Овчинкин часть 3 (1181127), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При Т< 0,6 К основным типом возбуждений в жидком Не являются фононы, и, как показывают эксперименты, величина теплопроводности прямо пропорционзльнз диаметру кзпиллярз, в котором проводятся измерения. Чему равен коэффициент теплопроводности х при Т = 0,3 К, если при 0,6 К он в таких экспериментах равен 0,2 Вт/(см К)7 2.68. Оценить максимально возможную величину коэффициента теплопроводности цилиндра диаметром г? = 3 мм из кристаллического искусственного сапфирз при температуре 30 К. Температура Дебая у сапфира 0 = 1040 К, скорость звуки з = 104 м/с, з его теплоемкость при Т (~ 0 определяется выражением ср — — — — 0,1 Тз Дж/(мз К). 2,69'.
Теплопроводность цилиндра из сапфира максимальна при Т= 30 К. Пользуясь результатом предыдущей задачи, оценить величину х при температуре жидкого азота Т = 80 К. В области зз максимумом коэффициент теплопроводности хорошо описывается зависимостью х сх Тз ехр (О/2Т), Температура Дебая у сапфира 0 = 1040 К, (Экспоненцизльный сомножитель в вырзжении для х(Т) возникает из-за того, что вклзд в теплопроводность дают только процессы переброса). 2.70'. При малых (упругих) деформациях сдвига, когда сдвиг х много меньше постоянной решетки а, выполняется закон Гука ~гз х и — 6 —, где о — напряжение сдвига, б — модуль сдвига, г/ — рас- 4 стояние между атомными плоскостями, вдоль которых приложено напряжение сдвига.
Для идеализированной модели кристалла Я. И, Френкель дал теоретическую оценку критического напряжения сдвига, при котором произойдет необратимая деформация кристалла а, — 6/6. Получить эту оценку. 2.71. В одномерной цепочке БпО найти отношение средних квадратов амплитуд нулевых колебаний, соответствующих акустической и оптической ветвям в узком диапазоне волновых векторов вблизи коротковолновой границы первой зоны Бриллюэна. 2.72'. В очень длинной (/т'~ 100) одномерной цепочке, на один из атомов, расположенный далеко от концов, воздействуют внешним источником с частотой / = 1,001/„, где /в — максимальная частота собственных колебаний цепочки. Найти отношение смещения данного атома и атома, отстоящего от него на /У = 100 межатомных расстояний.
2.73. Титановый шар-зонд (радиусом Я= 1 м, толщина стенки И = 1 мм), нагретый до температуры Т = 1000 К, выпущен из искусственного спутника, находящегося в тени Земли. За какое время его температура упадет на оТ = 10 К, и какую энергию при этом потеряет оболочка шара, а какую тепловое излучение внутри шара? Дебаевская температура титана О = 420 К, плотность р = 4,5 г/смз, относительная атомная масса Л = 48.
Внутреннюю поверхность шара можно считать абсолютно черной, коэффициент отражения наружной поверхности г = 0,77. 2.74. Найти в дебаевском приближении среднеквадратичную амплитуду нулевых колебаний атома в кристалле с плотностью р = 19,2 г/смз, дебаевской температурой 0= 383 К и усредненной скоростью звука з = 3,13 10з см/с. 2.75.
Если отношение среднего квадрата амплитуды нулевых колебаний атомов к квадрату постоянной решетки составит при Т = 0 К величину а = 0,01, то велика вероятность их делокализации (такое состояние называется «квантовый кристалл»). Оценить в дебввской модели длину одномерной цепочки атомов, при которой наступает делокализация.
Масса атома гл = 50 а. е. м., межатомное расстояние и = 3/г, скорость звука з = 3 1Оз см/с. Учитывать только продольные колебания, Граничные условия — периодические. У к а з а н и е. Для оценки считать, что суммирование по всем модам колебаний можно заменить интегралом. 2.76'. Оценить в дебаевской модели размер 2, двумерной квадратной решетки атомов, при котором отношение среднего квадрата амплитуды колебаний к квадрату постоянной решетки составит при температуре Т = 650 К величину а = 0,025. Относительная масса атома А = 150, межатомное расстояние и = 5 А, скорость звука з = 4 10зсм/с.
Учитывать колебания только в плоскости решетки. Граничные условия — нулевые. 124 У к а за н не. Для оценки считать, что суммирование по всем модам колебаний можно заменить интегралом. 2.77. Нерадиационные переходы для подуровней электронною 15— состояния атомов парамагнетика в магнитном поле могут происходить за счет передачи энергии фонону, а момента импульса — всему кристаллу 1за счет спин-решеточной релаксации).
Оценить минимальные линейные размеры кристаллов парамагнетика, при которых такое снятие возбуждения возможно. Усредненная скорость звука в кристалле 5 = 3,2 км/с, индукция магнитного поля В = 0,1 Тл, смешение атомов на границах кристалла считать равным нулю. 2.78." В алмазных наковальнях сжатие твердых образцов осуществляется до мегабарных давлений.
Потенциал отталкивания между атомами можно аппроксимировать степенной функцией 11(х) сс х г (~»»1), где х — относительное расстояние между двумя соседними атомами. Определить, во сколько раз изменится температура Дебая такого кристалла при увеличении давления от Р, = 200 кбар до Р2 = 1,8 Мбар. Жесткость кристалла в сжатом состоянии определяется второй производной от отталкивательной части потенциала. 8 3. Электроны в металлах. Ферми-частицы 3.1; При сближении атомов происходит перекрытие волновых функций внешних валентных электронов, которые получают возможность двигаться по кристаллу благодаря туннельному эффекту.
