Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(26.55) Таким образом, Е,А — Епа =ЬЕК;-Н,(1Е)=, + ! Ку. (26,56) а474Н,(17) Величина Н,(1Е) носит название релятивистской поправки к формуле дублетного расщепления. Значение Н,(1е.) при 1= 1 приводится в таблице 72 (см. также рис, 23).
Для малых значений л Н„(Ы) практически совпадает с единицей, Так, для л = 1, 2, !О значения Н,(!л) соответственно равны 1,0000; 1,0001; 1,0023. При дальнейшем увеличении е. Н, возрастаег, достигая для самых тяжелых ядер значения 1,25. 302 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ [гл. чп где 22г 7Е =[и[ 1ч'а, ' (26.59) у = )гги' — т = Рг[г' — ц'г', 1 /Г (2у -[- а — а+ ! ! 7 22 ') ' . ПГ (2у+ !) У (а — а)!8Л'(1у — х) (,Иа,) 1(1 =- ~ГГ И' — 2 (П вЂ” 7Е) [а — '[Г Пв — я'а'1. (26.60) Прежде всего выясним, в каком соотношении находятся функции (26.57), (26.58) и шредингеровская радиальная функция )с„,(г) нз (2.18).
Положив па = О,и = и= 1, имеем й7= п, у =1 Г(2у+п — [с+1)=(п+1)!, Г(2у+1)=(21)! ! (а+1)! 7 22 ') в и (21)~ (а — 1)!8а(а — 1! 'Ч лав/ (26.61) Кроме того, для функции г(а, р, х) имеет место рекуррентное соотношение г(п+ 1, р, х) — г(а, р, х)= — г(а+1, [)+1, х), (26.62) с помощью которого получаем в Зв (21+!)! г' (а — 1 — 1)!2а(,аа ) (,ла х Г( — и+1-[- 1,21+. 2, — ); /,„(г) — О. (26.63) 22г1 аа„) Рассмотрим, далее, поведение функций в„„, г„„при больших и малых значениях г, ограничиваясь случаем легких ядер .3((137, иЕ((1, М = и — — я'Л'.
2М Сравнение формул (26.57), (26.58) и (26.63) показывает, что во всей области о ) 1 отличие функции ьа„„от 77„, крайне невелико. 5. Кулоиовское иоле. Радиальные функции. Радиальные функции дискретного спектра д„„(г) и /'„„(г), уловлетворшощие системе уравнений (26.46), а также граничным условиям (26.42), имеют вид 17„„(г) = 1 = — С,Рг4п' — гв'У.'е * От '( — (п — а)г"( — и-[-[в+1, 2у+1, О)— +(М вЂ” и] Г( — п+ [е, 2у+ 1, О)), (26.57] в ,г„„(г)= — С,чае ' 'От '((п — а)Р( — и+и+1, 2у+1, О)+ -[-(М вЂ” х) Г( — п-[-7е, 2у+ 1, О)), (26.58) 2 26) 505 центгьлъное поле Отношение ((пл по порядку величины не превосходит и»Я', Такой же порядок величины имеет в этой области и отношение 1»» кп При малых значениях г д„„сгэ ( —,); 7'„„сеэ ( — ); Рс„,сел ( — ) . (26.64) Нетрудно показать, что для состояний 7=1 — —, у=!х!=1 1 2 ' (26.65) также растет с уменьшением г, но медленнее, чем в случае 7=1 — —.
! 2 1 При у= — в обоих случаих 1=0, х= — 1 (состояние е, ) и 1= 1, 2 (х=! (состояние р, ) функции д„„и г„„иллеют особенность в начале координат, поскольку у=!х1(1 —, ) =(1 — — ); у — 1= — —. Такил! Образом, для легких ядер Е((!37 отличие функций»*„» и (д„*„.+~„'„) от (7„'г пренебрежимо мало всюду, за исключением области малых значений г. Для больших значений .е.
(сее ~ 0,5) различие становится более заметным. Расслштрим теперь несколько подробнее область малых значений г. При достаточно малых г во втором из уравнений (26.46) можно е'2 пренебречь членом Е,— Е по сравнению с —, Исключая затем д(г), получаем У»+ —,7'+ ( —,+(1 — у') —,, ~7 =0, 3, (22 ! 1 1, х (гу) + — У пе пе (26.66) (26.67) /22г'» В области а»2(( ( — ) ((! разность (㄄— (7„, не превосходит хе(7„о Для меныпих значений г эта разность быстро возрастает. 1 Для состояний ('=-1+ — „, у=!и!=!1 — 1! разность д„,— (7„( 304 (гл. Рн РелятиВкстские ИОИРАВки Решение уравнения (26.66), удовлетворяющее граничным условиям (26.42), имеет вид 7(Г) =сонз(Г э' „( )I — ), (26.68) гае д,„ †функц Бесселя первого рода. Используя известную формулу дифференцировзния бесселевых функций л7Р р — = — — у +у ах х Р Р н обозначая постоянную в (26.68) через Сил, получаем (26.
