Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Сравнивая (41.35), (41.36), нетрудно видеть, что наличие рассеивающего потенциала У(г) приводит к появлению в аргументе синуса дополнительной фазы Г т),= ) )/ 2)тгг '~(Š— с/(г)1 — (1+ 2) г Г~ — ) )/ 2)гЬ 'Š— (7+ 2 ) г дг, (41.37) т которая может быть отождествлена с фазой рассеяния. Можно показать, что квазиклассическое приближение дает хорошие результаты при вычислении эффективного сечения упругого рассеяния при условии, что в это сечение дает существенный вклад большое число парциальных волн фп Это означает, что в сумме по 7 (4!.19) основную роль играют члены с большими значениями 1. Нетрудно видеть, что при больших значениях 7 нижние пределы интегрирования в (41.37) также велики: й й Уйр(Š— и) ' ' У2 Е $41) ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ Если ~У(г)~ убывает при увеличении г настолько быстро, что для всей области интегрирования выполняется условие (У(г) (( Е, (41.
38) то г, г, 1л ', где Ьв=)Г29Е=(АО и ри(.) и. т)! ~ )(а~ а» (1+ 1) (41.39Р В квазиклассическом приближении момент количества движения частицы равен )гОЕ, где Š— прицельное расстояние, поэтому Ь)l'1(1+1) = Ь| =)аОЕ и 1= -~-Е=лЕ. (41 40) Подставляя (41.40) в (41.39), получаем Если, далее, при вычислении т)(е) заменить действительную траек- торию частицы на прямолинейную г* =Е*+О*(*, ' = — Е и (41.42Р Ф О т)(Е) = ~ ~ (~Ф Е +О 1 )В~1= — у ~ (у()' Е +О~а~) г(1. (41.43). Юс Легко проверить, чтодля поля ~l(г)= — „формула (41.43) дает тот Йс же результат, что и формула (41.39).
Подставляя У(г) = — „в (41.39), (41.43), нетрудно получить (41.44) (что, очевидно, также эквивалентно условию (41.38)), и перейтв к интегрированию по пг', то [гл. х~ 566 ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ )(9)- ~2) (41.45) глтл-ю 1 йь Поскольку ~т) = — „,, — =и, 2Т), =т)(9). Заменим суммирование по 1 в (41.19) интегрированием по Для суммы †, ~яр~(2!+ !), распространенной на интервал значений Д7, имеем л. ~',(2!+-1) — †, 6У вЂ” 2пй г19, (41.46) поэтому а = 4п ') 11 — соз т) (9)~ 9 т(9. (41. 47) Применив формулу (41.43) к рассеянию некоторой частицы на атоме, можно дать простую интерпретацию квазиклассической фазе рассеяния.
Упругое рассеяние на атоме в а-состоянии определяется потенциалом с7„„(г), который является результатом усреднения энергии взаимодействия атома с возмущающей частицей по сьсостоянию. Но (7,„есть ни что иное, как поправка к энергии а-состояния ЬЕ,, обусловленная взаимодействием с рассеиваемой частицей. Следова. тельно, 2т), = т) (д) = — ~ АЕ, (1) г(1. л (41.
48) Другими словами, в квазиклассическом приближении удвоеннач фаза рассеяния на атоме равна интегралу (по столкновению] от сдвига атомного уровня. В свете всех этих результатов становится понятной связь теории уширения спектральных линий и общей теории рассеяния, установленная в з 37. Как это уже отмечалось выше, квазиклассическое приближение справедливо в тех случаях, когда существенный вклад в сечение дают парциальные волны с 1>> 1. Это означает, что прицельные расстояния д, для которых еще имеется значительное взаимодействие, должны удовлетворять условию е» вЂ” =х, 3 (41.49) ми где Х вЂ дли волны де-Бройля.
