Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 50
Текст из файла (страница 50)
При аЕ=О Р;=1. Значения Г,(ук) для зна- 1 3 чеиия 7'= —, — приводятся в таблице 72 (см. также рис. 23). 2 ' 2 Если использовать для определения константы С выражение (27.11), то при 7чьО А =е» = (-)„ lд 1 1!1+11 Г, 1 Н'ЬЕ иР), . ( 1) Н (27.36) иля 1 / и» ')! !!+ 1) Г, »гУ(л»Р/ ! !)+1) Н, ~!' (27.37) где 9! — постоянная дублетного расщепления. Таблица 72 Зависимость релятивистских поправок Г», Н», )7» от У! г„(-'г!) 2 !) )7,(12!)! » Н, (!2!) 1 5 !О !5 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 1,000! 1,0024 1,0098 1, 0224 1,0404 1,0643 1,0948 1,1328 1,1795 1,2365 1,3058 1,3904 1,4941 1,6226 1,7837 1,9892 2,2573 2,6!74 3,1205 1, ОООО 1, 0005 1,0021 1,0047 1,0084 1,0!32 1,0191 1,0261 1,0343 !.0438 1,0545 1,0666 1,0801 1,095! 1,1!16 1,1299 1,1500 1,172! 1,1963 1, 0000 1,0006 1,0023 1,0053 1,0094 1,0!48 1,0216 1,0296 1,0391 1,0502 1.0629 1,0775 1,0940 1,1128 1,1340 1,!581 1,1853 1,2164 1,2518 1, 0000 1,0010 1,0042 1,0095 1,0171 1,0268 1,0389 1,0535 1,0706 1,0905 1,1133 1,!392 1,1686 1,2016 1,2387 1,2803 1,3268 1,3790 1,4373 3[о [гл, ч!~ РелятиВистские ИОпРАВки 3.
Вычисление константы В сверхтонкого расщепления. Взаимодейсгвие электрона с электрическим полем Н' = — — еф (27.38! не содержит дираковских матриц а, р, поэтому при вычислении константы В можно исходить непосредственно из выражений (23.8), (23.9]. Отличие от вывода 9 23 состоит лишь в том, что теперь г/ ОА <у[ут[Ч„[,77т> =~и,* 1)„~ 7)и, е[т= = [[ ~ "ФрлЧикфут е[т + ~ ХПАЧи9Хуь е[т~ = = ) ) д*г 'г'г)г(77т [ С„[17т)+ ) у*г 'г'г)ггЦт [С„[7рп>~, (Уу'[[Ч, [[Уу) = = ) кг 'г' Лг[е!У[[ С, [[е[7)+ )уг 'гс!г [еЦ[)С, [[е[/).
(27 39) из (27.39) и (23.14) следует Зе' В=- !бг [27 !) . [., ! ~(ьУ +7 ) г 'г'е[г. (27 41) Формулы (27.41), (23.52) отличаются лишь радиальными интегралами Используем для радиального интеграла в (27.41) приближенное выражение (27.3) [ы)' ~,) е л ! С~ [ 'ее )' 2(2х — 2) (2х — !)+чав', (27.42) ~,ео/ (2у+2) (2у+ !) 2у (2у !) (2у 2! Формулу (27.42) удобно переписать в следующем виде: ~ аь ) ! [2! + !)[2! + 2) ' 77„—,, [Зх[х — 1) — у + 1). ! [2!+1) (!+ 1) (27. 43) (27.44) В нерелятнвистском приближении (х= 7, у = 7, сее =О, С = ) г л'а, В,= 1 и формула (27.44) переходит в (23.52). Фактор [с, носит название релятивистской поправки к постоянной сверхтонкого расщепления В.
