Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 100
Текст из файла (страница 100)
~) сферические функции уь ф~, ~ь л, связаны с обычными функциями Бесселя н Ханкеля уг, Н~р'~, 1, Кг соотношением (гл. хю 600 возвуждение Атомов Переходя, далее, ко все более высоким приближениям, можно по- лучить Тг, =Р'г,+ ~ Ог,(г, г') Уг.г,(г')Рг,(г') г(г', а Г,=~а,(.,')[и„,('>+У,г,(')~Р,,(') 1' о (43.60) и для матрицы Т ОЭ 1 г— Тг,г, = е'ч а! п т), — а ) Рг, Уг,г, Гг, т1г о а Тгг.
= — Т ~ Рг((Угг. + Угг,) Рг,с(г (ГФ Г,). а (43.61) Величина Угг, называется поляризационным потенциалом. Она яв.ляется интегральным оператором типа У( ) Ф (г) = ) У(, l') Ф ( ') Ф ' ч (43. 62) (ниже ядро интегрального оператора обозначается везде той же буквой, но с двумя аргументами). Поляризационный потенциал определяется рядом 1".,= ~ У'г'„~Ф. = ~' и„,,.г„„„ н=г (Iгц...г„,г,(г,г') =) с(г, ... й'„, Ит,(г) Оц (г, г,) (Уг,г,(г,).- о (43.63) ...Ог„,(г, „г')(Уг„,г,(г ). (43.64) Последние формулы годятся как для Г+Г„так и для Г= Г,. В сумме по Г,... Г„ , необходимо опускать все члены, в которых встречается хотя бы один диагональный потенциал (Уг„г„.
Таким образом, решение системы уравнений теории столкновений выражено в замкнутой форме (43.60). Поправка к матрице ТД~, дается согласно (43.61) матричным элементом от Угг,. Из второй формулы (43.61) видно, что Угг, представляет собой поправку к хартрифоковскому потенциалу (Угг,. Именно с этим связано название: поляризационный потенциал. Разумеется,'строго говоря, выше получено лишь формальное решение, так как трудности решения бесконечной системы уравнений перенесены на вычисление бесконечного ряда (43.63) сложной структуры.
Кроме того, остается открытым вопрос э 43) эглвнвния твогии столкновений элвктгонов с лтомамн 601 о сходимости ряда. Однако если ряд сходится, то использование поляризационного потенциала для получения приближенного решения обладает рядом очевидных преимуществ. В частности, сформулировать приближенное выражение для потенциала иногда значительно проще, чем для волновой функции. Может случиться, что ряд (43.63) (фактически это ряд теории возмущений в представлении метода искаженных волн) не сходится или сходится слишком медленно.
В таком случае необходимо непосредственно решать систему уравнений либо обращаться к каким-либо иным методам (ср., например, э 45). В приведенных выше формулах поляризация учитывается фактически в рамках теории возмущений. Рассмотрим теперь другое представление, в котором используются точные волновые функции упругого рассеяния )г г, в произвольном состоянии Г. Такая функция является решением уравнения Шредингера !.Уг — Уэг+Й') Кг =О, (43.65) , („Л=) (уг(0) =О, У'г' 5!п (Ь' — — )+ Тггв = ем з1п (7гг — — + Ь), 1и 2 где б — точная фаза рассеяния, а т"г — новый поляризационный по. тенциал. Нетрудно показать, что T~г и Угг связаны интегральным уравнением Уэг (гг ) = Угг (гг') ~ "у"~г (гг~) Ог (г~г~) 1гг(гхг') с(г фг„(43 66) откуда получаем разложение для 7"г. у.=„'р х' и„,...,„,„ (43.67) г .—,л г;~г где штрих у суммы, как и выше, означает отсутствие членов, включающих диагональные потенциалы с7г,г, Дополнительное условие Г;~Г заметно уменьшает число членов в сумме.
Используя функции 1г, амплитуду неупругого рассеяния можно записать тремя, вообще говоря, эквивалентными способами СО 1 г— 7;,= — —,~~ Г,(и,+У;„) Г,. 1г= о 1 Р 1 = — — ~) э' (с7~~, + ~ гг ) Р о и = — Л ~ У г ((7гг, + % "гг,) 1У'г, г(г. в [гл. х( 602 Возвуждеиие АтомОВ Очевидно, это соответствует <начальному», «конечному» и «симметричному» включению поляризации. Очень важно, что при использовании приближенных выражений для У и Уо три приведенные формулы приводят к разным результатам.
Приведем разложения для не- диагональных потенциалов 2»гг, = ~х~ ~с~~ (угг,...го,г„ лг, г„ (г( ~ гоо (43.69) о Ю „.=~ ~ и„,...,л,,„ л г,...г„ (гота г( (43.70) 2 'гг,=Х Х (7гг, гл,г. — М'гг„(43.71) лг, лл (г( ~ го г> М гг„= и„.гг. + ~чР (игг„,гг. + иггггг, + иггггг.)+ ... (43.72) '1 ( о (43. 73) где (г„— бесконечная сумма всех членов нечетного порядка Р„(г, г') = ) Дг, (/„(г) О, (гг,) (7„(г,) 6,(г,г') Суы (г') +-... (43.74) В несимметричных представлениях упруго-рассеянных волн 2"о.= оо »1 ='»"оо =О, т. е.
