Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Аз!п ~йг — — +з)), (44 7) !л 2 где ! и и- — сферические функции Бесселя и Неймана. Амплитуда А и фаза т) определяются по значениям Р' (г) в двух точках (гз) гз! Т (дгз) Р (гз) гз)! (йгю) 18 т)— Е' (г,) г,лу (йгз) — Р (г,) г,иу (йг,) ' Р' (г,) д г, 1! - (йг ) сов т)- - и - (йг) а!о т1) ' з(ля вычисления Р" (г) нужно, вообще говоря, проводить численное интегрирование уравнения (44.3) от больших г к малым, причем предполагается, что т) уже известно. Рассмотрим теперь коротко методы решения интегро-дифференциального уравнения (44.3).
Обычные методы численного интегрированияк таким уравнениям непосредственно неприменимы ввиду наличия интегрального оператора типа Фредгольма (т. е. интеграла от нуля до бесконечности, содержащего искомую функцию), Поэтому обычно уравнение типа (44.3) решают методом итераций. Сначала решается уравнение без обмена.
Найденное решение подставляется в обменный интеграл и полученное таким образом неоднородное дифференциальное уравнение решается снова. Процедура продолжается до тех пор, пока новое приближение ие окажется совпадающим с предыдущим с требуемой степенью точности, Такой итерационный метод довольно прост в принципе, но во многих случаях очень плохо сходится, особенно при ) =0 или 1 и небольших й. Существует другой метод решения таких уравнений, не связанный с итерациямн.
Этот метод был предложен Г. Ф. Друкаревым') в представлении интегральных уравнений и независимо Персивалем и Марриотом ') в представлении интегро-дифференциальных уравнений, Метод основан на замене уравнений (44.3) совокупностью независимых уравнений, каждое из которых может быть решено обычными численными методами. Искомое решение уравнения (44.3) получается затем в виде линейной комбинации решений вспомогательных уравнений, Остановимся иа этой процедуре подробнее. Основные трудности, возникающие при численном интегрировании уравнения, связаны с входящей в (! (г) величиной у! 7(г), которая согласно(43.42) зависит от чбудушегоэ поведения искомой функции Р(г), Запишем уг! (г) в [гл. х« 606 ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ где Ь„[Р] — постоянная, являющаяся линейным функционалом от Р« 1 Ь,[Р[=2 ~ —.,(1 — Ь.а)««) Р(г)Р(г ) Дг«.
« Тогда уравнение (44.3) с учетом (43.42) перепишется в виде [~'+Ь«[Р=ХЬ„Е„(г), 0(н)= — [)„г*р(г), (44.10) (44.11) Р= А(Р«+~с„Р„) (44.13) где А — нормировочный множитель. Постоянные с„определяются подстановкой (44,13) в (44.11). Учитывая линейность функцйонала Ь«[Р), получаем систему линейных алгебраических уравнений для с„ 2Р с„, [Ь„„,-Ь„[Р„,) [= Ь„[Р,).
Решая зги уравнения и подставляя результат в (44.13), получаем искомое решение. В наиболее важном частном случае одного значения н "='("' ' ") Ь [Р.) (44.13а) Аналогичный метод в принципе можно использовать и в случае других ннтегро-дифференциальных уравнений, например при учете потенциала ф'з (г) 4. Приближение двух состояний и учет сильной связи. Вернемся снова к системе (43.39).
Опустив в ней все члены, включающие Р«. при Г ~ Г„, получим систему из двух связанных уравнений (44. 15) Эту систему часто называют приближением двух состояний. Первое приближение искаженных волн получается отсюда, если предпо- ') То есть является интегральным оператором типа Вольтерра. причем постоянные Ь„предстоит еще определить. Оператор а' в (44.11) отлнчаетса от с заменой У«гт (г) на Уг) (г) — г"ь„. Пусть теперь Р, и Є— решения не связанных между собой уравнений [Х'+й«[Р,=0, [т+Ь'[Р„=0„(г). (44.12) Хотя эти уравнения также являются интегро-дифференциальными, но согласно (44.9) оператор й' не зависит от поведения Р (г,) при г, > г ') Численное решение таких уравнений осуществляется теми же методами, что и в случае обычных дифференциальных уравнений.