71) Сравнение формул (26.72) и (26.73) дает С=- — Сз(в+Х вЂ” й — х)Г(2У+ 1) бг (2Л)' (26.74) 8 27. Релятивистские поправки 1. Вычисление некоторых радиальных интегралов. В различных приложениях, например при вычислении констант сверхтонкого расщепления уровней, встречаются интегралы ((д*-~- 7')Г-Ргз3Г ) Руг Рг'г(г. (27.1) (27.2) При р =з 2 основной вклад в зги интегрзлы дает область малых значений Г. Это позволяет при вычислении (27,1), (27.2) использовать приближенные выражения (26.69), (26.70) для функцей ьэ, 7 ').
0 О 8 си ж а ггг, Рнуз. рею 97, 380, 1955. Отметим, что именно этот случай наиболее интересен. Если вклад области малых значений г невелик, то можно ограничиться нерелятнзистскнм приближением. га,'(г]=С~(у-Рх]7„( )/г — ) — — 1/ —./,., ( 1/ — )), (26.69) гу (г) = Сад.7,„( )/à — ). При малых значениях г 'г(~/:.:)- — „„„,(=:-) в то время как из (26,58) имеем Г23г тг Дг) — С,а2 ( — ) (л -~- М вЂ” Ф вЂ” х), (26.73] и 27) 305 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ С помощью этих функций интегралы (27.1), (27.2) можно вычислить в явном виде ~(а' +7')г Рг' дг = ) (а' +7')г »" !(г= 221» (2» 2)! (»( — 2к+»)( — 2И+д — !) — Ча'Р(д — 3)) а, )»'(» — !)! (2у+») (2у+» — 1)... (2у — ») — '(,) р~г Рг'дг= ') дуг»+' Пг= (22)»+ (2» — 1)! (2к — д) (27 4) 2 ' У а, / »! (» — !)! (2у+»! (2у+» — !)...
(2у — »! ' формулы (27.3), (27.4) имеют смысл при ~у — 1(р)2). В нерелятивистском приближении (а — !! (л — !+ !)... (а+ !) аяа ам»1 (27.5) Подставляя (27.5) в (27.3) и полагая аа = О, х = 7, у = 7, получаем 2' ! (27.6) а~о !+— 2 <г >= — —, -а а"~ !(!+П (!+ ! ) (27. 7) Внрзжения (27.6), (27.7) отличаются от (1.26) лишь фактором р. При и)) У (27.8) Таким образом, используемое приближение дает хорошие результаты при мачых значениях ! и болыпих л (при ! =О р' точно равно единице). По терминологии боровской теории этот случай соответствует а сильно вытянутым орбитам.
В случае — =1, особенно при и =7+ 1, )ФО, отличие (27.3), (27.4) от точных выражений становится существенным. Можно несколько уменьшить ошибку, если определить постоянную С таким образом, чтобы в нерелятивистскоч приближении (27.3) давзло правильное выражение для <г Р>, т.
е. положить С' = —, а'а, ' формулы (27.3), (27.4) можно использовать и для неводородоподобИых атомов, предполагая, что в существенной дли интегрирования области поле (/(г) аппроксимируется кулоновским потенциалом. В эгом случае, однако, функции д и / прн больших значениях г неизвестны, поэтому возникают трудности в определении нормировочной постоянной С. 306 [гл., и РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ бс = а'К (е + — ) н, <г '> и', гл у. 1Л (27.
и Подставляя в это выражение <г '> = С' а, ', ( 2) (27. 11)1 получаем (27.11) 2. Вычисление константы А сверхтонкого расщепления. Из уравнения (25.1) следует, что взаимодействие электрона с магнитньщ полем определяется выражением Н' = еаА = еА ( ), аО' (27.1") где А в вектор-потенциал поля. Если поле создается ллагнитным лнпольным моментом )л, то 1 А= — лг '7. ~ч", Сщ (1)гр)р„, (27.13) е= — л / 4л где С, = 1,' — —" )'„(Ър), 7.=- — 1[г(г~ — оператор )л — сферические компоненты вектора )л, 1 )л = р.' )л д = т = ([л ~ 1)л ). 0 е )е2 х т углового моменыц (27.141 Введем обозначение — юег *ау.С, (О~р) = Т.
