Овчинкин часть 3 (1181127), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При быстром охлаждении кристалла число вакансий, соответствовавших термодинамическому равновесию при высокой температуре, почти не изменяется, т. е. вакансии могут быть «заморожены». После че. го при низкой температуре происходит медленный процесс установления нового термодинамического равновесия, как говорят, «отжиг» вакансий. Определить изменение температуры алюминиевого образца при адиабатическом отжиге вакансий, замороженных в ре. зультате быстрого охлаждения образца от температуры плавления алюминия 11 = 660 'С до комнатной температуры гъ Теплоемкость алюминия можно определить из классической теории.
Энергия образования вакансий в алюминии Б = 0,75 эВ. 2.44. Ядро зНе имеет спин / = 1/2. Найти молярную энтропию 5 кристаллического Не при низкой температуре Т. Считать, что температура Т««0 (Π— дебаевская температура), так что практически все колебательные степени свободы «выморожены», но ядерные спины остаются тем не менее полностью разупорядоченными. При этих же предположениях найти энтропию кристаллического аргона-37; спин ядра аргона равен! = 3/2. 2.45. Оценить, при какой температуре энергия тепловых колебаний кристаллической решетки А! равна тепловой энергии жидкого гелия при 1 К (в обоих случаях сравнивается энергия на единицу 119 объема).
Считать все возбуждения акустическими фононами. Скорости звука: зн"' = 240 м/с, продольного х~"' — — 6260 м/с, поперечного з,"' = 3080 м/с. 2.46. Энергетический спектр фононов в кристаллах в силу конечных размеров кристаллов является дискретным. Оценить наибольший размер Е кристалла поваренной соли. имеюшего форму кубика, при котором это обстоятельство сказывается на его удель.
ной теплоемкости при температуре Т= 1 К. Дебаевская температура кристалла 0 = 275 К, плотность р = 2,17 г/смз, молярная масса р х 58,45 г/моль. Считать, что вкладом поверхностных колебаний можно пренебречь. 2.47'. Оценить, насколько изменится количество теплоты, требуемое для нагрева единицы объема кристаллического кластера, состоящего из нескольких сотен атомов, от Т, =0 К до температуры Тз = О/30, по отношению к количеству теплоты, требуемого для такого же нагрева единицы обьема того же вешества бесконечных размеров, если характерный размер кластера /.= 10а, где а — постоянная решетки, а 0 — температура Дебая.
Считать, что возбуждаются только объемные фононы, а вкладом поверхностных колебаний можно пренебречь. Кроме того, движение кластера как целого и его вращение не учитывать. 2.48." На часть плоской поверхности диэлектрического кристалла, граничащего с вакуумом, нанесена металлическая пленка !рис. 71) толшиной и = 0,1 мкм. По пленке течет электрический ток с поверхнопстной плотностью 1 = 1А/см. Кристалл охлажден до температуры Т 0 К. Определить температуру пленки, пренебрегая тепловым сопротивлением границы между пленкой и кристаллом и полагая пробег фононов в кристалле много большим поперечного размера пленки. Удельное сопротивление пленки р = 10 ь Ом см, усредненная ско- рость звука в кристалле х = 3 10з см/с.
! ! 2.49. Сквозь кристалл диэлектрика, охлажденный до температуры вблизи абсолютного нуля, пропускается луч света Рис. 7! диаметром ~1 = 1 см. Размеры кристалла Р~~г/. В кристалле поглощается мошность И' = 100 Вт/см (на единицу длины луча). Оценить температуру кристалла Т внутри пучка. Для оценки считать, что все тепло уносится акустическими фонона ми с длиной пробега /, ~~ г! внутри нагретой области пучка и !з~>/! вне пучка. Дебаевская температура кристал,та 0 = 300 К„концентрация атомов и = 1Ом см з, 2.50. Одной из причин нарушения работы сверхпроводящих соленоидов является скачкообразное движение витков под действием поидеромоторных сил, в результате которого происходит тепловыделение и нагрев сверхпроводника выше критической температуры. В современных сверхпроводяших кабелях основную массу кабеля составляет не сам сверхпроводник, а медь, плотность которой р = 8,96 г/см", а температура Дебая 0 = 347 К.
Пренебрегая тепло- пю отводом от обмотки, оценить допускаемое смещение витка в обмотке такого соленоида, работающего при температуре Т, = 4,2 К, если средняя плотность тока в обмотке / = 5000 А/смз, магнитное поле на облютке В = 40 крс, а максимально допустимая теьчпература сверхпроводникз равна Т, = 8 К. У к а з в н и е: принять, что витки растягиваются, увеличивая свой радиус, а тепловыделение при таком перемещении витка равно работе пондеромоторных сил, 2.51. В обмотках больших сверхпроводящих соленоидов механические напряжения, обусловленные пондеромоторными силами, достигают предела упругости материала.
При низких температурах и таких механических нагрузках, как показывают опыты, возможны скачкообразные изменения величины механического напряжения в кабеле, в результате которых происходит тепловыделение, способное нарушить работу сверхпроводящего соленоида. В современных сверхпроводящих кабелях основную массу кабеля составляет не сам сверхпроводник, а медь„плотность которой р = 8,9б г/смз, модуль Юнга Е 10т Н/смз, температура Дебая 0=347 К.
Пренебрегая теплоотводом от обмотки, найти максимально возможное повышение температуры некоторого элемента обмотки сверхпроводящего соленоида, работающего при температуре Т = 4,2 К, при скачкообразном уменьшении напряжения о' = 104 Н/смз на величину д = 5 "/. Указа н не: принять, что освобождающаяся упругая энергия целиком переходит в тепло. 2.52. В ферромагнетикзх при низких температурах заметный вклад в тепловые процессы вносят колебания в системе поляризованных спиновых моментов — спиновые волны, для которых закон дисперсии имеет вид гв = ЛК, где Л вЂ” некоторая константа, К вЂ” вол- 2 новой вектор, а среднее число квантов — магнонов — в тепловом равновесии определяется той же формулой Планка, что и для фононов. Выяснить характер температурной зависимости вклада магнонов в теплоемкость ферромагнетиков.
