Овчинкин часть 3 (1181127), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Найти уравнение состояния этого газа в переменных (Р, г') для случая столь сильного сжатия (р~>10» г/смз), что энергия Ферми с„)>т,сз. 3.29'. Пульсары — космические радиоисточиики, излучающие периодические последовательности импульсов — представляют собой вращающиеся нейтронные звезды. При радиусе порядка 10 км пульсары обычно имеют массу порядка солнечной (!аз г). Почему звезда таких размеров и массы не может состоять из протонов и электронов? 3.30. При всестороннем сжатии металла относительное изменение энергии Ферми электронов составило О.! '/.
Оценить относительное изменение температуры Дебая решетки. Скорость звука считать постоянной. 3.31. Оценить фермиевскую энергию электронов проводимости некоторого одновалентного металла с простой кубической решеткой, зная усредненную скорость звука з = 2 км/с и дебаевскую температуру 0= 200 К. Эффективную массу считать равной массе свободного электрона. 3.32. Вычислить частоту обращения электрона ш, (циклотронную частоту) в постоянном однородном произвольно ориентированном магнитном поле В при квадратичном анизотропном законе дисперсии А'(р) = рз/(2т'„) + рз/(2тг) + р~/(2т,"). 128 3.33.
Электрон с законом дисперсии Ю = 4(р,) движется в магнитном поле В, параллельном осн х. Решить уравнение движения. 3.34'. В металле, кристаллическая решетка которого обладает осью симметрии г не ниже 3-го порядка, закон дисперсии электронов в простейшем случае может быть представлен в виде б(р) = (рз+ р~г)/(2гп*). Считать, что на элементарную ячейку приходится один электрон проводимости, постоянная решетки вдоль оси з равна а = 0,3 нм, объем элементарной ячейки г = 0,85аз, а эффектнвнвя массз гл* = т, — массе свободного электрона.
Найти фермиевскую скорость электронов гг и определить частоту обращения электронов гв, в магнитном поле в зависимости от угла р между напряжен нсютью магнитного поля Н и осью ж 3.35". Проводимость высокотемпературных сверхпроводников обусловлена электронами, движущимися по плоской квадратной атомной решетке с периодом а. Закон дисперсии электронов Б(к) = — о„(соз к,и+сов /сга). Считая, что каждый этом отдает в зону проводимости один электрон, нарисовать, кзк выглядит область заполненных электронных состояний в А-пространстве (поверхность Ферми) в первой зоне Брнллюэна, и найти ее площадь. Найти также распределение скоростей электронов на ферми-поверхности. Считать, что зона проводимости построена из атомных х-состоян нй.
3.36: В металле с одним электроном на элементарную ячейку и квазиодномерным законом дисперсии Й(к) = Юв соз?г,а, где бв = 0,5 эВ и и = 0,3 нм, найти фермиевскую скорость пг и энергию гг электронов. Как выглядит в данном случае ферми-поверхность? Считать, что зона проводимости построена из атомных х-состояний.
3.37'. Электрон с законом дисперсии ь = ьв сов х„а движется в постоянном однородном электрическом поле напряженностью Е, направленном вдоль оси х. Решить уравнение движения и дать физическую интерпретзцию результата. Сделать численный расчет для случая тока 10 А, текущего по медному проводу сечением 1 ммз; удельное сопротивление меди равно 1,?. 10ь Ом. см, и = 3 А, ширина зоны проводимости Ль — 5 эВ. 3.38. Простейший модельный закон дисперсии электронов в метвлле с простой кубической решеткой имеет вид Ю(р) = = 49]3 — соз к,.и — соз Ага — соз Анд], Р = ЬК где а — постоЯннаЯ решетки.
Металл находится в постоянном однородном магнитном поле напряженностью Н, направленном вдоль оси з. Рассмзтриввется электрон, квазиимпульс которого в заданный момент времени направлен вдоль оси х и равен р= 5лЫ(ба). Найти скорость и и ускорение й в этот момент. указан не. Использовать уравнения движения р = (е/с)]9Н], 9 = ббпр.
3.39. В металле, описанном в задаче 3.38, концентрация электро"ов такова, что фермневский импульс в направлении осик [100] ра- ! 29 вен рг — — лл/(2а). Чему равна энергия Ферми вг? Чему равны ферми евские импульсы в направлениях [110[ и [! 11[ [диагональ грани и пространственнзя диагональ куба)? 3.40. Показать, что в металле, описанном в задаче 3.38, для малых импульсов закон дисперсии электронов проводимости изотропен. Определить эффективную массу электрона т*, 3.41. В металле, описанном в задаче 3.38, найти скорости нахо. дящихся на уровне Ферми электронов, которые движутся в направлениях [100[, [110[, [111[.
3.42. Электроны металла, описанного в задаче 3.38, находятся в постоянном электрическом поле Е, направленном вдоль оси у, Рассматривается находящийся на уровне Ферми электрон, который в начальный момент двигался вдоль оси х. Пренебрегая всеми процессами рассеяния, определить время, через которое электрон будет двигаться под углом 45' к первоначальному направлению. Каково ускорение и энергия электрона в этот момент? На какой максимальный угол может отклониться электрон от первоначальногп направления движения? 3 а м е ч а н и е. В действительности электрон, энергия которого превышает энергию Ферми, будет испускать фононы, и такое цдеализированное рассмотрение оказывается неверным.
