Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 103
Текст из файла (страница 103)
! — метод Борне, т — метод нехеженных волн бее обмене, Л вЂ” метод искаженных волн е обменом. Š— второе приближение метода Берне, 3 — енепернмент (Ю. Р!! е, Н. З1 е Ь. в~псе, Н, Втееятеп, рите. цет. ЕШ, Збб, Обях связи весьма актуальна разработка новых методов, в которых возмущение движения атомного электрона учитывалось бы уже на первом этапе вычислений (см. 9 46). 7. Упругое рассеяние. Верхняя граница длины рассеяния. Задача об упругом рассеянии электронов во многих отношениях существенно проще задачи о неупругом рассеянии. Прн решении этой задачи можно использовать ряд специальных методов.
В свою очередь радиальные функции упругого рассеяния используются прн решении многих других задач, в частности, прн вычислении эффективных сечений неупругих столкновений, а также сечений радиационных переходов с учетом состояний непрерывного спектра. Прн решении задачи упругого рассеяния широкое применение нашли варнацнонные методы Кона, Хюльтена, Швннгера н др.
'). В этих методах выбирается некоторая пробная волновая функция Ч', в аналитической форме с несколькнин параметрами, которые ') Изложение н обсуждение варнзцнонных методов см. Ю Н. Д емк он, Варнацнонные принципы в теории столкновений, Фнзмзтгнз, 1958. 9 44) 617 пРиБлиженные методы определяются из условия экстремума функционала 5 ~ Ч" ! (Н вЂ” Е) Чг г с(т = О. (44.37) Часто в число параметров входит также фаза рассеяния. В настоящее время наиболее интересным применением вариациониых методов является решение общего уравнения Шредингера с неразделенными переменными '). При этом пробная функция включает расстояние между электронами гпг Это позволяет приближенно учесть эффекты корреляции движения электронов.
Вариацяонные методы используются также для решения ряда общих вопросов теории столкновений. Так, с помощью вариационных методов удалось доказать очень важную с практической точки зрения теорему о верхней границе длины рассеяния '). Можно показать, что в отсутствие дальнодействуюгцих взаимодействий типа г " при малых значениях волнового числа й имеет место разложение й~!85„= — + — ' lг'+..., (44. 38) а (О) = 4ста+. (44. 39) В случае рассеяния электронов на нейтральном атоме при г — со остается только поляризационный потенциал, который убывает как Хотя в этом случае разложение велячнны й сгя 5, при малых !г отличается от (44.38) (появляется член, пропорциональный й, изменяются выражения для коэффициентов разложения ')), оно тем не менее по-прежнему содержит постоянный член. Поэтому формула (44.39] остается справедливой.
Общая формулировка теоремы о верхней границе длины рассеяния довольно сложна. Поэтому ограничимся указанием лишь некоторых частных случаев. ') В прошлоь| вариациоииые методы широко использовались также для рсшения радиальных уравнений Теперь это направление стало менее актуальным, так кэк с появлением электронных счетных машин задача численного интегрирования обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений стала сравнительно несложной. ') 1.. 5 р г и сй, 1.. й оэ си Ьег 5, РЬуэ.
йеч. 116,!034, !959; 117, 1095, ! 960. 1) 1.. 8 р г и с Ь, Г. О' М а ! ! е у, !.. к о э е п Ь е г 5, Рпуэ. Кеч. 1,а11егэ 5, 575, 1960. где 5,— точная фаза рассеяния для г-волиы. Величины а и г, называются соответственно длиной рассеяния и эффективным радиусом взаимодействия. При 71 = О рассеяние определяется э-волной. Поэтому из (43.20), (43.66) и (44.38) следует: 618 (гл. х~ вознуждинне АтОмоВ 1) Если система из нейтрального атома и внешнего электрона не обладает связанными состояниями данной симметрии '), то длина рассеяния, вычисленная с помощью вариационного метода Кона или метода Хартри — Фока, является верхней границей точного значения аз. 2) При наличии одного связанного состояния свойством верхней границы обладает величина а', вычисляемая с помощью волновой функции Ч =Чг,+Ьи„ (44.
40) где параметр Ь определяется тем же вариационным методом, Чг,— исходная пробная функция (метода Кона или метода Хартри — Фока) и 7.), — приближенная волновая функция связанного состояния. Последняя должна быть достаточно точной, чтобы обеспечить собственное значение в(0. Таким образом, ряд приближенных методов дает длину рассеяния, которая заведомо не ниже точного значения. Это обстоятельство очень полезно при сопоставлении результатов расчетов различными методами. Рассмотрим в качестве примера упругое рассеяние электронов на атоме водорода. Поскольку отрицательный ион Н (связанное состояние системы) не имеет триплетных уровней, методы Кона и Хартри — Фока дают верхнюю границу а . Ощенкн показывают, что то же относится и к ае, хотя при о = 0 известно одно связанное состояние.
В таблице 91 сопоставляются результаты вычислений разных авторов. В столбце ЮМ приведены значения аа, полученные методом Кона, причем в пробную функцию вводились члены типа е " *'). Результаты следующего столбца (ВО/о) получены также методом Кона, но с использованием линейных членов типа сг„'). Как видно, функциям первого типа следует отдать предпочтение.
