Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 46
Текст из файла (страница 46)
При вычислении [гр,(0)[' можно воспользоваться формулой (23.37). Эта формула, как это было показано выше, обеспечивает неплохую точность. Подстановка (23.37) в (24,!9) дает 9 241 изотопический ЭФФект 28! бЕ= 2 (1+ ~-"'- ~ ) СКу, (24.30) (24. 31) Величина С не зависит от строения электронной оболочки атома н целиком определяется свойствами ядра. Сравнение теоретического значения С, вычисленного по формуле (24.31) в рамках какой-либо определенной модели ядра с экспериментальным значением ь С,„„,=ЬŠ—,(1+~ —, ) и (24.32) позволяет оценить пригодность модели.
Анализ экспериментальных данных показывает, что теория в общем правильно передает основные качественные особенности явления. В частности, в соответствии с приводимыми выше формулами, изотопическое смещение растет с увеличением Е. Задаваясь каким-либо конкретным распределением протонного заряда о(г), по объему ядра можно провести количественное сопоставление теории и эксперил~ента. Если в (24.31), (24.34) подставить значение Х= 1,2 10 " см (это значение следует из экспериментальных данных по рассеянию электронов на ядрах), то в среднем для потенциалов типа (24.20), (24.22), (24.24) отношение — = — †: — .
Таким образом, подобные расчеты Сьпсп Срьпц 2 4 дают завышенные значения смещения. Введение поправочного фактора 9(у) приводит к некоторому уменьшению других расчетных значений С, но не спасает положения'). Значительно лучшее согласие получается, если исходить из непрерывного распределения д(г) (без четко выраженной границы). Можно показать '), что в этом случае сдвиг уровней выражается через среднеквадратичный радиус г = < гь>ч* =(1"0 гЧг)ч*.
Этой же величиной определяются и некоторые другие эффекты, например рассеяние быстрых электронов на атомах. Анализ всех этих эффектов, включая и изотопический сдвиг, приводит к близким значениям г =(1,1 †: 1,2))с Х10 "Ачь Отношение С,п,„)С „„имеет резкие пики в области редкоземельных элементов, а именно в спектрах неодима, самзрия и европия ') Обсуждение других возможных причин отмеченного расхождения см.
А Р. Стриганов, Ю. П. Донцов, УФН 55, 515, 1955. ') А. ц. Водшег, Ргос. Рнуь. 5ос. А66, 1041, 1953; Н. Н. Колесников, Диссертация, МГУ 1955. Для удобства срзвнения формулы (24.27) с экспериментальнымн данными представим ее в виде 282 СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ [гл. Ть )И=88, АР =90). Такого же типа скачки, правда, менее резкие, имеют место и при значениях И=50, 82, 126.
Наличие этих аномалий Брикс и Копферман') связали с несферичностью ядер. Наибольшее смещение дзют изотопы „Еп',", и „Еп'„" . Для этой же пары изотопов характерны аномально большие значения квадрупольных моментов, причем квадрупольный момент у Ец '" примерно в два раза больше, чем у Еп'". Четно-четные изотопы „Бш,",' и „8ш,"„' соглзсно оболочечной модели не должны иметь квздрупольных моментов. Брикс и Копферман предположили, что ядра Бшы' и 8т'" несферичны и имеют квадрупольные моменты примерно такие же, как у ядер Гп с тем же числом неЙтронов.
Если по величине этих квадрупольных моментов оценить степень несферичности ядер самария и затем рассчитать соответствующее увеличение изотопического смешения, то получается хорошее согласие с экспериментом. Аналогичным образом объясняется смещение линий изотопов „Щ" ,и „Хд,',". ') См. Г. К о пф е р м а н, Ядерные моменты, ИЛ, 1960. ГЛАВА Ч!1 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ' ) я 25.
