Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Квадрупольному вззимодействию в сумме (23.4) соответствует член уа = 2. Определим квадрупольный момент О, соотношением (22.15) е'О, = ~9'(г') г" С* (11'~р') Иг' (23. 5) и введем обозначение ет), =') ()(г) —,С'н(Оср)с!г. (23.6) Перейдем теперь к квздрупольному взаимодействию. Второй член в (23.1) удобно записать в несколько ином виде.
Расс»1отрим взаимодействие двух зарядов, распределенных в прострзнстве с плотностями р(г) и ц'(г'), причем этн плотности отличны от нуля в области г'<г. В этом случае )(Р= ) [, [ с[г ~[г'=~~[гс[г'9(г)й'(г] г — Р»(соза)= = ') с[г с[г'и (г) ц' (г')~~' — (С«([ир) С (0'ср')). (23.4) 9 23! 259 СВЕРХТОНКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ После этого член !8=2 в (23.4) приобретает вид ее'~, (У, Ч' Согласно (23.7) взаимодействие квадрупольного момента ядра с электронной оболочкой (Р'О можно записать следующим образом: В'о = — а'~~ О, т)', т), = ~ы 1, С' (О!гр!). (23.9) ! Выражение (23.8) представляет собой скалярное произведение не- приводимых тензорных операторов второго ранга, причем (У, не содержит электронных переменных, а Ч, — ядерных.
Используя поэтому формулу (14.63), получаем (23.8) <уУУ~Л4~ (р, (уУУУЛ4> = = — е*( — 1)!+2-Р(уУ()(у,)) у!)(ТУ((т),)) уУ) ()7(УУУУ! Е2)= =Л+ВС(С+1), (23.10) С= Г(Е+ 1) —,У(,У+ 1) — У(У+ 1), (23,11) В 2 )' У(У)-!](2У вЂ” !)(2У+ !)(2У+3)У(!+ !)(2! — 1)(2!+1)(2!+3) ' (23.12) е'(уУ!!!7,(!у!) (уУ !'2) !)уУ) У(У+1) У(У+ !) угУ(У+ !)(2У вЂ” 1)(2У+ !)(2У+3)У(У+!)(2! — 1)(2!+ 1)(2!+ 3) ' Используя (22.16), легко также получить 3 8'С (уу !!ч»а уу) (23.14) 4 ! (2! — !) Угу (У+ !) (2У !) (2У+ !) (2У+3) Л вЂ” ()('+ ) (У '"')У") ( + ) (23!5) (2У вЂ” 1) )! ! (!+1) (2У вЂ” 1) (2У+ !) (2У+3) Таким образом, полное выражение для сверхтонкого расщепления уровня имеет вид (не зависящий ог Г член опускается) ЛЕР = — АС+ ВС(С+ 1), С= Г(У'+ 1) —./(/+ 1) — У(У+ 1) '). (23.16) ') Иногда константу квадрупольного расщепления И определяют несколько иначе, записывая член БС(С+ !) в виде З, С<С+ 11 З 8 ! 12! — !12 122 — 1) ' 8 ! (2! — 1! ! 12! — !1 ' причем константа расщепления В и не зависящий от Г сдвиг Л определяются выражениями 3 а' (у! !кЦ! у!) (уУ!!и,!! уУ) 260 снеРхтонкАИ стРуктуРА спектРАльных линий 1гл.
ч! Н,10) + Н,10). Первый член обусловлен орбитальным движением электронов, второй †спина электронов. Магнитное поле, создаваемое заряженной частицей, совершающей стационарное движение, определяется известной формулой е)гв) Н= —. сг' Подстановка в это выражение )Ряг) гл=зз1 дает Н10)= — -7=--7р. езз ! 2 гз гз о' 123.17) Соответствующий член в энергии взаимодействия имеет вид (злзг 123, 18) где пз = — з К~ро( „— , А = кгц по ( — ) — з Ку, 123. 19) е* йз п=~.— — постоянная тонкой структуры, а = —,. Магнитное поле,созо ЗЗЗЕз' даваемое собственным магнитным моментом электрона р = — 2р з, определяется выражением Н,10) = — „',1з — 3 1зп) и), 123. 20) где Еа — единичный вектор, направленный по г.
Из 123.20) следует %'м = — а, 1зз — 3 1зп) 17м)). 123,21) Расщепление уровня, определяемое формулой 123.16), по своему характеру значительно более сложно, чем чисто магнитное расщепление 123.2). В частности, при В + 0 прзвило интервалов Ланде не выполняется. 2. Вычисление комстаиты А сверхтоикого расщепления. Определив эксперииентально константы сверхтонкого расщепления А и В, н принципе можно найти величины ядерных моментов р и ь). Для этого, однако, необходимо знать связь констант А и В с )г и с). В установлении этой связи и состоит задача вычисления констант сверхтонкого расщепления.