В той же таблице приведены значения аа, полученные путем численного интегрирования уравнения (43.65) без потенциала У" (т. е. в приближении Хартри — Фока) и с использованием приближения (44.32). Как видно, учет поляризации даже в сравнительно грубом приближении (44.32) приводит к существенному уточнению результатов по сравнению с приближением Хартри — Фока. Следует, однако, отметить, что решение уравнения (43.65) с таким потенциалом уже не удовлетворяет теореме о верхней границе, так что значения аз, приведенные в последнем столбце, отнюдь нельзя считать более точными, чем результаты первого столбца.
') Например, в схеме 7.8-связи при заданных значениях полного орбитального момента системы 7 г и полного спина 8г невозможно образование отрицательного иона. ') Е козепьегя, Ь 8ргнсЬ, Р 0'Мв))еу, РЬуз. меч. 119, 184, 1980. ') В. Вгапзбеп, А. ))а)яагпо, Т. Зоьп, М. 8еа1оп, Ргос РЬуз. Вос. 71, 877, 1988. З 441 6!9 пгнвлижвнныв методы Таблица 9! Значения длины рассеяния нри Ят — О(а ) н Зт=!(а — ) Расчеты эффективного сечения упругого рассеяния электрона на атоме водорода при )!)О показывают, что полярнзационный потенциал играет существенную роль вплоть до энергий порядка 6 — 8 эа.
Однако сопоставление с последними экспериментальными данными заставляет полагать, что выражение (44.32) в случае р-волны приводит к заметному завышению роли поляризацнонных эффектов. 8. Тормозные переходы в поле нейтрального атома. В этом разделе будут рассмотрены некоторые особенности приближенных вычислений эффективных сечений тормозных переходов в поле нейтрального атома. Перепишем формулу (34.43) для эффективного сечения тормозного поглощения, используя обозначения, првнятые в настоящей главе: [44. 4 ! ) о = и + и Вп'а', Гг', — л; пх = — ' ' ' ес ~~~~ Т)1,„0', 0 =) Р,(г) Г,(г) гг)г, (44.42) аза 7.7ныс ч 23+1 ! еа =2(23,+!)' = ~ 2 ' где в„ А, †волнов чнсла электрона в начальном н конечном состояниях; 7,„ — наибольшее из чисел 1„ 7,; г,(г), г,(г) — радиальные функции упругого рассеяния, нормированные условием г(0) =О, г(г)--е" в!и (лг — —,+ т)) (г- оо). (44.43) !н 2 Прн г со Р, н г", ведут себя как аш(7сг )-т)).
Поэтому радиальный интеграл о в (44.42) расходится. Эта расходнмость, однако, не имеет физического смысла, так как расходящиеся члены имеют вяд б Й, ~ )с,). Поскольку л, + 7с, (при 7с, =л, энергия нспущенного нлн поглощенного фотона равна нулю), зтн расходящиеся члены можно опустить. Таким образом, задача состоит в вычислении той частя радиального интеграла, которая остается после выделения расходящихся членов. 620 (гл.
х! возвхждинии атомов Наличие расходимости существенно усложннет вычислении, так как непосредственное численное интегрирование при вычислении оказывается невозможным. Выделение расходянсихся членов доли<но выполняться аналитически. Рассмотрим в качестве иллюстрации к сказанному переход г — р-электрона в поле атома (1, =О, 1, = 1). При очень малых энергиях этот переход дает основной вклад в сумму (44А2). При малых энергиях искажение р-волны полем атома незначительно. Предположим поэтому, что функция г, является функцией свободного движения, а в качестве г, возьмем асимптотическое выражение Р, = й,гl,(й,г), Р. = и!п (й,г + Ч,), (44.
44) где 7',— сферическая функция Бесселя первого порядка. Подставляя (44.44) в (41.42) и интегрируя, получим Е= —, Ч, ~ — 6(й,— й,)+6'(й,— й,) — а — 6(й,+й,)+6'(й,+а,)~+ н г! 1 3 1 1 ! 1 + —, Ч. (, „„+, (а+а)+(л л),+(9+9).]. Опустим, далее, все члены с функциями 6 и 6' и приведем подобные члены. Посла этого (для а — р-перехода) 2Л' 1 0= (л, ь О (44.
45) Таким образом, в использованном приближении после выделения расходимостей о выражается через фазу рассеяния. Отсюда получаем приближенное выражение лля сечения тормозного поглощения 32п'а,' св Л', и (н1 но) з!п Ч 3 от (7г,). Зс 1 а (л~ л~) ) упр (44. 46) ') Выражения типа (44.46) получены в работах: О.
Ф и р с он, 61. Ч и- бисов, ЖЭТФ 39, !770, !960; Т. О'ив~ ига, Н. О 6т ига, Аа1гор!1уа, 3. 131, 8, 1960. Здесь о+ (й ) — сечение упругого рассеяния для падающего электупр о рона с 7 =0'). формула (44.45) годится только для г — р-перехода. В случае р — а-перехода она приобретает вид юг' (44 А 7) (Л1 — да)' 44) 621 пгивлижвнныв методы Использованное вып!е приближение (44.44) весьма грубо, поскольку совершенно не учитывается фаза р-волны и предполагается, что асимптотическая форма для в-волны имеет место при всех г. Если не делать этих допущений, то радиальный интеграл 0 при произвольных 1, и 1, можно представить в виде сов(Ч,+Ч,') ) ! 1,(1,+!) 1,(1,+1)1 сов(Ч~ — Чю) ( 1 !в(!в+1) !1(1,+1)1 Л= )~ ~Р,(г) г,(г) — в)па,в!па,— сова, в!па,— в(я+ ) а ог (44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
