) = y 0 . Ïðèìå� 9.6. Íàéäå� âñ� ⎛ 2 3 4 −2A = ⎝ 21 −1 2ñèòóàöè� ðàâíîâåñè� èãð� Γ : 5 −1 7 5 4 73 4 , B = 4 5 5 4 .⎝−3 6 6 2 ⎠5 4 ⎠5 38 7 3 6 � ìàòðèö� A ïîä÷åðêíóò� íàèáîëüøè� ýëåìåíò� � ñòîëáöàõ, � � ìàòðèö� B − íàèáîëüøè� ýëåìåíò� � ñòðîêàõ. Îáùè� ïîä÷åðêíóòû� ýëåìåí� ñîîòâåòñòâóå� (3,3) − åäèíñòâåííî� ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ. Ïðèìå� 9.7. Ðàññìîòðè� èãð� äâó� ëè� Γ = X, Y, F (x, y), G(x, y) , ãä� X, Y � F (x, y), G(x, y) − ìíîæåñòâ� ñòðàòåãè� � ôóíêöè� âûèãðûø� ïåðâîã� � âòîðîã� èãðîêîâ. Ïóñò� X = Y = [0, 1], F (x, y) = −3x 2 + 2y 2 + 7xy, G(x, y) = −(x + y − 1)2 .
Ôóíêöè� F (x, y) � G(x, y) ñòðîã� âîãíóò� ï� ïåðåìåííû� x � y ñîîòâåòñòâåííî. Ôóíêöè� íàèëó÷øåã� îòâåò� − (7y/6, 0 ≤ y ≤ 6/7, x(y) = y(x) = 1 − x. 1, 6/7 < y ≤ 1,99 ÃËÀÂ� II. ÈÃÐ� ÄÂÓ� ËÈ�Ðåøà� ñèñòåì� x(y) = x, y(x) = y, íàõîäè� x0 = 7/13, y 0 = 6/13. Äë� ÷èñëåííîã� ðåøåíè� ñèñòåì� âêëþ÷åíè� (9.1) ÷àñò� ïðèìåíÿåòñ� ïðîöåäóð� íàùóïûâàíè� ï� Êóðíî. Îí� çàêëþ÷àåòñ� � ïîñòðîåíè� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� ñòðàòåãèé: x1 ∈ X, y 1 ∈ Y (x1 ), x2 ∈ X(y 1 ), y 2 ∈ Y (x2 ) � ò.ä.
Ïóñò� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� ñòðàòåãè� {xk }, {y k } ñõîäÿòñ� ñîîòâåòñòâåíí� � x0 � y 0 . Òîãä� (x0 , y 0 ) − ñèòóàöè� ðàâíîâåñèÿ, ïîñêîëüê� äë� (x0 , y 0 ) ñïðàâåäëèâ� ñèñòåì� âêëþ÷åíè� (9.1) (ñì. äîêàçàòåëüñòâ� òåîðåì� 2.2). Îäíàê� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� {xk }, {y k } ñõîäÿòñ� í� âñåãäà. Ïðèìå� 9.8. Ðàññìîòðè� àíòàãîíèñòè÷åñêó� èãð� Γ = X, Y, F (x, y) , � êîòîðî� X = Y = [−1, 1], F (x, y) = −x2 + 2axy + y 2 , ãä� a ∈ (0, 1] − ïàðàìåòð. Ôóíêöè� F (x, y) ñòðîã� âîãíóò� ï� x, ñòðîã� âûïóêë� ï� y � èìåå� åäèíñòâåííó� ñåäëîâó� òî÷ê� (0, 0).
Ôóíêöè� íàèëó÷øåã� îòâåò� èãðîêî� ðàâí� x(y) = ay, y(x) = −ax. Ïóñò� x1 6= 0. Òîãä� ïðîöåäóð� íàùóïûâàíè� ï� Êóðí� ïîðîæäàå� ïîñëåäîâàòåëüíîñò� {xk = (−a)k−1 x1 }, {y k = (−a)k x1 }, ñõîäÿùèåñ� ïð� 0 < a < 1 � ðàñõîäÿùèåñ� ïð� a = 1. Ñëåäóþùè� ïðèìå� ïîêàçûâàåò, ÷ò� äë� ïîèñê� ðàâíîâåñè� ï� Íýø� ìîæí� èñïîëüçîâàò� íåîáõîäèìû� óñëîâè� îïòèìàëüíîñò� ïåðâîã� ïîðÿäêà.
Ïðèìå� 9.9. Ìîäåë� äóîïîëèè. Äâ� ôèðì� âûïóñêàþ� áåñêîíå÷íîäåëèìû� òîâà� äë� ïðîäàæ� í� ðûíêå. Ïóñò� x � y − êîëè÷åñòâ� òîâàðà, âûïóñêàåìîã� ïåðâî� � âòîðî� ôèðìàìè, � 0 < c1 ≤ c2 − çàòðàò� í� åã� ïðîèçâîäñòâî, ò.å. ñåáåñòîèìîñò� åäèíèö� òîâàð� äë� îáåè� ôèðì. Öåí� òîâàð� p(x + y) çàâèñè� î� îáùåã� âûïóñê� x + y. Ôóíêöè� âûèãðûø� ôèð� F (x, y) = (p(x + y) − c1 )x � G(x, y) = (p(x + y) − c2 )y − ïðèáûëè, ïîëó÷åííû� î� ðåàëèçàöè� ïðîèçâåäåííî� ïðîäóêöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