2.53. В антиферромзгнетиках (спиново упорядоченных магнетиках с антипараллельными магнитными моментами соседних атомов) закон дисперсии длинноволновых магнонов (см. задачу 2.52) имеет вид ш = ~ К ) а, где фазовая скорость г = сопз1. Отличительным свойством магнонов в антиферромагнетиках является то, что для каждого значения волнового вектора К возможны два состояния поляризации. Найти отношение вкладов магнонов и фононов в теплоемкость при низких температурах для кристалла с величиной г = 3,0 10з см/с и усредненной скоростью звука з = 5,0.10з см/с. 2.54.
Капиллярные волны нз поверхности (ззкон дисперсии ю~= оКз/р) могут вносить при низких температурах значительный вклад в теплоемкость жидкого гелия. Какова температурная зависимость «поверхностной» (на единицу плошади) теплоемкости гелия при Т 0 К? ! 21 2.55. В 4Не, который при атмосферном давлении остается жидким при 7' 0 К, колебания в области низких температур целиком описываются продольными акустическими фононами. Получить формулу для низкотемпературной теплоемкости и вычислить ее для гелия при Т= 0,1 К, приняв для скорости звука значение з = 240 мlс.
2.56. На рис. 72 приведена фононная область экспериментально определенного закона дисперсии квазичастичных возбуждений в жидком 4Не. Энергия квантов выражена в кельвинах: е = Ьсо/йв. Исходя из этих данных, определить скорость нейтронов, для которых при рассеянии в жидком "Не на 180' в результате испускания или поглощения одного фонона происходит максимальное изменение энергии нейтронов. 2.57. Тепловые свойства жидкого 4Не при Т < 0,6 К в основном обусловлены длинноволновыми фононами. Исходя из данных, приведенных на рис.
72, определить теплоемкость жидкого 4Не при !о 7'= О,! К. Какова энергия в,„фононов, воз- бужденных в наибольшем количестве при в,„-~ этой температуре? Во сколько раз среднее число фононов с энергией в больше средРис. 72 них чисел фононов с энергиями в = Зс,„, с = св,/37 Температура Дебая 19 К. У к а з а н и е: Трансцендентное уравнение хе' — 2е" + 2 = 0 имеет корень х 1,59. 2.58. При температурах 7'= 0 К газ фононов в жидком гелии можно считать идеальным. Полагая, что энтропия жидкого гелия определяется фононами, найти ее удельное значение при температуре 7'= 0,5 К, если плотность гелия р = 0,145 г/смз и скорость звука з = 240 м/с. Температура Дебая !9 К. 2.59. Два сосуда, разделенные теплонепроницаемой перегородкой с отверстием плошадью 4 = 1 ммз, заполнены жидким гелием и поддерживаются при температурах 7', = 4 К и 7'з = 0,5 К.
Считая, что при этих температурах фононы являются единственным типом тепловых возбуждений и представляют собой идеальный газ, найти тепловой поток Ф между сосудами, если скорость звука з = 240 м/с, а температура Дебая 19 К 2.60'. Получить формулу тонкой структуры линий рэлеевского рассеяния, исходя из представлений о фотонах и фононах. 2.61. Найти максимальную частоту фонона й, который может родиться в жидкости под действием света с длиной волны Х = 4000 А. Показатель преломления среды л = 1,5, скорость звука в жидкости ь = 1,5.
10з см/с. 2.62. Спектрометром анализируется свет от лазера с длиной волны 1 = 6328 А, рассеянный под углом <р = 90' в воде (л = 1,33). Какова должна быть разрешающая способность спектрометра, чтобы различить линию, соответствующую неупругому рассеянию света с рождением фонона'? Скорость звука в воде в = 1,5 10з см/с. 122 2,63. Излучение рубинового лазера рассеивается нз звуковых колебаниях в воде. При рассеянии происходит доплеровское смещение чистоты светл.
Оценить число штрихов М дифрзкционной решетки, с помощью которой в первом дифракционном порядке можно обнзружить смещение частоты в свете, рассеянном под прямым углом. Скорость звука в воде равна з = 1500 м/с, показатель преломления л = 1,33. Считать, что в воде есть звуковые волны всевозможных направлений. 2.64. Фононы рассеиваются в кристалле нз примесных центрах с поперечником рассеяния и порядка геометрического (1О гз см ). Оценить фононную теплопроводность кристзлла при температуре Т = 30 К, если концентрзция примесей л = 1Огз см з, з скорость звука х = 3 10 см/с.
Оценить также толщину г? кристалла, при которой начнет сказываться рассеяние фононов на границах образца. 2.65. Измерения коэффициента теплопроводности х кристалла 1з?г покззали, что в области температур, меньших 7 К, величина х/Тз не зависит от температуры, а зависит только от толщины огг рззцз Ь, и для Ь = 1 мм величина х/Тз = 22,5 мВт/(см К4). Как изменится эта величина при увеличении толщины образца в 4 раза? 2,66. При достаточно высоких температурах (в диапазоне от 30 до 100 К) в твердом аргоне (Ою — — 92 К) произведение коэффициента теплопроводности к на температуру Т в пределах ошибок принимает постоянное значение, равное примерно 235 мВт/см. Оценить, как изменится длина свободного пробега фононов в твердом зргоне при изменении температуры от 50 до 100 К. 2.67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