3.43." Оценить ширину зоны проводимости в кристалле с простой кубической решеткой, используя модельный закон дисперсии, приведенный в задаче 3.38 с Юв > О. Считать эффективную массу электрона т' вблизи дна зоны проводимости равной массе свободного электрона. Постоянная решетки а = 3 А. 3.44. Для значений параметров металлов 1 группы Ма (вг — — 3,22 эВ, 0 = 158 К) и Сп (вг = 7 эВ, 0 = 347 К) найти температуру Т', при которой электронная и решеточная теплоемкостн становятся равными.
3.45. Оценить решеточный и электронный вклады в теплоемкость серебра при температурах 300 и 3 К. Дебаевская температура равна 0 = 220 К. Электронную теплоемкость считать по модели свободных электронов, концентрация которых равна и = 5,9 10зз смз. 3.46. Для одновалентного металла, описываемого моделью свободных электронов, энергия Ферми вг — — 7,0эВ, а отношение эффективной массы к массе свободного электрона т*/т, = 1,5. Найти электронный вклад в теплоемкость кристалла при 1 К и величину дебаевского волнового вектора фононов Кп. 3,47. Оценить дебаевскую температуру некоторого одновалентного металла с простой кубической решеткой, если известно, чтт скорость звука з= 3000 м/с, а коэффициент пропорциональности г температурной зависимости электронного вклада в теплоемкосп при низких температурах "? = 60 Дж/[мз град).
Эффективную мас. су считать равной массе свободного электрона. 3.48. В модели свободных электронов найти энергию Ферми в~ магния, если его теплоемкосгь Ср, = 6 мДж/[моль К) при темпера. 130 туре Т~ = 4 К и Срз — — 2,25 мДж/(моль К) при температуре Т,=2 К. 3.49. Кусок серебра с температурой Т, = 0,1 К приводится в тепловой контакт с куском золота той же массы, имеющим температуру Т =0,2 К. Найти их конечную температуру.
Учесть, что металлы имеют одинаковые типы и практически одинаковые параметры кристаллических решеток. 3.50. При измерении теплоемкости металла в области низких температур (Т((0) получены следующие результаты: Т,К 1,41 2 2,45 3 Сю 1О якал/град моль 3,1 6,26 9,8 15,7 Оценить величину температуры Ферми этого металла. 3.51: Энергетический спектр электронов в кристаллах конечных размеров является дискретным. Используя модель свободных электронов, оценить наименьший линейный размер Е кристалла меди, при котором это обстоятельство еще не сказывается на его удельной электронной теплоемкости при температуре Т = ! К.
Решетка меди является гранецентрированной кубической, плотность меди р = 8,96 г/смз. 3.52*. В отсутствии электрического тока внешнее статическое электрическое поле, нормальное к поверхности, проникает лишь в тонкий приповерхностный слой металла. Определить закон, по которомуу потенциал фх) убгявает в глубь металла, считая, что полное падение потенциала р чсег/е. Оценить глубину проникновения поля (длину экранирования Томаса — Ферми 1гг) для обычного металла типа Ха (пв 10мсм з, гг 5эВ, диэлектрическая проницаемость 1) и полуметалла типа В! (пв 3 1О'~см ~„вв 2 10 ~эВ, е 100). Ч'емпература Т = 0 К.
У к а з а н и е. Диэлектрическая проницаемость е определяется поляризацией электронов внутренних оболочек, не участвующих в электроп роводности. 3.53. Образцы натрия и меди, каждый объемом Р = 1 смз, расположены таким образом, что емкость между ними С = 1 пФ. Образцы соединили проволокой. Каково относительное изменение числа электронов проводимости в натрии при установлении равновесия? Исходиое значение концентрации электронов в !9а п = 2,65 1Оз~ см з.
Раоота выхода, т. е. разность энергий электрона в вакууме и внутри металла на уровне Ферми, для Ха равна А, = 2,3 эВ, а для Св равна Аз = 4,5 эВ. У каза и ие. В металлах, находящихся в электрическом контакте, электроны иа уровне Ферми должны иметь одинаковую энергию.
3.54. Провести оценку Лп/и (см. предыдущую задачу) при непосредственном соприкосновении кусков Ха и Сц объемом и размерами Р = 1 х 1 х! смз, считая, что контакт осуществляется в нескольких ~очках, а средняя величина зазора остается равной И 1 мкм. !з~ 3.55'. Оценить контактную разность потенциалов между двумя кубиками из одинакового металла с простой кубической кристаллической структурой, если их стороны равны соответственно 1 ем и 1О ь см.
3.5б.' Получить закон преломления для электронов, проходящих через плоскую границу раздела двух металлов с концентрацией электронов п, = 1 1022 смз и пт — — 8 1022 смз. В каком из металлов электроны претерпевают полное внутреннее отражение? Закон дисперсии в обоих металлах изотропен. Найти угол полного внутреннего отражения электронов с фермиевской энергией. 3.57.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