Эти методы хорошо изучены, и подобная задача является сравнительно несложной при использовании электронных счетных машин. Если Р, и Р„(удовлетворяющие тем же начальным условиям, что Р) найдены, то решение уравнения (44.11), а следовательно и уравнения (44.3), представляется в виде э 44) 607 пгивлижвнныв методы пожить, что связь упругого рассеяния с неупругим слабая, и опустить правую часть в первом уравнении: л1 7(7 1 1) лг1 г1 — иг+ й* Ег,=О, ь=иь,л ) (44.16) Можно показать, что при этом ! Р— Тгг, = — — ~ Е (т(т, Ег, ((г (Г+ Г,).
а Ег,= Ег„ (44.17) Этот результат совпадает с первым приближением метода искаженных волн (44.1). В тех случаях, котла по тем или иным причинам можно ожидать наличия сильной связи между упругим и неупругим рассеянием, необходимо решать систему (44.15) точно. При этом Тгг, уже нельзя выразить в виде интеграла, включающего решения однородных уравнений. Лля определения Тгг нужно найти фазы двух точных линейно независимых решений системы (44.15). Такие решения имеют разные значения логарнфиической производной при г= О, а при г оо имеют вид Е --А; з1п (й)г — — ' -(-)1; ) и Е;--В; з!п '()г(г — — ' -)- $(), (44.18) Уравнения сильной связи (44.15) также можно решать с учетом и без учета обмена методом, аналогичным изложенному в предыдущем разделе.
5. Учет поляризации. Во многих случаях первое приближение метола искаженных волн оказывается недостаточным и необходимо принимать во внимание поляризацию атома. Как было показано в разделе 5 й 43, это можно сделать, либо сохраняя представление искаженных волн, либо переходя к представлению уточненных упругих волн. В первом случае к матричному элементу Т„„, добав- (1) ляется поляризационная поправка в виде Ь Тгг, = — — ~ Ег)'гг,Ег,(уг. (44. 21) а где 1=О для Ег, и )=1 для Ег. Составляя линейну)о комбинацию этих решений и используя (43.46), получаем (44.! 9) А йв-(им+6) Д Д.-((ч~+(.) ' р 1е — 1 гч А,й, а(п (гь — 1,) (44. 20) А 6 -((ъ+(0 л 6 -((ъ+!.) 608 [гл. х) Возвуждение атомов Отметим, что величина Л Тгг, комплексна.
Однако в случае упругого рассеяния достаточно знать модуль ЛТг,г„ так как разность фаз уф, и ТтТг.г, равна фазе упругого рассеяния т), в нулевом приближении: (1) е че ( Тг,г,= Тг,г,+ЛТг,г,=е(м гйп)),— — ~ Рг,рг,г,Рг,ИГ, (44.22) п ч где Г' = е-(ч Р. Во втором случае функция, описывающая упругое рассеяние, уточняется путем решения радиального уравнения Шредингера с поляризационным потенциалом т'аг [.2' — 2' +й'1К =0 (44. 23) Сечение упругого рассеяния выражается непосредственно через уточненную фазу рассеяния (а не через радизльный интеграл типа (44.21) с Г=Г,).
Уточнение матричного элементз неупругого рассеяния разбивается при этом на два этапа. Во-первых, матричный элемент вычисляется по уточненным упругим волнам чт г, Тг„ и, во-вторых, вычисляется поправка непосредственно за счет недиагонального поляризационного потенциала. Заметим, что роль первого эффекта в представлении искаженных волн отражается лишь членами высшего порядка в (44.20).
Как было показано в конце раздела 5 2 43, в приближении двух состояний эта поправка обращается в нуль. Сколько-нибудь общего обсуждения свойств поляризационного потенциала и характера поляризационных поправок до настоящего времени не проводилось. Поэтому мы не будем здесь выписывать довольно громоздкие общие выражения для Ьгг, или 7 'гг, через радиальные интегралы. В практических расчетах всегда приходится использовать приближенные выражения.
