Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Мотт и Г. Месс и, Теория атомных столкновений, ИЛ, 1951; Г. Месс н и Е. Б а р хоп, Электронные и ионные столкновения, ИЛ, 1958 (Л.Л.); Ю. Н. Д ем к о в, Вариационные принципы в теории столкновений, Фнзматгнз, 1958; Г. Ф. Д р у к а р е в, Вестник ЛГУ, серия матем., фиэич. и хим., № 8, 153, 1953: Г. Месс и, УФН 64, 589, 1958 (см. также цитирован. ную выше книгу Месси н Бархана); О. В а ! е з, А. Ри об а гп ! пз !ту, Н. Маззеу, Л 1.ееси, Р!Н!.
Тгапз. Коу. 5ос. 243, 93, 117, 1950; М. Беа. !оп, Кеч. Мод. Рйуз. 30, 979, !958. э 41) 559 ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ф ЕГАЕ + Епж 7 (в) г (41.5) Согласно (41,5) число частиц, рассеиваемых в 1 сек в элементе телесного угла ~Ю, равно 'иг'г(О~ — ) ага'~ =О17 (0) (*иО. Г (41.6) О~сюда для дифференциального эффективного сечения рассеяния получаем (О=~У(5) ~*ао.
(41.7) Таким образом, задача вычисления г(п состоит в нахождении функции 7 (5), которая называется амплитудой рзссеяния. Разложим плоскую волну е'А' по сферическим функциям. Это разложение имеет вид егь' =- ~ 1'(21-1-1) Р,(соя 5)А(лг), (41.8) г=ь где /,(лг) — сферическая функция Бесселя А(йг) = ~у' — „", у (йг). 3 (41.9) Е, †энерг движения системы как целого, Š— энергия относительного движения. Уравнение (41.3) является уравнением движения центра инерции системы (движение частипы с массой (т, +лг,) и импульсом Р=р, +р,).
Это уравнение, очевидно, не имеет отношения к рассеянию частиц. Уравнение (41.4), описывающее относительное движение частиц, представляет собой уравнение для частицы с массой р, движущейся в поле (7(г). Рассеяние частиц принято характеризовать отношением числа частиц, рассеянных в элементе телесного угла йО в 1 сан, к плотности потока падающих частиц, т, е. к числу частиц, падающих в 1 сек на площадку в 1 слг'.
Это отношение г(а имев~ размерность площади и носит название дифференциального эффективного сечения рассеяния. Пусть частицы падают на рассеивающий центр вдоль оси г со скоростью и. Свободное движение таких частиц описывается волновой функцией тр = еы', к = — = и . Эта волновая функция норми- Р )АО $ Ь' рована таким образом, что плотность потока равна О(еь' ('=О. Рассеянным частицам вдали от рассеивающего центра соответствует расходящаяся сферическая волна — е' ', где угол 0 отсчитывается 7(е) 2 от направления оси л.
Поэтому на больших расстояниях [гл. х! 560 Вознужденив АтОИОВ Для больших значений г !л! 51П (ВГ У1(йг)- 2! (41.10) поэтому — 1[Ь вЂ” — ') ф ег"'+ — е"= — —., ь ! (2!+1) Р,(соз0) у[а) . е + 2!й ~' Г + 2!й ) гу1 (2[+ 1) Р1 (соз О) + 2!йу (О) ~ †. (41 11) —, — ~ г* — ) —, !у+ — [Š— [у(г) [ Й =О, (41.12) имеет вид ') !л И а1п йг — — +1!1 ) 2 ( 2 л (41.! 3) Фазы т)1 в асимптотических выражениях для функций !са! определяются видом потенциала во всей области О = г ~ оо. Для определения этих фаз необходимо найти решение уравнения (41.12).
