Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Сравнение (25.22), (25.23) показывает, что отношение магнитного момента электрона к его угловому моменту равно — 2)г„ т. е. в два раза больше обычного значения 3. Верелятивистское приближение (теория Паули). В слабом поле (еф ((< тг' сушествуют стационарные состояния, в которых п((с. ПРИ этом полнаЯ энеРгиа Е близка к энеРгии покоЯ Е»н поэтому (Е+ егр — Е„) тп' ~ гнс', (Е -г е;р + Г.„) - 2тс', п(ср т РА) - ттс((тс', которые совпадают с перестановочными соотношениями для компонент углового момента. Кроме того, можно покззать, что пря повороте системы координат на угол 5'! вокруг оси, направленной по единичному вектору и, волновая функция и(0) (частица находится в начале координат) преобразуется по закону и (О) =(1 -„'- 75'!пэ) и'(О).
125.25) [гл. оц 288 Ре.тятивистскиз попглвки и из второго уравнения (25.12) следует )(= — о) р+ — А) ф — ф. 2тс (, с ) с (25. 27) ( ! / е 1' 1 еФ )р'+ егр — — (р+ — А) + — ()о+егр)' — — оН) ф+ 2т( с ) 2тс 2тс + 1,„— о$)(= 0 (25.28) . ед (второе уравнение, связывающее функции ф и )(, мы не выписываем). . ев Член 1 — о$)( по порядку величины равен 2тс — Й11Р)(= — ЕГΠ— ф=ЕГР ( — ) ф е . р о 7о,е тс тс с (с) о Поэтому в первом приближении по — имеем с (Ю'+егр — — (р+ — А) — )о,оН)ф=О. (25.29) Это уравнение носит название уравнения Паули.
Оно является основным уравнением нерелятивистской теории. Отличие от уравнения Шредингера состоит в том, что (25.29) содержит член — р,аН, обусловленный спиною электронз. Таким образом, в нерелятивистском приближении электрон ведет себя как частица, обладающая собственным угловым моментом (25.30) и собственным магнитным моментом — 2ц,а. Состояния движения электрона описываюгся двухкомпонентным спинором ф ()( 0). Компоненты и, и и, спннорной функции ф имеют простой физический смысл. Положив и, =О, имеем 2(0 — 1)(0) 2 (0) 2 (25.31) Если же и, =О, то 2 (Π— 1) (И ) 2 (и,) 2 ф (25.32) Таким образом, при о((с компоненты и„и, малы по сравненщо с и„и,, Это позволяет получить приближенное уравнение относи. тельно одних только больших компонент и„и,.
Проще всего это сделать, исходя из уравнения (25.16). Подставляя (25.11) в (25.16) и обозначая энергию электрона а вычетом массы покоя Š— Е, через )о', получаем 289 $25) УРАВНЕНИЕ ДНРАКА В первом случае функция лр описывает состояние, в ко~ором собствен- 1 ное значение оператора е равно — . Величинз г 2 ' фчф л)г = и, (г) и, (г) л!г определяет вероятность того, что электрон находится в элементе ! объемз Фг и е-компонента его спина равна —, Во втором случае 2 ' функция ф описывает состояние, в котором а-компол!ента спина 1 равна — —.
2 ' функции и, и и, удовлетворяют урзвнениям 1) )Р'+ е р — — ( р + — А ) — )л, Н)~ и, = О, (25.33) Ж'+ебр — — ! р+ — А ~ + р Н) и = О. В общем случае и, ~ О, и, чь О вероятность того, что спин электрона направлен по оси г, равна ~ и,(г) а, (г) плг, а вероятность того, что спин электрона направлен против оси г, равна ) и,(г) и, (г)б(г. Таким образом, индекс у компонент спинора и„ и, играет роль четвертой переменной, определяющей направление спина. В отличие от координат электрона г эта переменная дискретна и принимает лишь два значения. При такой интерпретации вл!есто двухколлпонентной функции ф можно описывать состояния электрона обычной волновой функцией ф(г, р), зависящей от г и от дополнительной спинозой переменной р.
В качестве этой переменной удобно выбрать величину г-компоненты ! 1 спина. Таким образом, р принимает два значения †, , ††, . Если 2' 2' электрон находится в состоянии с определенным значением р =)л„ то (25.34) Ф(г )л) =ф(г) 5М.) 1 ! Между значениями функции л)л(г, р) в точках М= —,, — — и ком- 2 понентами и„и, имеют место очевидные соотношения лр (г, ~) =и,(г); лг(г, — 2) =и,(г). 1О И.
И. Сьвмхлил )гл. тн 2ОО РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРЛВКИ Г! ! ! 1 Спиновые функции 6 ( —, р) и 6~ — —,р) взаимно ортогональны (2г) ( 2!) (22) ( 22)+ ( ' 2) ( 2' ') ф !г) Ь( — р); ф !г) 6 ( — — р) . й 26. Центральное поле 1. Нерелитивистское приближение. Положив в уравнении Паули — е~р = У!г); А = О, гт'= О, получаем ()У вЂ” !.) —,Р'-) ф =О; !26.!) это эквивалентно двум независимым уравнениям для двух компонент ф ( рй ! 'йг — У!г) — — ) и =О, 2т) !26.2) В отсутствие вне!Инего магнитного поля и, и и, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера. Это связано с тем, что гамильтониан 2 + !26.3) не содержит спиновых операторов а.
