Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Полученное таким образом выражение для сечения удобно преобразовать к несколько иному виду. Использовавшееся до сих пор представление у фактически мало пригодно для реального расчета радиальных функций. Перейдем поэтому к представлению полных моментов с набором квантовых чисел Г. В схеме 1'з-связи Г:— а7 — 1.г Зг, а е— ш (л;уг) ЕЮ, (43. 11) 1 Г= — О1 2 (у)УТ, О: — (лг1г)1 УУ (43.12) Возможна, очевидно, и другая схема, в которой сначала производится 1 сложение а = — и У, а результирующий момент складывается с 1„ 2 давая Уг Если не учитывать магнитного взаимодействия внешнего электрона с атомом, обе схемы, разумеется, равноправны.
(Последняя схема принята при рассмотрении ядерных реакций.) Дальнейшие формулы не зависят от конкретного вида представления Г. Обозначим матрицу преобразования у Г через (у ) Г). Тогда полная функция системы, соответствующая начальному состоянию Г,„ запишется в виде Чп'' =А — ~ч~', Гг' (г) Фг, Фг = ~',(Г1У) Фм (43.13) г йг Суммирование нужно выполнить по тем квантовым числам из набора у, которые не входят в Г. Условно это обозначается как у) Г (в случае СЯ-связи, например, у(Г= Мгнгн'1 Г~ у = У.пут).
Функция тчг'(г) преобразуется как матрица. Используя (43.8) и свойство унитарности преобразования, нетрудно получить уг'(г) бг,г з(п ~й,г — '~ )+ тгг„е т„,= ~ (у,(Г,)(у(Г) т,. ге(т,. Рй (43.14) (43.15) где ь, 3 — полные моменты атома (орбитальный и спиновый), а (г $г — полные моменты системы атом плюс электрон. Если необходимо рассматривать отдельную компоненту мультиплета в спектре атома, то возиуждение атомов 590 [гл.
хг Наконец, подставляя (43.1 5) и [43.10) в [43.4) и учитывая, что 1Г ~ у = — Г (а, получаемдифференциальное эффективное сечение в виде 5 а,м~гл» »!пижм и — Х г' ) 21,+1(у,(Г,)(у( Г) Тгг,у»-(8,»р)~ »[О (43!6) а» ) г„м„гь»,»ь Обычно приходится иметь дело со столкновениями неполяризованных электронов с атомами, ориентированными произвольным образом. Поляризация рассеянных электронов также не представляет интереса, в то время как ориентация возбужденных атомов (т.
е. значение М) может оказаться существенной, так как она определяет поляризацию испущенного после возбуждения света. Чтобы получить соответствукицее дифференциальное сечение, надо усреднить (43.1 6) по М, и а»,' и просуммировать по л»'. Кроме того, удобно разложить содержап»ееся в (43.16) произведение уу У;,ча, по сферическим функциям У» от тех же углов. Нетрудно показать, что при этом р =О, т. е. сечение не зависит от й~, как и следовало ожидать.
Окончательный результат представим в виде »(пам = —, ~' В» Р» (соз 6) »[О, (43. 1 7) а » В» =~~~Р» ' ((27»+1)(2!о+1)(21+1)(21'+1)] ' у, К [2Л+ [ о о о( ~ — о ) (у, / Г ) (т'„( Г ) (у/Г) [у'!Г') Тгт, Тг г (43.18) »' ! 7' Л ! / Г В Л (суммирование в [43.18) проводится по Г, ) а„Г; ! а,', Г ) а, Г ( а', В частности, в случае схемы Е$-связи (43.11) В, =~~ г 1' '»т' ' ' )' (21»+1К21»+1)(2!+1)(2Г+1)Х 2 [2$+!1 Х (2Л+1)(2ьг+ !)(2ьг+ !)(ООО) ( О) [М О !! ) Х Х (»» ьг) ( ~ ! т) (ь ~т)7гг Тг»' (43 19) » о (суммирование в [43.19) производится по Ег, йг, Бг,1„! о, 1,7', М„л»).