Очевидно, что волновые функции (41.5), как и любое другое не ззвисящее от угла 1р решение уравнения (41.4), можно представить в зиле !л Гл ! ' (е --+ч ) ф = ~~~~ А,Р, (соз О) )/ — — У[а1 (г) - ~ А,Р, [соз О) 2 е'аг а егы -1Ч11.!в — А,Р,(соз0)е ' — —.„~ А,Р,(соз0)е '. (41.14) 1 1 ') Мы предполагаем, что при увеличении г [! (1) убывает быстрее, 1 чем —, В случае кулоновского поля в аргументе синуса появляется до- 1 полнительный член — 1п 2йг. Обобщение всех результатоа на этот спепиаль- й ный случай не представляет труда [Л.
Л[. С другой стороны, уравнение Шредингера для частицы в центрально- симметрическом поле имеет решения Йа1(г) Г1„(0, 1р), причем при больших значениях г радиальная функция гга1, удовлетворяющзя радиальному уравнению 561 9 41) ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ Сравнивая (41.11) и (41.14), получаем А,=с'(21+1)е ч! и у(6) = —.. ~~о (21-)-1) (е' чс — 1) Р, (соэ 6), (41.15) ! ф= ~l — — ~сч(21+1)е'чсР,(соэб)стас(г).
(41.16) с Формула (41.16) позволяет выразить амплитуду рассеяния у(6) через фазы о)„которые носят название фаз рассеяния. При больших г -с(А с") ! (А — !— ") ) о -,', т. 'сосо ~со,с-. о! ( — * о"" ' с (41.17) Каждый член суммы по 1 о)с=~И~,'о(сс соответствует частицам с угловым моментом !. Из формулы (41.17) видно, что функция ф, представляет собой суперпозицию сходящейся и расходящейся сферических волн равной интенсивности. Отличие (41.17), и следовательно (41.5), от функции свободного движения е'"* заключается лишь в множителях емч! в амплитудах расходящихся волн. Равенство модусл сп) ехр — с( Лг+ — )1 ехрс (Ссг+ — ) 2 2 лей амплитуд при членах ~ ..
и свяг вано с тем, что в результате упругого рассеяния число частиц с заданной энергией и заданным угловым моментом не меняется. Подставим (41.15) в (41.7) и выполним интегрирование по углам. Поскольку Рс(созб)Р! (Соэб)айпбй= бп, (41.18) 2 о для полного эффективного сечения упругого рассеяния получим о = у ~~ (21+ 1) Рйп 'о)с. (41.19) с=о Сравнивая (41.19) с (41.15), нетрудно заметить, что эффективное сечение рассеяния можно выразить через амплитуду рассеяния вперед ДО), а илсенно и = — ! ш г" (0) = — ™ (у (0) — Уч (0) ).
(41.20) Соотношение (41.20) носит название оптической теоремы. Оно имеет общий характер и справедливо также в общем случае нецентоального поля. 562 [гл. хс ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ Приводимые выше формулы для сечений относятся к системе центра инерции сталкивающихся частиц. Не представляет труда перейти к так называемой лабораторной системе, в которой частица с массой тс до столкновения покоитси. Полные сечения в обоих системах одинаковы ас = а. 2. Волновые функции ф»+, ф„—.
Формулу (41.16) легко обобщить на тот случай, когда падающие на рассеивающий центр частицы д движутся по некоторому произвольному направлению п= —. Лоста» ' точно заменить в этой формуле угол 0 на 5„,=0»,. Обозначим полученную таким образом функцию через с[с+с с[с»+ = '~с — — ~~'' с (21+ 1) е'~с Рс (соз 5»,) )Ас»с (г). (41.21) Функция (41.21) при больших значениях г представляет собой суперпозицию плоской волны ес»', распространяющейся в направлении й, и расходящейся волны ф+ ес»с + ес»с (41. 22) Волновая функция (41.5) является, очевидно, частным случаем (41.21), (41.22) при 1с„= 1с, =О, й, Ф О.
