Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Это раснгепление носит 2 название тонкого. Величина тонкого расщепления определяется, очевидно, разностью поправок ЛЕ , и ЛЕ ,, причем п»=г+— л»=1 —— 7тЕ„, = ЛЕ„»+ 7АЕ„»-(- ЬЕ„;, (26. 20) (' ЛЕпц = Зл,лсл ) прпцтр Фп(уа аг, [26. 22) ал Р 7)Епц = 8 л л ) лгпцтлл)'пгпцт ГГГ Прежде чем перейти к вычислению этих поправок, покажем, что 7),Е„» отлично от нуля только для а-состояний (7=0). Действительно, ЛЕ„„ пропорционально матричному элементу Л~р = — 4пр, где О— плотность ззрядов, создающих поле.
Если поле создается ядром с за- рядом Ее, то О = Ееб(Р). Поэтому иалллл Р пе'~»,' ~ гАЕпц 2тллл ) лрпцтб (г') лрпцт г(г 2 л ' ~ Флца (0), (26.24) а (ф„» (0) )' ~ 0 только при 7=0. Таким образом, в случае 7 ~ О ЛЕ„» — — КЕ„„+ ЬЕ,». (26.25) Вычислим поправки (26.20) в случае кулоновского поля Р'(г) = Ле~ = — — (атом водорода и водородоподобные ионы). Вычисление (26.25) г уже было проведено в ф 4.
При 7~ 0 з г' Е.ц= — и ( —,— 4 — (-г)гу, — Г ! О + 1) — 1 (1+ 1) — л (а+ 1) л' Е„ц=а —, )(у, 21(1+П(1~. ' ) 2/ ,(З 1 г 7АЕ„» — — гтЕпц+ гтЕ„Ц =и' ~ — — — ) —,)(у. (26.28) 2 6 26) 295 центглльное поле Кроме того, в этом случае выражение (26.27) теряет смысл, поскольку и числитель, н знаменатель (26.27) обращаются в нуль. Эту неопределенность нетрудно устранить. Выше цри выводе (26.(4) было использовано приближенное выражение (25.27) (26.30) в то время как точное выражение имеет вид а (ср+еА) )(=Е ).Е „Ф.
(26.3)) Если основной вклад в интеграл дает область малых значений г, Лез для которых условие тс')> — не выполняется, в знаменателе (26.3!) г членом !'(г) пренебречь нельзя. Сохраняя этот член, получаем Г з дзр ! 21а ~ Ь д ф""" д. ° (2тр — и )) ~"з "~' = — — с! зрт1т — — 1з ( ! + — — ") ф ! Нг.
(26.32) тс,~ дг г (, 2 г ) Радиальный интеграл в (26.32) конечен, поэтому прн 1=0 (26.32), в отличие от (26.27), обращается в нуль. Следовательно, при 1=0 имеем , ! 3)2з тз 1зЕ з.= з5Е„а+ЛЕсзз = — а' ' 2 — — ! —,Му+а' —,)су = лз 3 ! Лз 4 )' лз ЙУ. (26.33) Это же выражение можно получитьз подставив в (26.28) ! /= — —. Таким образом, при всех значениях 1, включая 1=0, 2 3 ! 2з ЛЕ„з =аз / — — — ( —, КУ. 1=О, (26.
34) Существенной особенностью этого выражения является независимость /ст' от 1. Релятивистские поправки порядка ( — ) приводят к расщепле(,с) нию по 7', но не снимают специфического для кулоновского поля вырождения по 1. ()ри 1 =0 к (26.25) добавляется член (26.24), который в данном случае равен (см, формулу (23.3!)) лезслз ! и лез2$з 2з гтез т з 2т'с' ~ 296 (гл. чп РелятиВисгские пОпРАВки 3. Уравнение Дирака. В случае центрального поля уравнение (25.1) принимает вид (Š— 1'(г) — ГйЕ, — аср) и = О.
