Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 95
Текст из файла (страница 95)
8) получим е 'ом ю'У,,,(г)о1г= —,1 — а'.б,„+ )ф,' ф,,о,е оеочут ~ (42,10) 3" 4ле' 1 тео~ а г(паоаоо а» = 4 ( о ) а о1го а (о7) гба а ~ дО ('12.1 1) о где ~а а (о)) = ~ф~ фа~~а ~е е 'г(т оу = Фо — й, о7' = й, + й* — 2 во к соэ йа,а, е(О = — д г(о7. о (42. 12) (42.13) формулу (42.11) можно переписать также в следующем виде: о/ Величина г'(о)) =Р,, (о7) носит название атомного фактора рассеяния нлн формфактора.
Вычисление интеграла Р,,(о)) представляет собой весьма сложаоа ную задачу. В случае упругого рассеяния эта задача существенно 1 облегчается в двух предельных случаях: оу(( †, где а в порядок 1 величины атомных РазмеРов (РассеЯние на малые Углы), и о7>)-- а (рассеяние на большие углы, сводящееся к резерфордовскому рассеянию на атомном ядре). Мы не будем останавливаться на этих вопросах, так как они подробно излагаются в большинстве цитированных выше руководств по теории атомных столкновений, а сосредоточим внимание на получении формул, наиболее удобных для численных расчетов. Некоторые приближенные формулы для оценочных расчетов эффективных сечений неупругнх столкновений будут получены в следующем разделе. Подставив это выраженне в (42.6) и выполнив интегрирование по г(г с помощью формулы е-'аг г)г= —, е ! 4П (42.
9) ~г — г;~ дд 572 [гл. хс ВОЗБУЖДИИИЕ АТОМОВ Для вычисления с.„,(«7) необходимо в интеграле (42.12) разделить радиальные и угловые переменные, что достигается разложением е'ч"с по сферическим функциям. Из (41.8) имеем ест ' = д«+ и[«' 4п(2х+1) )«„' (8чсуч) Т, (42,15) с «и с 4* цй ЕА(4;) с„,(8; рс) ') (42. 16) « Подставим (42.15), (42.16) в (42.12). Для дальнейшего удобно выделить из суммы по х, [ь в (42.15) член х =О, [ь =О. Поэтому Г (с7) — Л, „=<а,! ҄— Л[а)+ + ~~', и [с 4п(2х+1) 1" (йчсре) <а,! Т [а).
(42,17) хо, с Пусть в общем случае состояние атома характеризуется набором квантовых чисел у.сМ. Подставим (42.17) в (42.11), положив а, = у,/,М„а«= усМ, и проведем суммирование по конечным состояниям М и усреднение по начальным состояниям М,. При выполнении этих операций возникают суммы ~ Д у„',(бе рч) у., (8, р,) <у,у,М,! Т„[ууМ><АМ! Т„~,[у,у,М,>, (42.18) ко~орые с помощью формул (14.14) — (14.17) легко приводятся к виду 6«н (2х+1) '~„! У«(8, ср, )!'[(у,.У,[! Т„[[уУ)!'= , б,м = ! (у«~«[! Т«[! УУ) !' 4'" . (42. 19) Таким образом, .ь'.
! ~т.бмп ттм (4) — ~бт.тббсбм.м !' = ~«м. и ~стспг,— «Стсс~ с ~ ф«~ч( — ~ст«,С«Л«сс! ! с«««ос Яе «ю« Дальнейшее рассмотрение удобно проводить раздельно для упругого н неупругого рассеяния. Начнем с неупругого рассеяния. ') Как будет видно иэ дальнейшего, подобное определение оператора Т„удобно по той причине, что при д О Т с точностью до множителя — е совпадает с опеРатоРом мУльтипольного электРического момента атома С2ч,. 573 й 42) ПРИБЛИЖЕНИЕ ВОРНА Из определения оператора Т„ следует, что при н~ О е'((у,l„'я Т„й'уУ)(' совпадает с выражением для силы линии электрического мультипольного перехода порядка х 8„(у,l,; уУ) (32.46), если в этом выражении заменить радиальный интеграл = 1 )7»о'")7»'*" (42.