Обычно ограничиваются членом второго порядка, с которого начинается разложение ртг и T~гг, (напомним, что Ргг. =T гг,). Однако и такое пРиближение оказы,Лв) .(г) вается слишком сложным. Ниже мы коротко остановимся на важном частном случае: диагональном потенциале второго порядка без учета обмена'). Будем обозначать его 9"г. Согласно (43.63), (43.64), (43А1) ядро 7"г(г, г') определяется выражением У'~г(г, г ) =~~'~~ агг,аг,гуй,(г) Ог,(г, г')у),)(г').
(44.24) г ') Более подробное рассмотрение см. в статье Л. Вайнштейна. 6 44) 609 пРиБлиженные методы Заметим, далее, что роль функции Грина Ог, в подобных выражениях в основном сводится к «размазыванию» взаимодействия по сравнению с чистым одночастичным. Чтобы качественно описать это размазывание, можно ограничиться борновским приближением с 1, = О, так как оно определяется главным образом энергией виртуального состояния Г,.
Поэтому заменим Ог, в (44.24) на функцию (ср. (43.50), (43.57)) Оа (г, т') = — — (еы ' ' " 1 — е 'ь ' "" '1 (44.25) 1 2а, при Ф',>О. Если й,(0 (энергетически недостижимый виртуальный уровень), то Ом переходит в Ое,(д,= — й,): Ое г,т, т')= — — (е е 1' ' 1 — е-"1'+" 1~ (44.26) 1 2~~, После подстановки этих функций в (44.24) вся зависимость от 7, и С, входит в коэффициенты пггг Лля упрощении дальнейшего обсуждения целесообразно выполнить усреднение по А„ после чего суммирование по 1, возможно аналитически.
В результате получаем уга (г, г')=~~' а ' уй,(т) Оа,(г, г')усг(г'), (44.27) а, 1 О»,— — — 6(г — т'), е„,=в,— вач аа, (44. 28) (ср. с (42,52)). При этом У~ становится локальным потенциалом; используя (43.62), получаем а ута, (г) = — ~~',~ — "' [уп, (г)1'. (44. 29) а аа, 1 Из (44.29) нетрудно получить предельное выражение для гзг(г) при г — 0 и г — сю. В первом случае отличен от нуля член с х =О, т.
е. 7, = 7, 7., = 7., е,",, =- 1 и г «(0)= —,5 —, (2 т а г(т) 2~ ° а аа, а (44. 30) где е„, — коэффициент в силе линии мультипольного перехода порядка х — определяетси формулой (32.51) (см. также 42.24)). дальнейшее упрощение потенциала 7"г возможно, если перейти к так называемому адиабатическому приближению. Почти во всех практических расчетах, выполненных до настоящего времени, использовалось именно это приближение. Оно получается из (44.27) в результате замены [гл. х~ б10 возвужденив атомов При г — оо основную роль играет член с к=1, т, е. 1,=1-(-1.
Из асимптотического поведения интеграла у)к(г) имеем Ь ~~ч 4У„ (г)-- — —, Ь= Ъ' а г'' ~ '(е )'' а, аа (44.31) где Ь вЂ” полярнзуемость атома, а у„ — сила осциллятора дипольного перехода. В практических расчетах часто используют простой поляризационный потенциал вида (44.32) ваа — в„, ') Ож (г, г') пг'= — "'(1 — е-ч ')~1. (44 33] о Первое обстоятельство приводит, в частности, к значительному увы личению роли осцилляций волновых функций, что может уменьшить поляризационную поправку. 6. Краткое обсуждение результатов расчета сечений возбуждения атомов. Имеющиеся в настоящее время экспериментальные и теоретические данные по эффективным сечениям возбуждения атомов не позволяют провести сколько-нибудь полное сравнение результатов тех или иных приближенных методов с экспериментом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