Заметим. что если рассматривать рассеяние на некоторый определенный угол 8, то в дополнение к (41.49) необходимо, чтобы не- 2 41) 567 ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ определенность в поперечной составляющей импульса Ьр( была бы мала по сравнению с рг -рй и одновременно Ьй((д. Поскольку й Ъ 7)Р1 — )) †, получаем ба О е⻠— =)(. й 1АО (41,50) Условие (41.50), очевидно, автоматически обеспечивает выполнение (41.49). Его можно переписать также в несколько иной форме.
Поперечная составляющая импульса по порядку величины равна произд(т й ведению силы — — на длительность столкновения —. СледовадЕ з ' тельно, — (<~ — ~ — или ~ — ~О >)ЬО. (41.51) Если ~с7(г)~ убывает с увеличением г не очень быстро, например, по закону г , где л невелико, то ~ — ~ О су(й) и (41.51) принимает -н !дУ~ ~до ~ вид (7(Е) >) — ° е' - (" — '") ф = ~ (гр' + <р") -- —.~ ~~' 1' (21+ 1) Рг (соз 5) ~ — + ~ (А -~') ,е й + е-'й е'гж где р,~0.
Сравнивая это выражение с (41.17), получаем 7 (5)=2д~~' (27+1)~е *~'+*"~ — 1~Р,(сов 5). (41.53) (41. 54) 4. Неупругое рассеяние. В общем случае, когда имеет место как упругое рассеяние, так и неупругое, т. е. поглощение частиц или изменение нх энергии (за счет передачи энергии рассеивающей системе), волновая функция, помимо падающей плоской волны, должна содержать целый ряд расходящихся волн, соответствующих различным типам или, как говорят, каналам рассеяния. Если раньше в случае чисто упругого рассеяния интенсивности сходящихся и расходящихся парциальных волн (йволн) были одинаковы, то теперь интенсивность расходящейся волны, описывающей упругое рассеяние, должна быть меньше, чем сходягцейся. Учитывая это обстоятельство и используя (41.17), волновую функцию ф, описывающую упругое рассеяние, в общем случае можно записать (для больших г) в виде 668 (гл.
х~ возвьждзнив атомов Это выражение отличается от (41.15) только тем, что вместо действительной фазы г), входит комплексная т)г +1рг. Из (41.7) слелует о„„= —,~ (21+1))1 е-'~~+г и)'. ! (41. 55) С помощью (41.53) можно найти также эффективное сечение меупругих столкновений. Согласно (41.53) за 1 сек в сферу достаточно большого радиуса входит ) и ) й~,' )'г' г(О = о —, (21-)- 1) (41. 56) частиц и выходит и! ~р," 1'г* юг в —,(21+1) ( е ю~+ мгн (' (41.57) "-й частиц. Разница между этими величинами, очевидно, дает число частиц, претерпевающих неупругое рассеяние Ф п(21+ 1) (1 — ~ а-азг+ым Г).
(41. 58) о„, „= —,~~' (21+1)(1 — )е '~~+ма~)')= — ~' (21+1)(1 — е 'А), (41.59) л также полное сечение а =и „„+ а„,,„= —,,5 (21+ 1) (1 — е ™и соз 2г),). (41.60) При Р,=О формула (41.55) совпадает с (41.19) и п=о „. При р, = ос (е-'д =0)п, „=и,„,, = — „,(21+1). Сравнивая это выражение с (41.56), нетрудно заметить, что —,(2!+1) есть число частиц с моментом У, падающих на рассеивающий центр за 1 сек, если пучок нормирован на единичную плотность потока.
Выше было покал ч-ч вано, что при больших ! —, г (21+1) 2пйс~й, т. е. в терминах И классической механики — (21+ 1) — поперечное сечение пучка частиц У с угловым моментом !. Просуммировав это выражение по У и поделив на плотность потока шадающих частиц о, получим полное сечение неупругого рассеяния 569 $42) ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА (41. 61) Из (41.61) следует, что парциальиое эффективное сечение. неупругого рассеяния не может превышать максимального значения йт(2!+ 1). Отметим, что неупругому рассеянию всегда сопутствует УпРУгое. Если е-пиф1, то пРи любом значении нщ включаЯ У), =О„ и -с.О, й 42.