Уравнение Дирака О 0 0 1~ 0 ΠΠ†! 0010! 0 О! 0 !0100)! ая (Π— ! 0 О/! ~1 О О Ох ! О О 0 О О! О !О О ОА 0 00 — 1 )01 0 О( — ОО О('Р=)ОΠ— 1 О). 0 — 10 0 00 0 — 1l (25.2) Члены Е и еср в фигурных скобках в (25.1), не содержащие а и (), предполагаются умноженными на единичную матрицу А Волнован функция и, удовлетворяющая уравнению (25.1), также представлиет собой четырехрядную матрицу -(:) (25.3) '! В теории атомных спектров необходимость учета релятивистских эффектов возникает крайне редко, а сами эффекты играют роль малых поправок. Поэтому ниже излагаются лишь основные сведения об уравнении Лнрзка для электрона в кулоновском поле, необходимые для понимания метода вычясления этих поправок.
По той же причине з этой главе совсем не рассматриваются вопросы, связанные с взаньюдействнем электрона с полем нзл1чення, например лзмбозский сдвиг. Эти очень важные в принципиальном отношении вопросы не имеют большого практического значения для спекзроскопнн. Подробнее о релятивистских эффектах; (Б С,); А И А х н е зе р, В. Ь. Б е р е. ст е ц к н й, Квантовая электродннамика. Физматгнз, !959. 1. Уравнение Дирака. В релятивистской теории стационарные состояния электрона в произвольном электромагнитнол! поле, характеризуемом потенциалами гр, А, опрелеляются уравнением Диракэ (Е+егР— "ГзЕ,— а(гР+ еА)) и =О.
(25,1~ В этом уравнении Е, = глс' — энергия массы покоя, р = — !(ьЧ вЂ” оператор импульса, а„, а, а, и () †матри (гл. тп 284 Релятивистские попелнки В уравнении (25.1) принят Например, 4 (ри); = ~ р,.~ил,' (и ))), обычный закон умножения матриц, ивы, '(ини) = ~~Р ~иеиы (25.4) Таким образом, в релятивистской теории состояние электрона характеризуется четырьмя функциями и,(г), и,(г), и,(г), и,(г) — компонентами волновой функции и.
Уравнение (25.1) представляет собой систему четырех уравнений относительно этих функций (Е+ егр — Е,) и, = =(ср„+ еА„) и, — с(ср + еА ) и, +(ср + еА,) и„ (Е+ еср — Е,) и, = =(ср„-'-еА„)и,+1(ср + еА ) и,— (ср„+еА,)и„ (Е+ егр + Е ) и, = (25.5] =(ср„+ еА„)и,— с(ср +еА ) и,+(ср,-(-еА,) и„ (Е гг еср + Е,) и, = =(ср„+еА„) и,+1(ср +еЛ ) и, — (ср,+еА,)и,.
Согласно (25.4) вероятность того, что электрон находится в элементе объема с(г, равна с(г ~~'., и„исе 4=1 (25.6) Аналогичным образом обобшаются остальные соотношения нерелятивястской теории, в частности формулы теории возмущений. К интегрированию по координатам, как это имеет место в шредингеровской теории, добавляется суммирование по компонентам и.
Так, матричный элемент некоторого оператора Н' определяется следующей формулой: йи" )Н')и> = ~ ) и;Н,„и с!г. ь е=~ ;1 О О О 20 01 0 !'о ! о о)) ~)о о о — !'( ~ар=~О О ! О("р: сс"А =~ ! О О О)еА' (2~8) 0001 (о — )о о Уравнение (25,1) можно записать также в несколько иной форме. Выразим матрицы а„, аг, а, через двухрядные матрицы Паули па=(! О) ° =(с' о) ' (Π— 1) ' (25'О) Имеется в виду, что оперзтор Н' построен с помощью дираковскпх матриц хс, р и единичной матрицы Е Такими операторами, например, являются 285 и 251 УРАВНЕНИЕ ДНРАКА матрицу р через двухрядную единичную матрицу, которую мы обозначим, так же как и четырсхрядную единичную матрицу, носредствол! у .=(.":): =(О -У) (25.