оо оо 1 Р— 1 г То»= д ~ Г,(7„7,(уг= — ~ ~ ~,(7„Р;((г. (43.75) о 1 о о При этом поляризация целиком учитывается в функциях от. Более того, в диагональных потенциалах отличны от нуля лишь члены вто,рого порялка 2'»о (гг') = У„ (г) 0,(гг') (7ы (г') (43. 76) ои аналогично 2'»,. ,(члены более высокого порядка в М" имеют сложный вид). Нужно отметить, что диагональные потенциалы 2'» и (г совпадают во 2-м порядке, а недиагональные — до 3-го порядка. Для иллюстрации различных представлений полезно рассмотреть двухуровневую систему. В представлении искаженных волн Т ампли.туда перехода запишется в виде бо3 9 44) пгивлижвнныв мвтоды Симметричное представление в случае двухуровневой задачи менее удобно, так как приводит к переоценке поляризации, вследствие чего Tч'„ф Ол (43.77г Нужно, однако, подчеркнуть, что подобный результат относима только к приближению двух уровней.
При учете виртуальных уровней симметричное представление может оказаться полезным, В случае неупругого рассеяния значительно лучше использовать третье представление, которое можно назвать представлением двух состояний (ср. раздел 4 9 44). Пусть нас интересует переход Г, Г. Тогда точные волновые функции Рг, и Рг можно представить в виде решений системы двух уравнений: (ж,— у ...,+й1 г,,=(и...+ч ...)г,, '( (.9', б='„'+ л') ~, — (и„", + з „',) г,„. ) Можно показать, что новые потенциалы уз определяются рядом у „,=~ ~ и„,.,„,„, н г,...г„ с~ ~г„г (43.
79) причем для %"гг и У"г,г, справедлива аналогичная формула с сохранением обоих ограничений: Г! ~ Г, и Г; Ф Г. Новые потенциалы У" симметричны по начальному и конечному состояниям. В случае двухуровневой системы все У' обращаются, в нуль. й 44. Приближенные методы 1. Первое приближение метода искаженных волн.
Если ограничиться первым приближением при решении интегральных уравнений (43.55), то из (43.59) получаем О~ Тгг, =еьм з!п т)„Тгг, = — — ) Гг с7ггРг,~й', (44.1) о! ~ . о) 1 р 0 обе функции Рг и Р~, являются решениями двух несвязанных однородных уравнений типа (43.51) с асимптотикой упругого рассеяния (43.33). Как уже указьвалось, эти функции называются искаженными волнами, так как при их вычислении точно учитывается поле (Утили (/гг Другими словами, функции Рг являются решениями задачи Хартри — Фока для электрона в состоянии непрерывного спектра. В этом случае среднее «хартри-фоковское» действие внешнего электрона на атом равно нулю, т.
е. задачи самосогласования не возникает. Таким образом, в первом приближении метода искаженных волн полностью учитывается искажение падающей и рассеянной волн средним полем б04 (гл. х~ возвгжданиа атомов атома, но совершенно не учитывается влияние внешнего электрона на атом. С этим, в частности, связано то обстоятельство, что упругое рассеяние определяется не матричным элементом, а просто фазой волновой функции. Первое приближение метода искаженных волн часто называют просто методом искаженных волн (например, в известной монографии Мотта и Месси). 2.
Учет обмена. В предыдущем разделе, так же как в й 43, как правило, специально не оговаривалась возможность учета обменного взаимодействия. фактически это взаимодействие присутствует в виде обменных членов в потенциалах Угг. (формула (43.41)). В рамках первого приближения метода искаженных волн с учетом обмена приходится сталкиваться дважды. Прежде всего уравнение для Гг(все сказанное в равной мере относится к Рг,) дг У(7+ 1) — — — иг(.)+й*) Гг=о (44.2) окззывается интегро-дифференциальным, что сильно усложняет его решение. С появлением электронных счетных машин эта задача стала значительно более доступной. В следующем разделе мы остановимся подробнее на некоторых деталях ее решения. Кроме того, обменные члены возникают в выражении для матрицы Тгг,.
Но здесь усложнение значительно менее существенно, так как о) обычно сводится к вычислению дополнительно одного-двух определенных интегралов. Отметим, что реальные расчеты почти всегда приходится проводить численно. Задача учета обмена возникает и в любом другом приближенном методе. Всякий раз она приводит к интегро-дифференциальным уравнениям и, кроме того, к увеличению числа членов в матрице Тгг,. Особенно громоздким становится учет обмена в поляризационных поправках (см. ниже).
3. 0 численном решении ннтегро-дифференциальных уравнений. В настоящем разделе мы будем для простоты опускать индексы Г, ! н т. и. В первом приближении метода искаженных волн достаточно знать функцию Г. В более точных методах приходится определять также функцию Р, входящую в формулу (43.50) для функции Грина. В численных расчетах удобнее вместо Р и Р использовать действительные функции Р' и Р, удовлетворяющие тому же уравнению (Х*+й')Р= ~„", '('+') и()+а*~ Р=о (Р—-.Г' или Г'), но с действительными граничными условиями Г= а'гг+', Р'=а"г г (г О), (44.4) Г' ° а1п (йг — +н, Р ~. соа( йг — +г)) (г ог).
(44.5) Гл )п (' 2 9 44) 605 пгивлижкннык методы (44.8) виде ,г у*(г) =2 ~ —,~., — — хю Р (г,) Р(г,) бг, +г"Ь., (Р), г*+' (44.9) ') Г Ф. Лрукарев ЖЭТФ 31, 288 (1956), ') К. М а г г ! о 11, Ргос. Рйуж Бос. 72, 121, 1958. Из асимптотики этих функций и из (43.53) и (43.50) следует 1 0 (г, г') = — — Р' (г<) Р (г>) — й Р' (г) Р' (г'). Практически функция Р' находится путем интегрирования уравнения (44.3) от точни г =0 до достаточного большого значения г, при котором величиной (!(г) можно пренебречь (при г оь О(г) убывает как г 'или быстрее), но центробежным потенциалом пренебречь еще нельзя. При этом Р'(г)=аг!' (йг)+и гп (йг) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