(26.35) Гдмильтониан 71= ~Е.-В р( )+~ р (26. 36) (26.37) 1С',, у, (йф) 1 йй — —, — ййй —— й'й й С',, 1', (ййр) ' йй+ — . — — ййй+— й ' й й (26.38) РС1,, ?', (6ср) и — -', — ' йм--' й'й й )(й~.= У'(') С, ,)с, лр йй + —, — — Ой+в ! ! где 1=2/ — 1. При /=1 р —, 1=1+1, а при 1=1 — —, 1=! — !. 2 ' 2 ' Легко видеть, что волновая функция (26.37) не является сооственной функцией оператора 1'. Действительно, 1*ф„„=1(1+ 1) фа.! 1'уи„=1(1+1))(„„, 1'и„~1(1+ 1)и, „.
поэтому не коммутирует ни с компонентами орбитального момента 1, ни с 1й, Поэтому уравнение Дирака (26.32) не имеет решений, являющихся собственными функциями оператора 1*. Вместе с тем гамильтониан (26.36] коммутирует с операторами 1й, Уй и оператором инверсии. Это указывает на существование решений и~, описывающих ста— ционарные состояния с заданными значениями квадрата полного момента 1 и его г-компонент!э т. Каждое такое состояние характеризуется также определенной четностью. В нерелятивистской теории четность однозначно определяется значением орбитального момента !. ! Г1ри четном значении 1=1'+- — состояние 1, ш четно, при нечет- 2 ном — нечетно. В данном случае орбитальный люмент электрона не определен.
Тем не менее удобно характеризовать четность состояния индексом 1, который при заданном значении / принимает ! . ! два значения /+ —, / — —, — одно четное и одно нече~нов. Волно- 2' 2' вые функции и, „имеют вид и 26) 291 ЦЕНТРЛЛЬНОЕ ПОЛЕ ()редставим волновую функцию ио„в виде суммы и);,„+ ие. <е) (е) и)'," =- ( г"); и,",,',.=- ( ). Тогда 1'и)1„=1(1 —, 1) и)," +1(1+ 1) и„" = =1(1+ 1)и)у + (1(1+ 1) — 1(1+1)) и)",)„. (26.39) — -)- — ) гК (г) = — ( Е+ Е, — 1') гу (г), (-- ) Д х) 1 Лс и х ) ! — — — ') гг" (~) = — — (Š— Š— (г)г (г), ~ е (26.40) ! +2' ! 2 (26.41) которую можно получить, подставив (26.38) в (26.35).
Если )г(г)- О при г оо, Яе' )е(г) — — — при г О, г то функции д(г) и г" (г) лолжны удовлетворять граничным условиям гд ) О при г О, )и( ) тес оо при г оо.) гу (26. 42) у функции и) м отличны от нуля лишь малые колшоненты )(,;„. Г!о)е) /и ) этому при малых скоростях электрона ( — ) (( ! второй член в(26.39) (,с ) ги ) мал (примерно в ( — ) раз меньше первого), и с той точностью, ко(с) торая соответствует пренебрежению малыми компонентами )( по сравнению с ф, имеет место сохранение абсолютной величины орбитального момента. Таким образом, в нерелятивистском приближении индекс 1 приобретает смысл орбитального момента.
В общем же случае релятивистских скоростей понятие орбитального момента ие имеет физического смысла. Напротив, понятие спина не связано с каким-либо е 3 приближением, так как оператор в =- — как всякая константа ком- 4 мутирует с любым оператором, в том числе и с гамнльтонианом (26.36). Что касается а-компоненты спина, то она является сохраняющейся величиной только в нерелятивистском приближении.
радиальные функции д(г), у(г) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 298 (гл. Яц РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ Поскольку угловые части функций ф и )( в (26.38) нормированы, из общего условия нормировки ~~ и,'П,И =~(ф"ф+у»)()цг =1 следует ) (д + у') г'г1г= 1. Граничные условия (26.42) обеспечивзют существование этого инте- грзла. Асимптотическое поведение функций е, г' определяется систе- мой дифференциальных уравнений — (гд) — — (Е+ Е,) гУ'= О, 1 вс — (гУ) + — (Š— Е,)гд= О. 4 1 лс Общее решение этой системы имеет вид ги(г) = С, е' "+ С,е'гг, гх'(г)= ~/ ' .