Приближение Бориа 1. Применение теории возмущений к задаче о рассеянии. При выполнении любого из двух условий !и(г) ~<< — „,, В (42. 1) или ! и(ги<<— Ь (42. 2) взаимодействие У(г) в уравнении (41.4) можно рассматривать как малое возмущение. В этом случае оказывается возможным получить простые общие формулы для эффективных сечений упругого и неупругого рассеяния, не прибегая к разложению на парциальные волны ф,. Действительно, выписав по общим формулам теории возмущений вероятность перехода, вызываемого взаимодействием 0(г), и поделив ее на плотность потока, мы получим эффективное сечение интересующего нас процесса. Это приближение годится, очевидно, не только для центрально-симметрических взаимодействий.
Согласно (42.2) борновское приближение применимо при любых взаимодействиях, если скорости возмущающих частиц достаточно велики. В дальнейшем для определенности мы будем говорить о рассеянии на атоме (это не ограничивает общности рассуждений, так как все результаты можно распространить и на ионы), причем сначала рассмотрим переходы между состояниями дискретного спектра. Согласно известной формуле теории возмущений вероятность перехода атома между состояниями дискретного спектра ап; а, сопровождающегося изменением волнового вектора возмущающей С помощью формул (41.55), (41.59) и (41.60) легко установить пределы изменения эффективных сечений и , о„ и и упр~ ппупр [гл. х! 57О вознгжданиа »томов частицы й, — уг, определяется выражением а Р..; ..=7[у..».::[*б(8 — 8.) и, (42.3) где и.„м»» =~ф.'(г,)ф„(г) и(г;, г)ф.(г!)ф,(г) [г [т= = р~ ф' (г) и . (г) ф (г) тг, Сг„,(г) = ~ ф,' (г,) И(г!гЯ,(г,) г[т, (42.4) (42.5) ял»* 8 = Е + †'; 8 = Е + — ; ф , ф †атомн волновые функции; го зр ' а зр а»' а г,.
— координаты атомных электронов; ф»„ ф» †волнов функции свободного движения возмущающей частицы. Волновая функция конечного состояния ф» должна быть нормирована на б-функцию б(уг — уг'), т. е. ф» =(2п) ' е'»'. Волновую функцию ф», начального состояния удобно нормировать на единичную плотность потока ! ф»,= — ег»", так как в этом случае дифференциальное эффектная и ное сечение г!о совпадает с г[В' (ср.
З 34). Подставив в (42.3) 6 (8 8») = — б (!г ~I (Еа Е») + !а~~) - /гтр и интегрируя по »(!а, получим -!» -»)г ($ ~[па»м а» Ина»; а» (42.7) »'ао» а~но, Это соотношение является частным случаем принципа детального равновесия, с которым мы уже неоднократно встречались в э 34. 2. Столкновения быстрых электронов с атомами. Разложение по мультиполям. Для применимости борновского приближения к электронам достаточно, чтобы скорость налетающего электрона была велика по сравнению со скоростями атомных электронов. При где л'= —" (Е, — Е,)+й,'.
Формула (42.6) носит название формулы Бориа. Случай а,=а, 7г,=л соответствует упругому рассеянию; случай а,-Й а, Й, „— Й!г — неупругому. В случае упругого рассеяния л,=( формула (42.6), как это и должно быть, совпадает с общей формулой для с(п, если в нее подставить первое приближение для амплитуды рассеяния (41.33). Сделав н (42.6) замену а, а, л, л, получим 57! 9 42) ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНЛ рассмотрении столкновений с электронами можно принять, что система координат с началом отсчета в центре атома совпадает с системой координат центра инерции системы, н положить 1г =ло, где иг — масса электрона. Энергия взаимодействия налетающего электрона с ядром н М-электронамн атома Имеет вид (в случае иона МфЕ) ло (7 2ео+ ~ е' (42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