Отличие состоит лишь в том, 1 что в состоянии и г-компонента спина р равна †, а в состоянии и 1 2 ' й 1 она равна — —. Поэтому и, и и, можно получить, умножив решение уравнения (26.2) йы (г) у,„,!!Кр) !26. 4) соответственно на 6 ( — )!) и 6 ( — — )ь) ~2 г' ), 2 и,=й„,!г) );, «р)6(2 !!) Е.Л )ОГ, [ЬИ Ь ( Р) !26.5) поэтому произвольная волновая функция ф(г, р) может быть представлена в виде линейной комбинации функциЙ 9 26) ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ 291 Общее решение уравнения (26.2) имеет вид )гс,б ( —,' р) ф = 1'~й(г) 1 йю (Ойр) ~ ')Сб( — — 'ц) 2 (26 6) При С, =1 и С, =-О (26.6) определяет волновую функцию состояния, в котором звданы е-компоненты орбитального люмента лйй и спина )й, ! причем )й = 2 , = 77.,( ) ...(8 )(,,) . /1 1 (26.
7) Если С,=О, С,=1, то /О'1 Ф, й = 1йй„й (г) )йгййй (Ойр) (1) . й' (26.8) В общем виде можно записать фм, = 77„й (г) ~'й (Ойр) й7Р, (26.9) где йй — спиновые фунхции, являющиеся собственными функциями оператора гй. Эти функции имеют вид й72=(О)' Р =(1).
(26.10) Частным случаем (26.6) являются также волновые функции ф . й й 'й й/ш собственные функции операторов т, в, у и 7',(через у обозначается полный момент электрона: у = 7+в). Используя общее правило построения волновых функций, при сложении моментов получаем ф„= ~ С~, ф„,. = — ййй,(г) ~~'„С' );„йг, = +Р =йй йй +, ййй (г) С 2 й ) / ~+С 1 Г ! е й'О ') ~ -- — --() --- — ---~Ю й й й й' й ''й нли /С',, у,((йр) ') фйу =-77. (Т) )С',, У,(()ф) ' (26. 11) Поскольку волновые функции (26.4) нормированы, коэффициенты С„ С, подчинены условию )С,!'+~С,~*=1. 1гл.
ин 292 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ Входящие в (26.!1) коэффициенты Клебша — Горлана определяготся следующими формуламн: — ~ à — рл)— 1 !+ гл+ —, 2 2! 2 1 ! — гл+— 2 21+! 1 !+т+— 2 2!+! С,, =(à —, гл —— г' г Г 1 У=Г+ —., у=! —— 2 ' 1 г / ! 1 С,, =(ГГ т+ —. — — (, 2 2' Г (26.12) у=!+в 1 2 1 Г=à —— 2 2. Второе прибливкение по — .
Тонкое расщепление. Под- с ' ставляя в (25.28) функцию у из (25.27) и сохраняя члены порядка йг )с ( — ), можно получить г) (,с) — 2"" о3р)+4'" А,р~гр О (26 !5) В случае центрального поля это уравнение приобретает вид Ъ ЧУ вЂ” $'(г) — ~ — -)- г',,— и" о~Яр) — —,, А)г) ф=О. (26.1й! ! Последние три члена в (26.1б) (26.15) ') При выводе этого уравнения возникают трудности с нормировкой йь В условии нормировки точной теории ~ (грг гр+уг т) гГТ=1 член )(' х имеет поряаок !1 — у! гр гр и поэтому в рассматриваемом приближении не может '1с ) быть опущен. Именно при корректном учете этого обстоятельства уравнение /ой' второго приближения по!1 — ) приобретает вид (26.13).
Подробное обсуждение (с ) этого вопрога см. А. И. Ах и е зс р, Б. Б. Бе ре с тецк и й, Квантовая влектродинзмика, Физматтиз, 1959. 293 8 26) центгхльное поле 1и А' определяют попрзвки порядка ( †) к нерелятивистской теории. (,с ) Первый из этих членов учитывзет зависимость массы электрона от скорости.
Второй член — — [бр[ = — 2р,з 2 — [5, [ ро (26. 16) дает спин-орбитальное взаимолействие. Подставляя в (26.16) Последний член в (26.16) не имеет классического анзлога и поэтому не может быть интерпретировзн с помощью каких-либо наглядных представлений. Оператор (26.15) коммутирует с опера|орами 1', з', у', у'„ но не коммутирует с оператором 1, поэтому уравнение (26.14] не имеет решений типа (26.6) с произвольными коэффициентами С, и С,, В частности, невозможны стационзрные состояния ф „, в которых однозначно определены е-компоненты гло р орбитзльного момента и спина электрона.
Только при вполне определенном выборе этих коэффициентов, таком, при котором функция ф является собственной функцией операторов,1', 1, (26. 18) можно удовлетворить урзвнению (26.14). Функггия (26.!8) описывает стационарные состояния, в которых заданы абсолютные величины моментов з, 1,,1 и е-компонента полного момента лг. Подстзвляя (26.18) в (26.!4), нетрудно получить радиальное уравнение для определения Й (г). Это уравнение отличается от радиального уравнения первого приближения (уравнения Паули) /ить для функций 11„,(г) членами порядка %'~ — 11 . Поэтому для определения функций Й(г], а также соответствующих уровней энергии, можно воспользоваться теорией возмущений.
1 . 1 Легко видеть, что состояниям 1=1+ — и /=1 — —, соответ- 2 2 ствуют различные уровни энергии. Это следует хотя бы из того, что радиальные уравнения для этих состояний различны. и используя определение орбитального углового момента л1[е)э[, получаем (26.17) (гл. а и 294 РелятиВистские пОпРАВки (26.2!) (26.23) (26. 27) Действительно, "'~ют — 2 (У вЂ” ' — з )'Ргут = —, ~Ю+1) — 7(7--1) — а(з+1)(= 7лр, 7= 7+ —, 1 (26. 19) + Таким образом, под действием возмущения (26.17) уровень лг 1 рзсщепляется на два подуровня 7= 7 ~- †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