Из выражения 123.1) следует, что для вычисления констант А н В надо знать значения магнитного поля, а также вторых производных от электростатического потенциала в точке нахождения ядра, т. е. в начале координат. Магнитное поле Н10), создаваемое электронами в точке нахождения ндра, можно представить в виде суммы % 23! 261 свегхтонков ехсщеиленив Ю'=а,7! — а, (а — 3(вп) л) !. (23.22) Начнем с рассмотрения одноэлектронной задачи. В этом случае для вычисления энергии расщепления необходимо усреднить выражение (23.22) по состоянию !/7Г.
Используя результаты 2 14, запишем (см. (14.52), (14.61)) второй член в (23.22) в виде — а, !г' ! 0 ~ ( — 1)' [С* Х г')', 7,. (23.23) Поэтому <а(у7ГМ~ (Г[а!/7глМ> =<а,>( 1)льг-г(7[[7[[!)((э!ущх!!)— — )Г(0 (з!!~[[С' М г') ' [[а!/)) %'(7727; Г! ). (23. 24) Приведенные матричные элементы, содержащиеся в правой части (23.24), определяются формулами (14.42), (!6.67), (14,76), причем 9уссимвол в (14.67) можно вычислить с помощью формул, приводимых в разделе 3 2 20. Сравнивая (23.24) с (23.2), получаем 1(1+1), ! /л 1 л~ 1(1+1) А=<а,> ..
=а'д ( — ) ! —,) .. Ву. Выражение (23.25) неприменимо при 1=0. В этом специальном случае взаимодействие электрона с магнитным моментом ядра имеет вид (р"=а 7а, а, = —" а*а; ( — ) а. [ ф, (О) [* йу '), Р <%'> =а,( — 1)г+' "(7~[7[[!)(а!у[[а[[а!!) ))г(!777; Г1). (23.26) (23.27) (23. 28) Таким образом, в общем случае ! (7+ 1) (23. 29) для водородоподобного атома (23,30) л (1+1) ((+ — ) 1 2~ [ф,(о) !'= —, на'лг а ) См., например, [Л. Л.[, стр. 547. (23.3!) Таким образом, полное выражение для энергии взаимодействия маг«итного момента ядра с атомным электроном ииеет вид 262 СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ (г.т.
чь 1~0 А = нд'~ ( — ") Ву, .* (1+ — ') !0+ 1) 2 1=0А=а= 3, ( — ) ну. (23, 32) (23.33) Формула (23.29) применима и к атомам щелочных металлов. В этом случае, однако, факторы( †,! и ! ф,(0)! не могут быть вычислены точно. Поэтому вместо (23.30) и (23.33) приходится использовать различные приближенные выражения. Особенно часто используется приближение, положенное в основу (19,!8) и состоящее в замене 7ь 7'7,. фактора —, на —.
В этом случае л' л',' 7,'7! (23.34) причем параметр д! можно определить из величины мультиплетного расщепления. Можно и непосредственно выразить а, через рь 1+О А,=~!~'. (. ь 7г! (!+1) (т„) (23.35) (23.36) где Л вЂ” квантовый дефект для термов ла '5,6. В этом случае 7ь7 1ф (о)~ = — (!+/ — /) ь А,= —, ( — ) ь !+/ — /))Ту').
(23. 37) (23.38) ') Обоснование и вывод приводимых выше приближенных выражений для константы А см. в работах: 3. Сон б вы ! 1)ь, Р)ьув. Реч. 43, 636, 1933; В. А. Ф о к, ДЙН 1, 266, !933; Е. Регги 1, Е. Бейте, 7в, 1. Рйув, 82, 729, 1933; 1.. 1.. Г о! б у, Р)ьув. йеч. 111, !023, 1968. В том же приближении нетрудно вычислить и (ф,(0))ь. Для этого Зь 7',7! достаточно заменить в выражении (23.21) — ', на — ' и положить ль л.' дг=д. Однако лучшие результаты получаются, если положить 263 9 231 сввгхтонкоа глсщапланна Рнс.
23. Релятивистские поправки Е„н Нг при 1=1. 1=0 А,= 3,' (1+ д— () (1 — Ь) Ег(2 Е) ( — ) ау~(23.39) а'дг 2л2;Е, (/Я;) л,'~1+ — ) 1()+1) л) ! 2) — г ьл (1+~)" 021)(! 3) ( — 11 (( (23.40) '1()+1) Н,(12,) тш./ пычисление поправок Е,(7тг), Н,(Ыг) и (1 — 3) приводится в 9 27. На рис. 23 показана зависимость Е и Н, от лг при 1= 1. Из формула (23.38) носит название формулы Ферми — Сегре.