Заменим в функции ф„+ множитель е'~с на е "с и обозначим полученную функцию через ф»-. Тогда ф- — Т/" 1 хс с'(21+1)е ~сРс(соай»,))сс»с(г) Г 2 Сс х.ы ! -с (е.- ' —,') с (»,— '-") -- —. ~~ с'(2!+ 1) Р,(соа5»т) ( — е ' ~с + ! (4!.23) или »[с -- е'"' + ' †) е с»'. с (а) (41.24) Следовательно, функция с[с- при больших значениях г представляет собой суперпозицию плоской волны ес»' и сходящейся волны. Эта функция, так же как и ф+, удовлетворяет уравнению Шредингера (41.4).
Нетрудно показать, что волновые функции ф»+, ф- нормированы условием ~ (ф+)* ф+ с(г = ~ (с[с»)* ф„-, с(г = (2п)' 5 (й — й ). ( 41.25) 563 $41) ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ Нетрудно также проверить, что 'ть = (ф+-а)* (41.26) В общем случае произвольного (нецентрального) поля У(г) волновые функции фаг и ф- можно определить и не прибегая к разложению на парциальные волны. Можно показать '), что волновая функция ф, являющаяся решением уравнения Шредингера (Л+й*) ф ='„я и(г) Ф й* ='-,"„—.', и.имеющая асимптотический вид (41.22), удовлетворяет интегральному уравнению ф+ (г) =е'"'+ -аг ') Оа(г, г') У(г') ф+ (г') ~уг', (41.27) где ОА(г, г') — функция Грина для свободното движения.
Эта функция удовлетворяет уравнению (Л+м') О (г, г') =6(г — г') и имеет вид а~а~ -г'1 О (г, г')= —— 4п (г — г'! С помощью (41.26) легко также получить фа-(г) =е'аг+-ф ') О (г, г') У(г') ф„- (г') с(г'. При больших значениях г Е'А~г г ~ ЕСМ а-ш'г' ) г — г' ( (41.28) (41.29) г й' =Й-, 6 =(йуа') г откуда (41. 32) ') См,, например, Л. Ш н фф, Квантовая механика, ИЛ, 1957. (8) 2 Х'- ~ е ' " сг(г) фч (г')гтг'. (41.30) В частном случае центрального потенциала (41.30) в точности экви- валентно (41.21). Если взаимодействие У(г) мало, решение (4!.27) можно найти методом последовательных приближений ф~а = е™'+~;~ Оаа (г, г) Б(г) ецы Иг'+..., (41.31) у(В) =у, (И)+у, (6)+..., 7" (8) = — — "~т ~ е-'а'г У(г) е'аг пг, (41.33) 7,(6) = 4п ~ ~„, ) ~ а-" ' (7(г) Оа(г, г') (7(г ) е'" т(г т(г'.
(41.34) 564 (гл. х~ возьхждвнии атомов Первое приближение теории возмущений (41.33) для амплитуды рассеяния носит название первого борновского приближения, второе приближение (41.34) — второго борновского приближения и т, д, 3. Квазиклвссическое приближение. Как уже отмечалось выше, нахождение точных фаз рассеяния т), в общем случае представляет собой сравнительно сложную задачу, так как требует численного решения радиального уравнения (41.12). Эта задача существенно упрощается в квазиклассическом приближении.
В этом приближении радиальная часть волновой функции И, для частицы с моментом ! в центрально. симметрическом поле Ег(г) имеет вид г и) )с -- — ейп (- - ) р ~й + — 7 = г '(в,) ' 4~= Г г = — з(п ~ у~ $// 2)т(Š— У(г)1 — $ (У+ я ) г от+ 4, (41.35) Г, где р,— радиальная составляющая импульса частицы. Для свободного движения г ( + ) от+ ) (4136) м Нижние пределы интегрирования в (41.35), (41.36) — точки поворота г„г„определяются приравниванием нулю подкоренных выражений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