21) на )с„"д (д) = „) й, г'„(дг) 1»„г' г(г. Следовательно, ~ (У./. П Т.!! Уу) Г =, (У.у.' Уу) (Я* (Ч) Г (42. 22) (42. 23) йааа О где Е = — — энергия налетающего электрона. Если пренебречь а= 2Л» тонкой структурой, то под у,; у в этой формуле надо понимать наборы квантовых чисел, характеризующих термы. Если, кроме того, пренебречь и электростатическим расщеплением, то у,; у определяются заданием электронных конфигураций. Сумма по н в (42.25) содержит небольшое число членов, †к правило, 2 — 3 члена. Для перехолов между уровнями конфигураций, отличающихся одноэлектронными квантовыми числами п1; ЛТ, х заключено в пределах ) 1 — Т ) ~ х(У+5. 1(ля различных приближенных оценок а„удобно выразить через силы осцилляторов Т"„ рассматриваемого перехода (32.45) о.
(у„у) = (н+1) (2н+!) (л».» \ й у„'=а *"~'У„= „-,„((йн+1)11)»( — у / а*(го») Р».»~ »» (42 27) причем множитель г„(у,l„уу) определяется из соотношения б„(у,l„' уУ) =е'а„(т,У„' уГ~(й„)* (42.24) с помощью формул э 32. При Н=.О радиальный интеграл (42.21] обращается в нуль. Тем не менее формула (42.23), не содержащаяся )с", остается справедлиной и в этом случае.
Подставляя (42.20), (42.23) в (42 14), интегрируя по »(д в пределах от д ;„ =й, — й до »»,„ = й, +й и включив У,(у) в набор квантовых чисел т,(у), получим и, =~~"',~ А ) — ((~„4 )11)Р,(У~' У) ~ о, ' ) 14 )7„"ЖИ)) —, ~ А,'а (42. 25) (ГЛ. Х1 574 ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ 3О=4( — ) ( ~( — ~~ ) — Е~ + ~~1' а„(1„(1)г))'„ч ) юг, ~ фа р(г)=~~~~~2(21+))йй(г)+рй гп(г) ~ й(г)г'г(г=11, п1 О'„(1)г))п1 = ~ йпш (г)/„(11г) г'Вг, и„=',",+', ((1'((С"()1') ~'(1™у31(((Т))1"у31.).
(42. 28) (42. 29) (42. 30) (42.31) (42. 32) Число членов в сумме по и определяется условием н(21', к~21.. В случаях 1' =0 или 1' Ф О, но 1. =0 (сферически симметричное распределение заряда) в (42.28) отличен от нуля лишь первый член. При 1' = 1, 1. ~ 0 в сумме по и остается один член х =2, который можно выразить через квадрупольный момент атома Я(1'гу51) (см. (28.50)). 3. формула Бете.
Из формулы (42.12) следует, что основной вклад в полное эффективное сечение неупругого рассеяния дает 1 область малых значений д( †, где а в порядок величины атомных а ' 1 размеров. При д)) — вследствие сильной осцилляции функций е'ч" а интеграл (42.12) близок к нулю. Имея ввиду это обстоятельство, можно заменить в формулах (42.25),(24.26) верхний предел интегри- 1 роваиия м,+и на 11, — и одновременно разложить функции 1,(дг) где а = — . При х =0 (42.26), очевидно, несправедливо, так как 6* Йс понятие силы осциллятора имеет смысл только при и + О. Согласно а!п ЦГ1 (42,16) Т„=~~ /,(дг;)= э — '. Следовательно, а, отлично от нуля только лля таких переходов у, — у, в которых все квантовые числа, за исключением главных квантовых чисел и, не менщотся.
Например, в приближении генеалогической схемы разрешены только переходы типа у,511.,п1Я.,/ у,Я,1.,п'1О1,1. Перейдем теперь к упругому рассеянию. В общем случае вычисление диагональных матричных элементов Т представляет собой более сложную задачу, чем вычисление недиагональных. В ряде случаев эта задача упрощается, если выразить приведенные матричные элементы Т через приведенные матричные элементы оператора 11", введенного в 8 18. Приведем окончательный результат для электронной конфигурации, содержащей кроме заполненных оболочек одну незаполненную оболочку 1'": 2 421 575 ПРиБлижение БОРИА в ряд по степеням дг. При дг — О (42.33) В результате этого разложения ~т.г М ~ыт ~тот (41 — 8 ) «сг,~'«~тг с«г = — — Йт,т. (42.34) Рассмотрим переход у,— у, разрешенный правилами отбора для электрического дипольного излучения.