Зависимость )дЛ ~ квантового дефекта Л от л невелика и (1+ ~ — ~ ) близко к 1, так как )дл ) д почти постоянна для данной серии (см. 2 9). Тем не менее у ~ет д,з члена — в ряде случзев дл Е Г~асУ оказывается существенным, Приводимые выше выражения для константысверхтонкого расщепления А получены в нерелятивистском приближении, Для водорода и водородоподобных ионов * малым значением л реля:тивистские поправки малосущественны.
При больших )знзченияхл вычисление кон'станты А в рамках реляти)вистской теории дает значе- Уд ;ния, сильно отличзющиеся г4 Ох.l тот приводимых выше, Это расхождение принято компенсировать введением в Е(Яг/ аут нерелятивистские формулы поправочных множителей 7 .Е„(ул;)так называемых реля- л)В нт,ят ~д Ы дд альт яуяЖ' Ф тивистских поправок.
В формулу (23.35) одновременно с Е,(/л;) надо ввести тзкже поправку Н,(Ы,). С целью дальнейшего уточнения выражений для константы А учитывают такм<е некоторые дополнительные аффекты, что приводит к дополнительным поправкам. Наиболее важной язляетсн поправка на конечные размеры ядра, которую принято записывать в виде (1 — 3). Приведем окончательные формулы СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ [ГЛ, Р 264 рисунка видно, что учет релятивистских поправок необходим прн Е,.'~20 — 30, причем и Г, и Н, быстро возрастают с увеличением Л' фактор (1 — 6) также становится существенным при больших ~, С увеличением г Ь монотонно возрастает.
Для не очень больших значений Р Ь (О,!. Лишь при х. 80 — 90 б достигает значений 0,15 — 0,20. Зависимость 6 от х. показана на рис. 24. Значения (1 — Ь), гт ( —,Е) и ~1+ — 1! Лля ряда атомов приводятся в '(,2 ) ~ дл ) таблице 69. Таблица 69 Значения поправочных факторов в формуле для константы сверхтонкого расщепления 6А'5 чз 65 «5, '5 7з '5 ч 6а '5 57 80 81 83 (.а Ш НКП Т! 111 рй ч Перейдем теперь к многоэлектронным атомам. Рассмотрим прежде всего атом, среди валентных электронов которого имеется у-электрон. Как правило, в этом случзе сверхтонкое расщепление определяется в основном взаимодействием магнитного момента ядра с этим з-электроном. Поэтому приближенно можно положить %=а,18, (23.4! ) Усреднение оператора (23.4!) можно провести в несколько этапов.
Сначала усредним (23.41) по состоянию с заданным значением спина атома 5. Это дает (а5) 5 (5+ 1)+ 5 (а+ 1) — 5~ (51+ 1) 5 (5 4- П 25 (5+ 1) 18,53 4,943 33,40 12,98 1,08 1,943 1,100 1,14 1,43 2,26 2,32 2,46 0,955 0,88 0,88 0,86 и 23) 265 сяеРхтонкое РАсщепление где 5,— спин исходного иона (5=5,+а). Затем усредиим 5 по состоянию с заданным значением,у 4 у l (/+1).Р5(5+1] — й (Т.+1) (23.43) 22 (./+! ) 'Используя (23.42) и (23.43), легко получить 515-Р1)+а(.
- 1) — 5, (5,+1) .) (У+1)+5(5+1) — Т. (7.+1) Я 25 (5+ 1) 22 (У+ 1) (23.44) Рассмотрим такмге конфигурациюо !". В этом случае (Р' = а!77 — а, ~ (а ! — 3 (ага,) та, ) 7. угсреднение первого члена, очевидно, не представляет тоуда. При усреднении второго члена снова удобно воспользоваться формулой (23.
45) 47 лт ю аа ы азу Р)7 ж нет е Рнс. 24. Зависимость фактора б от 2. (23.23). Это позволяет выразить среднее значение рассматриваемого оператора через приведенный матричный элемент оператора Ъ"' (см. Я 18, 19). Приведем окончательный результат ') А <а>(Р ) 0Г(2 — а) — 2(й — !)Т (7+~)~ (234 а, д и Г = -2- (У (/+ 1) — 7 (7 + 1) — 5(Ь+ 1)), (2347) 1+ + (фактор Ландо), (23.48) l(У+1)+5!5+1) — й ().+1) «у — ! )С1 7 ч/ (27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