Значения фактора В, для состояний ! = 1 приводятся в таблице 72 (см. также рис, 25). Подстановка (2?.43), (27.44) в Поскольку приведенный матричный элемент (еУ/[[С,[[а[7) не зависит от[и (е[/[[С [[И/) = (е)7[[ С [[е[7) = — 4 [/ .—., (27.40) и 27) Рьлятивнстскик попгликл (27.41) дает В = ' Ку. (2?.45) 3 ((7а, ')2' !!г ва*! (2! — !) ! !1+1) (!+1) (!+ — ) ! 2/ Если постоянную С в (27.43) выразить через постоянную дублет- ного расщепления ~!, то 3(!)а, ') !7, ва'И(2! — 1) (!+1) Н„~!' (27. 46) (эффект объема). На рассто(г(г) не является кулоновским.
4. Изотопический сдвиг уровней яниях г порядка размеров ядра поле Будем считать, что йе' И(г) = — — ' г Ле' (г (г) =1а — '-, г г)г„ г -г„ (27. 47) (-;„° )" Ы!а~га+",)'л ) Л 1 1 — -+ — ) гУ='( (Š— Е;) — а — ) гК, ~дг г ) (вс г у И- — — ) =й(Е+Е+и)+ ЦгГ, 1 („— + — ) гГ=~ —.(Š— Е,+и) — и — ~гО.
(27.48) (27 49) Умножим уравнения (27 48) и (27.49) соответственно на гЕ, — гО, — г(, гд. Складывая затем все четыре уравнения, получзем — !'(Га — Ог) =~-'г'(7Г+ьаО) (27.50) г', ( Е (г,) ~а(г,) — О (г,) 7 (г,)) = ~-' ~ (~Г+ аО) г' г!г. (27. 51) г Функции О, Г отличаются от функций д, 7' в небольшой области г- г,. Пренебрегая вкладом этой области в нормировочный интеграл, по.
лучаем ~ (7Е+ дО) г'г!г= ~ (Е'+ а') г' !!г =1. ч причем при г 9 (г(г) )г,. Пусть Е, д, Е по-прежнему обозначают энергию электрона и радиальные функции в кулоновском поле, аЕ+ в, О, à — энергию и радиальныефункции в поле (27.47). Тогда для случая х= — 1, который нас в дальнейшем и будет интересовать, в области г)г, имеем 312 (гл. Р»» РелятиВистские пОИРАВки Таким образом, смещение уровня е выражается через значения функ. ций и, 7; б, Г в точке г = г, ') е = 7»сг, '(Г(г,)а(г,) — б(г,)Г(г,)), (27.52 При вычислении (27.52) можно воспользоваться приближенными вы ражениями (26.69] и (26.70) для функций а', Г. Учитывая лишь пер ные члены разложения д и ~; имеем (27.53» (27.54» В облзсти г>г, функции О, Г удовлетворяют тем же уравне.
ниям, что и функции А; Г. Имеется, однако, существенное отличие. которое состоит в том, что теперь потенциал И(г] при г — + 0 не обра. щается в — оа, По этой причине на функции 6 нет необходимоста нзкладывать первое из граничных условий (26.42). Уравнению (26.661 удовлетворяет как функция г 'l,, так и функция г '/,, которая прн г — 0 пропорциональна г " '. Поэтому для г)г, (27.55) Дополнительная постоянная ~ будет определена ниже из условий сшивания (27.55) и (27.56) с функциями О, Г в области г(г,.
Предположим, что при г(г, Ее' у(г) )г, (27.57) га Тогда для этой области в том же приближении, что и (27,53]— (27.56), нетрудно получить гб= Аг, (27.58) гГ= — Аз — ' (27.59) 3 г, Приравнивзн прн г =г, (27.55) и (27.59), а также (27.56) и (27.58), получаем два уравнения относительно трех постоянных С, ь, А, ко- торые позволяют выразить ~ н А через С. В дальнейшем нам пона- добится только постоянная ~.
Эту постоянную проще всего опреде- лить, приравнивая при г =г отношения — — из (27.58) и (27,59] О Г (27.60) ') Я. Смородн иск нй, ЖЭТФ 17, !034, 1947. 313 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРЛВКИ д 27) и из (27.55) и (27.56) (22г, )! 1угр1) ( ') — сГ 12у+1) — ( ( е " а2( — ~) +~Г(2у+1)( В ) (27.61) (27.63) получаем следующее выражение для изотопнческого сдвига уровней: бе= ')ф (0))',( ), ~ — ') — "Ку. (27,66) Введем обозначение 2у'(2 — у) (2у+11 (у+1) (2+.