Перейдем теперь к рассмотрению полного сечения. Формула [43.! 7) после интегрирования по углам дает 2иа э 431 гглвнвния таогии столкновений элвктгонов с атомами 591 Отметим, что (43.18) и (43.!9) для Х=О остаются почти столь же громозлкимн, как и в общем случае.
Можно, однако, получить значительно более простое выражение, если просуммировать по всем конечным ориентациям атома, т. е. по всем Л4. Используя свойства ортогональности коэффициентов (у!Г), приходим к окончательному результату оа,а = Д~ оа»а (1»1) 1 4па ч й ! 1' ) (43.20) г»!а»1»,г!ы — = 21,+1. Приведем теперь частные случаи (43.20) для г'.з- и Туссвязи. В случае 15-связи (43.11) 4па 'К (21.т+1) (23т+1) у. оа»а (1»Х) = » а~а 2 (21 ! 1) 23 +1) ( Тгг,~ . (43.21) т г Поскольку полный спиновый момент может принимать только два 1 аначения 3т=5,~ —, эту формулу можно переписать в виде о = о+ + о, (43,22) о~ (1!) = — с+ ~~~ т ! Тгг ~', сь = — ! ~ — 11, (43.23) "т Отметим, что разбиение (43.22) на оа возможно как для парииального, так и для полного сечения.
В схеме .//-связи (43.12) 4па ч» 2гт+1 па»а (~»1)» а ~ 2(21 1 1) | Тгг»! (43.24) Эта формула позволяет вычислить сечение перехода между компонентами тонкой структуры уровней а, и а. Если магнитное взаимодействие атома с внешним электроном не учитывается (везде в дальнейшем это предполагается), то всю зависимость от квантовых чисел где 2д,— статистический вес атома в состоянии а, и внешнего электрона (плоской волны), аг — статистический вес состояния Г системы. Формула (43.20) дает простую связь между эффективным сече.
нием о и матрицей Т для произвольной схемы связи. Лля удобства дальнейшего обсуждения в явном виде выделено суммирование по парциальным сечениям о (Р, Г). Отметим, что [гл. хз 592 возвгждание атомов ,~уу можно выразить в явном виде через 9/-символы. Меняя схему сложения моментов и переходя снова к ЛЮ-связи, находим 4пй кч А п~ ~ (1~1) ~ ~ 2(йу +1) Тг~ Тгт) (4 ь+ хтс зтз т т где Г', Г, отличаются от Г, Г, только заменой ЕтУ на Ет$т и введены обозначения ~ЦьУ, ...) =(2У*, + 1)(2/,+ 1), (43.26) '4 = Х К (ьгзтьтот/~lу~узт) х ~~~ з т зт I 1 т и 3 . (43.27) е Г й ~ь ут !ь уь Я, 3' — 5, 1 1 3т 2 1-т 1О Ео т Определение матрицы Т, принятое в этой главе, обусловлено соображениями простоты записи граничных условий (43.14), которые часто используются в дальнейшем.
Обычно в теории рассеяния применяется так называемая Я-матрица, связанная с матрицей Т простым соотношением') 1 1 з 3гг,=бег, 21 ~ й ) 1гг; (43.28) Асимптотика радиальных функций представляется при этом в виде — (а. -'-") (», '") ~ Рг~(г) й ' '(Ьгг е — Згг е / ' (43.29) Радиальные фуакции с такой асимптотикой отличаются от функций, 1 определенных согласно (43,14) лишь постоянным множителем й, з ( — ~) 2 Матрица 5 симметрична и унитарна ~ 3гг, ~ =1. ') В литературе часто обозначается через Тгг матрица (Згг — Ь ).