Н'=чР 7;~,*. (27.1СИ Тогда (27. 161 Выражение (27.16) представляет собой скалярное произвеление непрнводимых тензорных операторов первого рангз, поз~ему прн вычислении иатричных элементов Н' можно воспользоваться общпип формулами й 14. В представлении у!ГМ[! †сп ядра, Р— полный момент атома) матричный элемент Н' имеет вид <утГМ ! Н' [угур> = =( — 1))+ + (уу)[7[[ТУ)(уу[(В[~Ту) )Р(7У;Л). (27.17) Для атомов щелочных элементов хорошие результаты дает опре.
деление постоянной С из экспериментального значения дублетного расщепления 5Е. В соответствии с (26.56) й 27] зо7 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ 11одставляя соответствующее выражение для коэффициента %' и учитывая, что (у! 3 )ь ~ ~ у!) = 1,"г Ф ! (7+ 1) (2! т 1) (л— , ! р, гл (27.
18) получаем <ууГИ~ И']у77ТИ> = — — = ьг( — )]г, (/(/+ 1)+7(7+ 1) — Г(Г-]-1)). (27.19) ]г 2](2! + 1)(2! + 2) Сравнивая это выражение с формулой (23.2), находим (т') (цДТЦу!) ~ ]' ](г+1) (2]+1) (27.20) Из (27.15) следует /О от <ут ! Т,) уут>= — !а ~и," г '(ХСы) ~ ~ и. е(т= = — (е () ф] г '(ТС„)оХ>„е(т+ ~ Х! г (ХС„)офу е(т~, (27.22) причем волновые функции ф>, Х! определяются формулами (26.38!. Учитывая, что г *(ХС„)оХ= блг 'С„) Х=(Хпг 'С,,Х) — г 'С„(ултХ), а так'ке эрмитовость операторов 1 ф;. (ЙУ~-'С„Х,„) (~= 1 (уф!.)чг-'Смй! ат, змее~о первого из интегралов в правой части (27.22) получаем ~(Хоф! ) г 'Смй е(т — ~ф» г 'Сы(ХИХ )е(т.
Аналогичным образом можно преобразовать и второй интеграл в (27.22). Палее, из определения функций ф~, Х! (26.38) следует аЦ)! —— 2ЕХф! — — (/(7+ 1) — 7(! + 1) — — > ф! 31 = — (и '- 1) ф,,„, (27,23) 31 пХХ>м =2ае Хуть = I(/+ 1) 7(!+ 1) 4 ]> Хум = (И вЂ” 1) Хут' Для определения приведенного матричного элемента Т достаточно вычислить матричный элемент <уугл ] Т, ] уутм> при ле =/, поскольку <ууу~ Т,]ууу> = —— (у! )] Т ]] у!) ! (27.21) 1г! (]+ 1) (2! -г 1> [гл, тц 308 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ Таким образом, А = — 4ед ( — ) )ь, ' ' ' ),1т 'г'т/г.
(27.27) / т ~ к (11/1)С, )) А1/) '( .) 'Т'/О+ )(И П.)' Для приведенного матричного элемента С, имеем ( //)) С (! 2 //) = (27. 28) Поэтому А = ест ( — ) )ь, ~ й'/г 'г* с(г. Р (27.29) Воспользуемся для интеграла в (27.29) приближенной формулой (27.4) Полставляя в (27.31) и=/, у=/, а также С'= —, (см, формулу 8 н1н„ (27.5) и последующее обсуждение), получаем А= а'и ( — ), ((у, н'1 9+1) (1-1- — ) (27.32) что в точности совпадает с формулой (23.32). Если ввести обозначение г (.О П2.~ 362;~П Т «1 — ) (27.33) Таким образом, <У/тл( Т, ~А/гл> = /ейх () ф;,„г 'С,Д с(т+ ~ )(;мг 'С„ф Ыт~.
(27.24) Согласно (26.38) функции фу~, ",(т,„являются собственными функцнянн опера~оров /', з', 7', причем в состоянии фт,„ эти операторы именж 3 собственные значения /(/+1), 4, /(/+1), а в состоянии )(7 ./(/ т-1), 3 — /(/+ 1). Поэтому, отделяя в (27.24) интегрирование по утловыя 4 ' переменным, получаем су/тл! Т,'1 ут> = — 4ех <ЛЦт(С„(ЛЦт> ) у(г)/(г) г 'г'йг, (27 28) (у/(! Т)! у/) = — 4ех ~ д~г 'г'с/г(а//() С, ((в//). (2726) ~ 27) 309 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ то формулу (27.30) можно переписать в следующем виде: 1-" =' — '( —,)' ' »»Г' — * » с! — С» й /~~'! (2" 1)р~(! ! (27 34) 2тс (о, ) 4! 0+1) (2!+!) Используя (27.34), нетрудно получи~ь следующее приближенное выражение для константы А: (27.35) л'! Н+ 1) (!+ — ) 2! фактор Р;(ус) носит название релятивистской поправки к постоянной тонкой структуры А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
