Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Основной вклад в сечение дают, конечно, несколько членов с минимальными значениями 1, и. 584 [гл. хт возвлждвниа атомов лг зев ! Ет !+Е» В этой формуле можно выразить сечение через силу осциллятора перехода, отнесенную к единичному интервалу энергии —: к7 аЕ» ' »»а(у'ЧзЕу)=8паз(Е)( Е Е ).~~» 3Е !" (р лаз)»)ЕЕ (42.67) т'1то Если ввести обозначение <У(УУ )>=1, КУ вЂ” 7" !и Ф М,) ~Ею то полное сечение ионизации можно записать в виде а (у' уз) = 8™е ( Е ) ~ Су (уу )>.
т'!т. Приведем в заключение полуэм лирические формулы для полного эффективного сечения ионизации с уровня у. Простейшей форм улой является известная классическая формула Томсона »$4» з Š— !Е ! !Ет! а =па,* —,, л'= ", в = — ', (42.70) т з з(1!л*)' (Е! т ку (42. 69) где $ †чис эквивалентных электронов в оболочке у. Несколько т более точные результаты дает формула') (42. 71) ат ') Н.-Ю.
1)га»з1л, 2з. РЛуз»й 164, 513 (1901) (ср. сформулой (42.40)). Имея в виду грубо приближенные оценки величины сечения ионизапии, положим в (42.62) 1»»; » лг (Ч)- 1»т»; т лг (О) = »с»; т'ег и опу- стим в сумме по и все члены, кроме одного и=1. После этого »(а(»'! узЕ») 3 ( Е ) Х зт (уу') (К' т лг)»1Еу —. (42 65) тч». Для того чтобы выполнить интегрирование по»!»7, вообще говоря, надо знать зависимость радиального интеграла»с', » л от Е.
Учи- тывая отмечавшийся выше крайне приближенный характер формулы (42.65), положим по аналогии с (42.85), что интегрирование по»Л7 дает з(п(у', ТЕ ) = ( ) —,5 з, (уу') (1»', » лт)*»7Е» !п (»1)'»»а,), (42.66) зт, т'!»~ где э 431 хнлвнвния твоеии столкновений электгонов с атомами 585 где Отметим, что у' равняется $ минус сумма сил осцилляторов всех т т переходов с уровня у на другие уровни дискретного спектра.
В 43. Общие уравнения теории столкновений электронов с атомами 1, Введеаие. Рассмотренный в предыдущем параграфе метод Бориа позволяет провести до конца вычисление сечений любых процессов: упругого рассеяния, возбуждения атома, ионизации и т. п. При этом задача вычисления эффективного сечения процесса сводится (после разложения по мультиполям) к взятию одного-двух радиальных интегралов. К сожалению, как это уже отмечалось выше, область применимости метода Бориа ограничена большими скоростями возмущающих частиц, в то время как в задачах атомной спектроскопии наибольший интерес представляют различные процессы, связанные со сравнительно медленными электронами (в частности, для неупругих процессов — с энергиями порядка одной-двух пороговых).
В этом случае, уже нельзя ограничиваться приближением плоских волн, так как искажение падающей и рассеянной волн полем атома начинает играть первостепенную роль. Кроме того, и это наиболее важно, при малых скоростях оказываются весьма существенными и другие эффекты: обменное взаимодействие, связь между упругим и неупругим процессами (так называемый эффект сильной связи), поляризация атома внешним электроном. Учет искажения падающей и рассеянной волн, как это было показано в предыдущем параграфе, возможен еще в рамках теории возмущений.
Однако замена плоских волн искаженными делает невозможным упрощение формулы для сечения с помощью фурье- преобразования, т. е. переход от формулы (42.6) к формуле (42.11), не включающей явным образом потенциал взаимодействия. Это обстоятельство, а также тот факт, что атомные волновые функции в общем случае не являются сферически симметричными (кроме случая Я-состояний), заставляет вернуться снова к разложению на парциальные волны. В принципе это разложение аналогично использовавшемуся в 8 41 при рассмотрении рассеяния на силовом центре. Однако теперь мы имеем дело не просто с силовым центром, а со сложной системой (И-электронный атом), обладающей определенным внутренним моментом и распределением заряда, зависящим от этого момента. Для описания всей системы, включающей атом и внешний электрон, орбитальных квантовых чисел парциальных волн уже недостаточно.
Необходимо ввести квантсвые числа полных мпментов (мы (гл. х~ 586 возвэждвнив лтомов будем в основном прилерживаться схемы 1.5-связи). Кроме того, как уже отмечалось, необходимо учитывать обменные эффекты, т. е. описывать систему с помощью полностью антисимметричных волновых функций. Наконец, для учета связи различных «каналов» рассеяния, а также поляризации атома внешним электроном приходится, по крайней мере в исходных уравнениях, отказаться от теории возм ущений, т. е.
от описания процесса матричными элементами перехода. Вместо этого мы воспользуемся вариационным принципом, подобно тому как это делается при выводе уравнений самосогласованного поля Хартри — Фока. Поскольку, однако, полная волновая функция системы атом +электрон содержит волновые функции всевозможных стационарных состояний атома, соответствующих различным каналам рассеяния, мы получим (бесконечную) систему связанных интегродифференциальных уравнений для радиальных функций внешнего электрона. Поэтому более правильно будет сказать, что эти уравнения аналогичны уравнениям Хартри †Фо для оптического электрона (при заданном остове) в многоконфигурационном приближении.
Прежде чем переходить к конкретному осуществлению намеченной здесь программы, сделаем еще ряд замечаний относительно используемых волновых функций. Здесь и в дальнейшем мы будем говорить лля простоты о рассеянии на атоме, хотя в действительности все рассуждения в равной мере относятся как к нейтральным атомам, так н к ионам (если изменить должным образом асимптотику радиальных функций). Мы будем почти исключительно рассматривать только такие неупругие процессы, в которых изменяются конфигурационные квантовые числа (лу) не более чем одного электрона, который в дальнейшем называется оптическим.