10) Введем тзкже двухкомпонентные волновые функции =(::) =(":) ' =© (25. 11) где С, Š— произвольные векторные операторы. В частности, при е»=Е (ор) (ор) =Г*. (25.14) 2. Спин электрона. Для удобства интерпретации преобрззуем уравнение (25.1) в дифференциальное уравнение второго порядка. Подействовав на (25.1) оператором ! Е+ с<у+ 1)Е,— а(ср+еА) ) и используя (25.14), (25.13), а также перестановочные соотношения для матриц а„=а„а =а„а,=а„р =а, а, а„+ а»а; .=- 25;», (25.15) нетрудно получить ! / е т» ! Е+ егр — Е,— — ( р+ — А) + —,(Е+ е!р — Е;!'— ел . ед — — ХН+ ! — а$ ( и = О, (25.16) 2»!с 2гле где 5, Н обозначают напряженности электрического и магнитного полей $ = — 7гр; Н=го1 А Подставляя (25.10) (25.11), в (25.1), получаем систему уравнений относительно двухкомпонентных функций »р, )( (Е+ егр — Е,)ф+о (гр+ еА) )( = О, (Е-; 'е!у+ Е,))( —,' о(ср+ еА) ф= О.
(25.12) В такой форме записи, как это легко видеть, объединяются первое и второе, а также третье и четвертое уравнения (25.5). Отметим, что а, а также о не являются векторами в обычном смысле, поскольку а„, а, а,; о„, о, о, не ззвисят от выбора системы координат. Обозначение оперзтора а„р„+ а рх + а р ух ее посредством ар (и аналогичное обозначенве других операторов того же типа) представляет собой лишь удобную форму записи. Из определения матриц о следует тождество (об) (оЕ) = с»Г+ го (геР'), (25.
13) 286 (гл. тп Релятивистские понглвки (25 17) Š— тс' = )к' поэтому три первых члена уравнения (25.16) содержатся в релятивистском уравнении Шредингера (25.19). Последние два члена ел . ев — — 2Н и ! — аь 2тс 2тс характерны именно для теории Дирака. Только эти члены содержат матрицы с' и а. Первый из этих членов можно интерпретировать как взаимодействие магнитного момента еб ! )ь= — — а = — 29 — Х 2л!с ' 2 с магнитным полем, второй — как взаимодействие электрического ел момента — ! — а с электрическим полем.
йет Рассмогрим несколько подробнее первый из !ленов (25.2!), для чего введем матрицы е„, е, а„ определив их соотношением 2 2(Оо) (25. 23) (а 0) Сравним уравнение (25.16) с уравнением Шредингера, соответ- ствующим релятивистскому гамильтониану Н= — е!р-Р )/ с' (р+ — А) + т'с'. С Разлагая корень в(25.!8) в ряд по степеням —, имеем с Н+ е!р = тс*+ — (р+ — А) —,, (р+ — А), 2т (, с,) 8т'с' ( с ° (Е+ егр — тс') — — (р+ — А) +,,(р Р— А) ~ ф == О.
с При — 0 (2о.19) переходи~ в обычное нерелятивистское уравнес ние Шредингера ( (Ут+ р — ~~ ) !Р = О, (25.20) В приближении (25.19) с' (р+ — А) = (Е+ егр)' — т'с' =(Е+ егр — тс') (Е+ егр+ тс') = (Е+ е!р — тс') 2тс', е ° 8т*с' ( с ) 2тс' — ! р+ — А ) — (Е-Ргр — тс ) 287 8 25) УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Эти матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям а» у» у»э» гх» (25.24) Поскольку для системы с угловым моментом й оператор бесконечно малого поворота есть 1 + 16!!Им и орбитальный момент в рассматриваемом случае равен нулю, из (25.24) и (25.25) следует, что матрицы э= —,, Х являются оператором собственного момента количества движения электрона— спина.
Подставляя в (25.25) двухкомпонентные функции ф и получаем ф=(!+ —,,' 50 ) ф, (25,26) )( = ( 1 + — Йаа ) )('. Таким образом, компоненпи и, и и, функции ф прн повороте системы координат преобразуются друг через друга, не затрагивая компонент и, н и, функции )(. Последние в свою о1ередь преобразуются друг через друга независимо от компонент и, и,. Лвухкомпонентная, функция, преобразуюшаяся при повороте системы координат в соответствии с (25.26), называется спинором. Волновую функцию и, представая!ощую собой совокупность двух спиноров ф и ул называют биспинором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