у) (27.67) тогда о о В нерелятивистском приближении ак.=О, у=1, с=1, и формула (27.63) совпадает с формулой Рака и Розенталя, Брейта (24.19). 5. Поправка на конечность ядерного объема в теории сверхтонкого расщепления. Радиальные интегралы, входящие в константы сверхтонкого расщепления А и В, вычислялись выше с помощью функций д, г' кулоновского поля. При учете конечного объема ядра в соответствующих ин!егралах надо сделать замену д 6, У Г; (27.69) Это эквивалентно введению в выражение для констант расщепления Из (27.60), (27.61) следует Полагая в (27.53) — (27.56) г =г, и подставляя соответству!ощие выражения в (27.52), получаем са7 (Г(2 +11)*(у+2) ! а, ) Если радиусы двух изотопов отличаются на величину Ьг„ то соответствующие уровни этих изотопов смещены на величину бв = — бг,.
(27.64) Используя (27.63) и подставляя в качестве постоянной С нерелятнвистское выражение (см. (27.5)) 7 с'=„—, =~ ф,(о))'-,—,', (27.65) ~а 314 Релятивистские ИОпглаьи (гл. тн (27. 72) о Г22тоГ У+! о) (Г(2 +1]' 2 — 1 Интеграл в знаменателе определяется формулой (27.30). Подставляя соответствующее выражение в (27,72), получаем !у+1] (2у+ !] 2у ' 22г,]'т 3 (Г (2у ];!))о ~ ао (27.
74) Эта формула соответствует состоянию х = — 1. При и:~ — 1 (х — у) (2у+!) 2у г 22го'] *" (27.75] ]Г(2у+1]]'(2 — 1) ],, / Параметр г, определяется или непосредственным вычислением интеграла в левой части(27.7!), или графически. Вычисления показывают, что для потенциала (27.57) и ряда других потенциалов, близких к (27,57), г,- "г,. ')М. Р Сгоп]огсз, А.
1.. Ясйаи ! от, Рйум Кет, 76, 1310 (1949), поправочных множителей: поправка такого типа к константе А оо 6Ег огЧг (1-5]=' (27.70! од о была введена Кроуфорлом и П!авловым ']. В приолиженин (27.57) поправочный множитель (27.70) вычисляется сравнительно просто, так как в существенной для интегрирования области г моя<но воспользоваться полученными выше выражениями для функций О и гт, Вычисления можно привести и для потенциалов )г(г) более сложного вида. В цитированной работе Кроуфорда и РВавлова вычисления проводились следующим образом, Определим параметр г, соотношением ) ОГг 'г'г]г = ] А]'г 'гог)г (27.71) г и подставим (27.71) в (27.70].
Это дает о 3)г — о„он 5=' дуг огЧг о Интеграл в числителе можно вычислить, используя функции (27.53), (27.54) ЧАСТЬ РН ВОЗБУЖДЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ Г Л А В А )г1 И АТОМ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ й 28. Электрическое поле. Эффект Штарка Н' = — $0 = еЩ и; (28.1) Мзтричные элементы О, связывающие состояния одной четности, и в том числе диагональные матричные элементы, равны нулю. Поэтому в первом приближении теории возмущений взаимодействие (28.1) не приводит к какому-либо изменению энергии атома.
Расщепление уровней определяется поправками второго приближеняя теории возмущений. Направим ось а по направлению поля $. Тогда гт" = — б»В„ и для поправки к энергии состояния ТЛИ получаем ° с' (<~'"(~»(у у "' ' ~англ»о ~.~ »'.»' (28.2) Зависимость мзтричных элементов»»„от »И можно вычислить в явном виде (см. 9 3!) ( )~~' —,и' (ТЛИ (»'), ( у'.»" »И> с; /»И, У = l, )гу» И» у у (28. 3) »> Это явление было открыто Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