Предполагается, что этим электроном является один из электронов внешней оболочки атома. Как обычно, атом без оптического электрона будет называться исходным ионом. Для проведения реальных расчетов в случае сложных атомов необходимо провести разделение электронных переменных. В этом параграфе мы везде будем полагать, что атом описывается хартрифоковскими волновыми функциями, построенными из одноэлектронных функций в соответствии с определенной схемой сложения моментов. Существенное усложнение вывода радиальных уравнений возникает ввиду необходимости учета возможной неортогональности одно- электронных функций. Полный учет неортогональности делает уравнения в общем случае совершенно необозримыми, вследствие чего приходится делать некоторые дополнительные упрощающие предположения.
2. Общие формулы для сечений. Обозначим через Ч" полностью антисимметричную волновую функцию системы, состоящей из И-электронного атома и внешнего электрона. Разложим, далее, эту функцию по собственным функциям атома Ч", . Как было показано $ 43) хвлвнвния таогии столкновений эляктгонов с лтомлми 58у и 3 15, такое разложение можно представить в виде Ч ам(еьа ° ° $м) фамта Й), А = ~~~ Рсап (43.1) УМ где А — оператор антисимметризации, Р;! — оператор перестановки ~0 $ й,, $ — совокупность пространственных (г) и спиновых (Х) перемен ных.
В соответствии с общим определением дифференциальное эффективное сечение для перехола а,М,гл, — аМгл' равно отношению числа электронов с проекцией спина гл', рассеянных за 1 сев в телесный угол пО при условии, что атом оказывается в состоянии аМ, к плотности падающего потока. Если описывать падающий поток плоской волной с единичной амплитудой, то Жу = —" шга иО, "а (43.3) Подставляя в (43,2) аМш'-компоненту из (43.3) и учитывая, что функции Ч",м дискретного спектра нормированы на единицу, получаем для дифференциального эффективного сечения следующее выражение: 5 Г(П 'М',та = ~ УаМта((),<р) ~ ' ПО. аа (43.4) где и и па — скорости падающего и рассеянного электронов, а гав вероятность обнаружить один электрон в точке г (г оо) при произвольных координатах других электронов и при выполнении указанных выше условий: та = ~ХР~ ~ ( АЧг "таам ~а (~ ~Утю ~ (И + 1) ~ ( АЧ~ фам р (~ л(т, (43.2) !т г Здесь г(т'~' означает интегрирование по всем переменным (включая спиновые), кроме гы а г(т — интегрирование по всем переменным, кроме г.
Поскольку нас интересует значение ш при г — оо, необходимо написать асимптотическое выражение для Ч". Однако асимптотика Ч', существенно зависит от того, относится ли состояние аМ к дискретному или непрерывному спектру. Ограничимся для простоты случаем дискретного спектра. Тогда при г — оо в ~ в формуле (43.1) остается лишь член с /=М + 1 (гу —— г), для которого координата г приписывается внешнему электрону.
Все прочие члены содержат г в атомной волновой функции Ч', „, которая по условию экспоненциально затухает на больших расстояниях. Следовательно, Чг -( ч+ 1) ~Х~~ 1 амХт' ( а бамтп амта+Уамт (йгр) аМт' 688 [гл. х» Возвтждение АтОмОВ 5 -1 Ч'=Чга~'Гао "'=Зр»,ЧГ»' (У, =ПЛ4?,—,ОШ~). »о Верхними индексами всюду обозначается начальное состояние. Введем, далее, полную ортонормированную систему функций Ф,: Ф» Яо $м О,ф,Л) =ЧГ,МЯ, Вм) У7~(8,ф))( *(Л), (43.6) -1 у=аЛ41-л»л» .
2 Очевидно, Ф, антисимметрична по $,... $м, но неантисимметрична относительно перестановок $, йА» с $. Разложим ЧГ"' по Ф„: ф'»о А ~, Р»о (Г) Ф » где Гч,"(0) =О, а при à — Оо имеют асимптотику ,ГА а Р»»'(Г)" 6 „,а!п (ог,г — — ) + Т„е ~ю о ) ° (43.8) Подставляя (43.7) и (43.8) в (43.6), заменяя, как и выше, сумму из А одним членом и сравнивая результат с (43.3), получаем два соотношения 5»П ( й оà — — ) Ч'аом, е'"")(мо = ~'., Р Т Ф»„, Г- а\ о»о Г Ц (43.7) »о ЧгамТам "(6,ф) Х" =~ р»-,е * Т„.Ф,. »,»н Учитывая (43.6) и разлагая плоскую волну по сферическим, находим из первого соотношения р - 1», ' 4П (21о -[- 1) (43.9) ао Аналогично второе соотношение дает разложение амплитуды рассеяния Т;маао по сферическим волнам Тамона(6»ф) =~я~ р1» ~ йо ')' 4п(21, + 1) Т,1'» (й,ф).
(43.10) »о»М Как уже отмечалось в разделе 1 этого параграфа, для практического решения задачи в общем случае необходимо выполнить разделение радиальных и угловых переменных. Это разделение достигается разложением по парциальным волнам. Прежде всего перейдем от плоской падающей волны к сферическим. Тхля упрощения формул в дальнейшем за ось г принято направление вектора й,. Тогда $ 43) УРАВнения теОРии стОлкнОВений электгонов с Атомами 589 Таким образом, зная радиальные функции тч '„'(г), а следовательно, и матрицу тт„„ можно определить ~,м ° (8,<р) и затем сечение рассеяния согласно формуле (43.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