При этом 1У стационарных атомных уровней расщепляются в полосу 1зону), содержащую Л' квазинепрерывных (при %»»1) стационарных уровней. Считая, что в атоме электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а= 2 А на глубине равной энергии ионизации ив = 10 эВ, а ширина барьера, разделяюшего ямы, И = а, оценить ширину зоны. Формально ширина зоны может быть оценена, как уширение уровня энергии электрона при туннелировании в соседнюю яму. Учесть, что при слабом перекрытии волновая функция электрона в кристалле является линейной комбинацией атомных волновых функций. 3.2'. Вычислить фермиевские энергию, импульс и скорость при Т= 0 для металла с изотропным квадратичным законом дисперсии электронов с эффективной массой и*, равной 0,8 массы свободною электрона, и концентрацией электронов и = 10~~ см ~.
3.3, Для электронов с квадратичным законом дисперсии найти связь между средней энергией с н фермиевской энергией ск при температуре Т = 0 К. 3.4. Металлический 1х1а кристаллизуется в кубическую объемноцентрированную решетку с расстоянием между ближайшими атомами д = 0,37 нм. Найти среднюю кинетическую энергию электронов, предполагая, что их закон дисперсии является квадратичным. ! 25 нитные моменты нейтронов? Процессами распада нейтронов пренебречь. 3.14.
Оценить, сколько ультрахалодных нейтронов может быть накоплено в медной ловушке (рис. 74) объемом У = 10 л, Количество поступающих нейтронов компенсирует их убыль за счет распада, Критическая скорость нейтронов для меди и„р — — 5,7 м/с. Принять, что температура стенок ловушки 0 К, а нейтронный фермигаз вырожден. »» юш 3.!5.' Рассматривая гипотетическое тяжелое ядро с 2: = Л' и считая распределение нуклонов в ядре однородным, оценить их ферми- < » евскую скорость в модели свободных нуклонов, 3.16. Оценить среднюю энергию на один пк нуклон в модели нуклонного ферми-газа.
Счи- О ~и„юччч„ тать Л'= У = А/2. 3.17'. Оценить минимальную энергию е, Рис. 74 гамма-кванта, необходимую для однонуклонного возбуждения тяжелого ядра с У= Л~, А = 238, рассматривая нуклоны в ядре как ферми-газ. Каким будет по порядку величины эффективное сечение такого процесса'? 3.18. Оценить в модели ферми-газа глубину нейтронной потенциальной ямы в ядре 2ЗЗ'с?, если энергия отделения нейтрона в этом ядре (его энергия связи) равна Ю,„ = 7,6 МэВ. 3.19'. Для тяжелого ядра с Е = М вычислить кулоновскую энергию атомного ядра и кинетическую энергию нуклонов в модели ферми-газа при равномерном распределении протонов и нейтронов в ядре и в гипотетическом случае, когда протоны полностью вытеснены кулоновским отталкиванием на периферию.
Какое состояние является энергетически более выгодным? Ядро считать имеющим жесткую сферическую форму, «объем» нуклонов считать равным объему ядра, 3.20. В некоторых опытах по измерению времени жизни протона используются протоны атомных ядер, например ядер атомов железа. Производится поиск продуктов распада для одной из возможных мод распада р- е" + пв. Оценить наименьший угол В разлета частиц е~ и лв с учетом фермиевского импульса рг протона, входяшего в состав ядра железа. 3.21. Во сколько раз уменьшается пороговая кинетическая энергия протона при генерации пары протон и антипротон, если в качестве мишени использовать не покоящийся протон жидкого водорода, а протон, входящий в состав тяжелого ядра, 3.22.
Давление электронною газа является основным фактором, определяющим сжимаемость металлов при низких температурах. Найти давление Р и сжимаемость рг электронного газа для меди при температуре Т = 0 К, если концентрация электронов проводимости равна п = 8,5 1022 см з. Эффективную массу и* считать равной массе свободного электрона т,. 127 3.23. Найти скорость звука з в нейтронном газе при температуре 7'= 0 К, если максимальная скорость нейтронов в газе и = 200 м/с (см. также задачу 3.86).
3.24. Твердый водород является диэлектриком, плотность которого при нормальном давлении равна 0,076 г/смз. Чтобы водород стал металлом, энергия Ферми его электронов должна быть равной потенциалу ионизации. При каком давлении возможен переход водорода в металлическое состояние? Какой плотности водорода зто соответствует? 3.25". Оценить температуру в центре «железной» звезды (Л вЂ” 60), представляющей собой полностью ионизованный плазменный шар радиусом Я = 10» км и плотностью р = ! 0 кг/смз. Указа н не. Уравнение 7 5бх4+ 0 414х — 140= 0 имеет корень х 2,072.
3.26'. Показать, что для белых карликов (звезда, состоящая из полностью ионизованных атомов с зарядом У) из условия равенства гравитационного давления и давления электронного газа следует соотношение М/!з = сопя!. Электроны считать нерелятивистскими. 3.27. Определить плотность энергии и давление электронного газа, в котором максимальная энергия электронов ег = 1 ГэВ, температура Т = 0 К, а кулоновское отталкивание компенсируется однородно распределенными положительными зарядами (идеальный вырожденный ультрарелятивистский газ). 3.28. В плотном холодном веществе звезды (белых карликах) существуют только голые ядра и электроны, образующие вырожденный электронный газ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