В этом случае в формуле (42.251 и, = О. Ограничиваясь в сумме по х первым неисчезающим членом о, (отметим, что в особенно интересном случае а — р-переходов остальные члены отсутствуют), получим п(У,У) =8па,(е )Ут'т (Е ) «п(а»») ' (42'35) Поскольку в борновском приближении предполагается, что энергия возбужаения Е„„мала по сравнению с энергиями налетающего »а»ю и рассеянного электронов —; —, положим 2т ' 2т ' 2т 2т т Р а 5 ф~ ты» Следовательно, — (а,»,) — — а,», =()ы„а,»„ где ~ы, — некоторый безразмерный параметр (при д,. а, ' и Е,, - Ку фыг 1), который нельзя вычислить в общем виде. Окончательный результат удобно записать в следующем виде: о(у,у) =, "" — 1и (рита), та в, = — ', з = — '.
(42.36) формула (42.36) носит название формулы Бете. С помощью этой формулы эффективное сечение о(уу') выражается через силу оспиллятора электрического дипольного перехода. Поскольку параметр р стоит под логарифмом, сечение слабо зависит от величины р. При малых энергиях формула (42.36) неприменима. В частности, у порога возбуждения (Е,=Е„,) (42.36) не обращается в нуль.
Строго говоря, при малых энергиях неприменимы и общие формулы борновского приближения (42.25). Однако в отличие от (42.36) эти формулы дают по крайней мере качественно правильную зависимость сечения от энергии Е, и могут быть использованы для приближенных 576 [гл. хт ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ оценок. Ряд конкретных расчетов, выполненных в борновском приближении, показывает '), что для большого числа различных переходов сечения, выраженные в пороговых единицах (42.37) ведут себя сходным образом.
Сечения возбуждения достигают максимального значения при х= 1 †: 2, причем величина а ,„ сравнит 21 тельно хорошо передается фактором па, —;, содержащимся в фортет муле (42.36). Это позволяет предложить следующую эмпирическую формулу: атм где параметр с определяется положением максимума сечения с =х ,„, о ,„ =и (х ,„). Если величина х ,„ неизвестна, можно принять с = 1. В этом случае (42.
39) Согласно (42.38) при х((1 асгтх', при х=с о=о,„и прн х)) ! асуз —,. Приведем также выражение для усредненного по максвелловскому распределению произведения Оо ( ) =Уз„„* — и(ус') е- !О-' —, — 1+с*, У, см' 1 ы ку. у= кт =а"тат (7(х)=4,4х* (! — Уе Е,( — а))~1,8, я(~ ! и(х)=4,4г*, 1 г>) 1 (7(х)-4,4х Формула (42,38) не содержит логарифмического множителя и поэтому при больших скоростях отличается как от борновского приближения, так и от экспериментальных значений. Этот недостаток можно устранить за счет небольшого усложнения формулы (42.39) т 21' х' а = па, —, 4С... )и (С,х), (42.40) т.т 1 ) Обсуждение результатов расчета сечений возбуждения различными арнблнженнымн методами см.
в $44, 578 [гл. х~ возвтждвнив атомов энергиях †>) 1. Вместе с тем основной интерес для спектроскоЕо пистон представляет область сравнительно небольших энергий Е,= Е,„ . В втой области становятся существенными искажение падающей и рассеянной волны полем атома и возмущение атомных волновых функций внешним электроном (поляризация атома). В принципе оба эти эффекта можно учесть уже в рамках теории возмущений.
Выражение (42.3) для вероятности перехода соответствует первому приближению теории возмущений. Во втором приближении теории возмущений в общую формулу для вероятности перехода а,уг, — ай вместо матричного элемента У,,аа „а надо подставить Ьйа, *агав и ' Š— Е,+ — ' —— а а' 2т 2т В этом выражении сумма по а' означает суммирование по всем возможным состояниям атома (как дискретного, так и непрерывного спектра), волновые функции фа нормированы на 6-функцию б(д вой'). Запишем второй член (42.42) в развернутом виде Г Г,й) аии м-ач х У» а (и') е™'г(г г(г' (42.43) я выполним интегрирование по ~И'').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