(С,е ' — С,ег ), (26.44) Л,= — у' Е',— Е', Л,= — — (гг Е„' — Е'. ~ Решения систелгы (26.40) при г со должны совпадать с (26А4). Это условие, дополненное условием нормировки, позволяет определить постоянные С„ С,. Решения системы (26АО) занисят от энергии н момента электрона, поэтому С„ С, являются функцией двух параметров Е и х. Из (26.44) следует, что решения системы (26.40) обладагот существенно различными свойствами при Е)Е, и Е(Е,.
В первом случае Л„Л, мнилгы н функции гсг(г), гу(г) ограничены при шобом значении Е. Во второлг случае Л, и Л, вещественны, причем Л,)0, Л,<0, Если СгФО, то члены, пропорциональные ет', при г оо экспоненциально возрастают, поэтому необходимо потребовать, чтобы С,(Е, и)=0. (26.45) Таким образом, прн Е)Е, спектр Е непрерывен, а при Е(Е,— дискретен. Возможные уровни энергии определяются корнями уравнения (26.45). 4. Кулоновское поле. Уровни энергии.
Подставляя в (26АО) гег (г(г) = — —, имеем г — + — ) гд(г) = ( — (Е, + Е)-(- се — ~ гУ (г), ( ) =( 21 вс ( — "~ =1 (26.46'1 (Ьс — — — ~ гу (г) = ! — (Š— Е) — а — ), г с (г) ь (гл. щз 300 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ 7 = О, 1 За, Зр, и = 3 7=1, зр, за, 7=0, 1 4л, 4р> 7= 1, 2 4рз 4дз 7=2, 3 4г(з4Рз 4г, з (26 ИЗО) Вычитая из (26.50) энергию массы покоя Е,=лзс' и учитывая, что ьыз гх глс = —. йз получим с точностью до членов порядка ссзкз азиз/1 3'з1 Ез Ж'=Š— Е = — ) 1 -ф- ~ — — — ~ ! — Ку = з ~( н (~» 4н71 и 2 (26. 51) Первый член в (26.51) представляет собой нерелятивистское выражение для знергии (формула Бальззера).
Вторым членом определяется тонкое расщепление уровней. Тонкое расщепление, как зто уже огмечалось выше, не зависит от Е Существенно, что вырождение по 7 не связано с приближенным характером формулы (26.51), поскольку (26.47) также зависит лишь от / (от й) и не зависит от Е Все уровни л, Ф (й+и) двукратно вырождены по Е Учитывать в разложении (26.50) члены более высокого порядка по ссе, в частности члены порядка а'л', не имеет смысла.
Зело в том, что уравнение Лирака (25.11 не содержит взаимодействия электрона с его собственным полем излучения. Это взаимодействие Для легких ядер Е(<137 можно получить приближенное выражение для энергии, разложив (26.47) в ряд по степеням ал 30! 6 26) ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ приводит к так называемым радиационным поправкам, которые для неболыпих значений Е превышают Куа'Р' (но меньше, чем Куа'л']. По этой же причине формула (26.47) в той же мере не точна, что и приближенная формула (26.51).
Для тяжелых ядер отличие формул (26.5!), (26.47) становится существенным. В приближении (26.51), т. е. с точностью до членов /и!' 1 порядка ( — 1! включительно, расстояние между уровнями 7' =1+— (,с) 2 ! и,/" =1 — — равно 2 апг4 л'1(1+ !) (26.52) Вместе с тем из точной формулы (26.47) следует (х' = 1+ 1; (е' = =1+1; и"= — 1; Фп=1; у'=Ф к' — а'л'! у"=Ухп — а'л') ! 1 Разность у в 14 мала по сравнению с и, поэтому 1 1 л' — 2л (у — л) (л+(у — л!)4 лч+2л(у — !4) л' Подставляя это выражение в (26.53) и разлагая корни в (26.53) в ряд по степенял4 а'Е' получаем Епь — Епа" — „, (у — у — (е +(е ) = — „4(у — у — !) (26.54) Отношение величин (26.54) и (26,52) равно ЕЬР Епь" 21 К+ !) )у — У вЂ” 1) ЬЕ';, /1 апй = Н,(Ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
