Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 104
Текст из файла (страница 104)
48) — в!п а сов а г г(г, в 11 Ч =Ч вЂ” —, а=l +Ч. !н % 2 (44.49) (44.50) '! Я. СпапдгавеКЬаг, г Вгееп, Ав1горьув 1. 104, 430, 1946. ') Т. О Л т н г а, Н. О !1 гп н г а, Риув. Меч 121. 513, 1961. Можно показать, что подынтегральное выражение в (44.49) при больших г пропорционально г '. Поэтому величину Л можно вычислить численно. Численные расчеты показывают, что в случае тормозных переходов в поле атома водорода при энергиях до 5 эв приближенные выражения (44.45), (44.47) мало отличаются от точной формулы (44.48).
Для других атомов отличие может оказаться весьма существенным. Например, для кислорода при малых энергиях результаты отличаются на порядок величины. Надо отметить, что число расчетов эффективных сечений тормозных переходов в поле нейтрального атома, выполненных до настоящего вреиени, невелико и почти исключительно ограничивается атомами водорода. Отметим, в частности, работу Чандрасекара и Брина '), в которой использовались радиальные функции Хартри и матричный элемент среднего ускорения. Можно показать, что радиальные матричные элементы от радиуса, скорости и среднего (по распределени!о электронов в атоме) ускорения в случае свободно-свободных переходов при использовании функций Хартри совпадают. Но уже при использовании функций Хартри — Фока матричный элемент среднего ускорения дает совершенно неправильный результат.
Более надежные результаты были получены в работе Т. Омура и Х. Омура '), которые провели расчеты сечений свободно-свободных переходов и коэффициента поглощения, используя формулы (44.45), (44.47). 622 (гл. х! Возвуждяние АтОмОВ й 45. Неупругие столкновения в квазиклассическом приближении' ) Квззиклассическое приближение применимо при вычислении эффективных сечений столкновений атома с тяжелыми частицами (атол!ами, ионами и т.
и.). В ряде случаев оно может быть использовано также и при рассмотрении столкновений с электронами. Существенным преимуществом квазиклассического метода является его простота. Так, в приближении двух состояний с учетом сильной связи квази- классический метод позволяет получить ряд результатов в аналитическом виде, тогда как квантовомеханическое рассмотрение этой задачи требует численных расчетов. В рамках квазиклассического метода эффективное сечение для перехода атома с уровня Т, на уровень Т, определяется формулой о( ) =2л ~ (Е, ) О!1Е, о (45.1) где ггга =Е,— Е„(г, = — 1"„, Р, = — Р„, 1/= — 1'„= — 1;, .
1 1 1, 1 * л "' ' Х "' А " Ь В дальнейшем, без какого-либо ограничения общности, можно считать, что И вЂ действительн величина'). Кроме того, в дальнейшем будет предполагаться, что Г(1) — четная функция: )т(1) = Р( — 1). Искомая вероятность равна твв = ! а, (оо) !'. Интегрируя (45.2) в первом приближении теории возмущений (т. е. полагая в правой чвсти второго уравнения (45.2) а, = 1, а, = О), получаем квазиклассическую формулу борновского прибли- жения те~=( ) )ге! 'г(1~ =! ~ )гсозю(Ж).
(454) ') В этом разделе используются результаты работы: Л. В а й н ш т ей н, Л. Прес н я к ов, И. С об ел ь м а н, ЖЭТФ 43, 618, 1962. — !в ') Если У =! Р ! е'т, то подстановка аэ=-б е ', и,=Ь,е ' снова приводит к системе (46.2), где вместо г" стоит ('т' (. где и (о, о) — полная вероятность перехода при столкновении с прицельным параметром о и относительной скоростью о. Задача вычисления те(о, о) своди~ся к решению системы уравнений нестационарной теории возмущений. В приближении двух уровней, которым мы ограничиваемся ниже, эту систему можно звписать в виде )а, = 1', (1) а, + И(1) е г"'а„)' )а, = Р", (1) а, + Р (8) е™а„ / а,( — сю)=1, а,( — оо)=0, !а,(!)!'+!а,(1)!'=1, (453) 5 451 нвупеугив столкновения В кзхзнклхсснчвском пгивлижвнии 523 В ряде случаев приближение (45.4) оказывается совершенно непри- годным. Это приблизкение не удовлетворяет условию нормировки (45.3), из-за чего тп может превысить единицу, что противоречит физическому смыслу этой величины.
В связи с этим в конкретных рвсчетах приходится с помощью квких-либо искусственных приемов ограничивать величину тп. Приближение (45.4) часто дает неверные (завы!пенные) результаты и при та(< 1. Учет следующих членов ряда теории возмущений не приводит к существенному улучшению результатов. Поэтому в общем случае сне~ему (45.2) надо решать, не прибегая к методу последовательных приближений. Вернемся с этой целью к системе (45.2). Введем функцию') !! — —;1 а, ЕЕ) й(Е) =)т(Е) е ехр ] т 5 (Ъ',— )l,) с(Е'~ .