гг, гг, гг,. Полученные выше формулы сводят задачу вычисления эффективных сечений к вычислению матрицы Тг,, Эта матрица определяется согласно (43.!4) асимптотикой радиальных функций зе',л(г). Следующие разделы настоящей главы будут посвящены методам определения этих функций. $ 43) хглвнвния ткогии столкиовкний элкктгонов с лтомлми 393 Из (43.28) и (43.20) следует пт~аг, о (1!) ~ !5 б ~о о о йо Лм2а ! гг, гго (43.30) При использовании приближенных методов расчета определение сечения через унитарную матрицу 5 или линейно связанную с ней матрицу Т часто оказывается неудобным, так как приближенное выражение для этой матрицы может быть уже неунитарным, что приводит к нарушению условия сохранения числа частиц.
Важно отметить, что в случае приближенного решения не только может нарушиться условие (43.29), но даже отдельные слагаемые (5гг (о о могут оказаться сколь угодно большими. Чтобы избежать этого, можно воспользоваться )т-матрицей, связанной с матрицей 5 нелинейным соотношением 5= —. !+И (43.31) ! — ()с ' где 1 †единичн матрица: )г, = бгг . о Матрица Р как н 5 симметрична, зрмнтова, но неуннтарна. При эоом радиальные функции действительны и имеют асимптотику Их можно представить в виде линейной комбинации функций с асимптотикой (43.14). Независимо от вида приближенного выражения матрицы )с матрица 5, вычисленная по формуле (43.3!), унитарна, и приближенные значения сечений удовлетворяют условию сохранения числа частиц. Фактически при переходе от )1-матрицы к 5-матрице в (43.31) приходится испольэовать не всю бесконечную матрицу )1, а некоторую ее субматрицу (что соответствует учету конечного числа состояния).
В этом случае 5-матрица хотя и не будет строго унитарной, но нарушение унитарности оказывается не столь большим. Иногда вместо сечения перехода о, используют безразмерную величину — силу столкновения (осе)1!з!оп з!гепй!)оо): 2логодо' (43. 32) где г=2 — д!+1 — заряд атомного остатка (для нейтрального атома г=1) ').
Подставляя сюда (43.20), получаем () = Ъо~~ й„~ Т ~ = ~~о~ и ~5 — б „~ . (43.33) Г !ао, Р!а Го(а, Г!а Введение величины () удобно по целому ряду причин. Как уже отмечалось, она безразмерна. Кроме того, она симметрична по отношению к прямым и обратным процессам ()аоа (Лой) Паа, (ййо) (43. 34) ') Это определение ()а, отличается от обычно принятого множителем го. Тем самым обеспечивается одинаковый порядок величины Й о в изоэлектрон.
ном ряду ионов. (гл. х~ 594 возвхждяниа атомов н адднтнана по структуре атомных уровней. Прн больших энергиях ею Е н, следовательно, (1 =сапа( нлн очень медленно(логарнфмнческн) возрастает. Выше (см. (41.61)) уже отмечалось, что полные парцнальные сечения неупругнх процессов удовлетворяют определенным неравенствам. Поскольку сечение определенного перехода не может превышать полное неупругое сечение, те же неравенства можно записать з виде ~~Р~ (1 (1,1) ~21,+1. (43.
35) ! Наконец, отметим, что усредненное по максзеллоаскому распределению скоростей число переходов а плазме с электронной температурой Т аа единицу времени на один электрон н один атом равно ! СО Е (2п) ' (таТ) а д " ~в 3. Радиальные уравнения. В предыдущем разделе было дано выражение для эффективных сечений через матрицу Т. Элементы этой матрицы можно было бы вычислить методами теории возмущений. Однако этот путь не всегда удобен и, кроме того, часто является совершенно недостаточным. Другая возможность состоит в вычислении радиальных волновых функций Ег'(г). Тогда матричные элементы Тгг, определяются граничными условиями (43.14). Функции г.г'(г) являются решениями радиальных уравнений, которые можно вывести с помощью вариационного принципа аналогично выводу уравнений Хартри — Фока для состояний дискретного спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