(45,5) а, (Е) о Легко видеть, что фаза этой функции Й(Е) имеет простой физиче- ский смысл, ею определяется поправка и разности фаз величин а, и а за счет потенциала И(Е). Как будет показано, для нахождения ч 3 вероятности перехода ]а,(оо)] достаточно знать лишь Й (Е). Из (45.5) следует ] й (Е! ] 1„])з(Е)]г ]~о(~)] =!.1 ]р(Е)]т (455) и следовательно, независимо от приближения для ЕЕ удовлетворяется условие нормировки (45.3)'). Подставляя (45.5) в (45.2), можно по- лучить дифференциальное уравнение для Е7(Е) и затем из него систему уравнений для р(Е) и Й(Е) аВ .
ГР = = — И(Е) вш ц и (т) с(т — Й (Е)1 1 рт (Е) — ! Ж И ~ рй) (45. 7) Ф = (Е) со. Ь и (т) 3 — Й (Е)1 Ф' (Е) + 1), а (Е) = со + )г,(Е) — (', (Е). (45. 8) Из (45.7) можно найти связь между Гс(Е) и Й(Е), что позволив~ выравнять ЕЕ(Е), а также ] а,(Е) ]' через фазу Й(Е): ЕЕ(Е) = — 11д ( ~ соз [) а(т) с(т — Й (Е')] !ЕЕ'~ егвп!, (45.9) -со о ]а,(Е)]'=(гйп ) (гсоз ~) а(т)с(т — Й(Е')]сЕЕ'~. (45.!0) —:о и ') Нижний предел интегрирования Е'=О обусловлен выбором начала отсчета невозмущенвой фазы ыг в (45.2).
'! Этот прием аналогичен переходу от 3-матрицы к Л-матрице в общей теории рассеяния. 624 [гл, хг ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ формула (45.10) дает искомую связь между вероятностью перехода и фазой Й(1). Система (45.7) в общем виде не интегрируется. Отметим, что если положить й(1) =О, то из (45.10) для малых И следует первое борновское приближение.
Лля нахождения приближенного выражения для ь1(1) можно воспользоваться асимптотическими методами теории дифференциальных уравнений. Отметим, что речь идет об асимптотике по некоторому характерному параметру, содержащемуся в уравнениях, а не по переменной 1. Из дальнейшего будет видно, что роль такого параметра играет отношение †, где А и — скорость, а Х характеризует величину взаимодействия. Можно ожидать, что уже первый член асимптотического ряда дает сравнительно хорошее приближение для ь)(1). Асимптотические решения системы (45.2) имеют вид а,,(1) ф,, (1) х г о „..о~,~ т,,'о'., 1,гь1 1 ть))„), (45.11) где ор,(1), гр,(1) — некоторые вещественные функции.
Формулы (45.11) дают следующее приближенное выражение для Й ф, которое удобно записать в виде интеграла по траектории х =О1: оо ьа (г) = Ке — ) г(х ( а — 1У У' + — 1ь — + 1 — 1 — — ~ — + 1 — ~ аа(К2(РО)4()'а~ о — )/ Ь" + — ~ — — 1 — ~ — — [ — — ю' — 1 ~. (45,12) Сказанное справедливо, вообще говоря, для четных функций И(1), если И(1) — нечетная функция, то к правой части (45.12) следует прибавить — ". При и — 0 (45.12) дает 2 ' Й (1) — Й' (1) = — ) г)х ( а — )~ а' + 4 у" ) = ) опт ( а — )~ и' + 4 Ь" ~, о о (45. 13) что совпадает с точным выражением для фазы в адиабатическом приближении.
Следует также отметить, что как (45.12), так и (45.13) обеспечивают условие оа(1) — 0 при О- О. Правда, согласно(45.!2) ь) (1) — 0 быстрее, чем й' (1). Ио из (45.10) следует, что при оо(1)(( ) сс(т) о1т ) а, (1) ! вообще не зависит от оо(1). Таким образом, о для квазистационарного возмущения (45.12) совпадает с (45.13), ч 45) ньгпнкгив столкновения в квлзикллссическом пгивлижвнии 625 а в условиях сильной нестационарности !45.12) и (45,13) могут сильно отличаться, но это не очень существенно для результатов. Поэтому в дальнейшем ограничимся приближением ь) = 1)' при всех 1, при этом ) а,)оо)(=~ейп ) Р(г) соз() )/а'!т)+4)г'!т)г!т) И~.= — !з!п!).
!45.14) Поскольку )!~ < анр~ ~ ~/ )г'!!)+ — "соя (~)/[х'1т)+4$" (т) г!т) [!1~= г = ацр ! а!п ~ )/а' (1) + 4 г" (1) г!! ) = 1, !45.15) а в выражении !45.14) можно заменить а!п т' на !. Такая замена не только упрощает формулы, но и приводит к некоторому уточнению результатов, поскольку вносимая ошибка противоположна по знаку ошибке, связанной с заменой Й!!) на й'(!). В частности, как будет видно из дальнейшего, в случаях прямоугольной ямы и точного резонанса при этом получаются точные значения вероятностей перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
