Овчинкин часть 3 (1181127), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Это неравенство выполняется вследствие малости «адиабатического параметра» (лг/М)п«(<1, где гп и М— массы электрона и атомного ядра. Пользуясь моделью двухатомной молекулы, показать, что: 1) и /а (т/М)п«; 2) йсо Ву1т/М)пз, где ш — частота колебаний атомов, Ву = 13,6 э — энергия связи электрона в основном состоянии атома водорода; 3) Ы,р ку(гп/М), где Ль,р — расстояние между нижними вращательными уровнями молекулы, 2.!4'. Цепочка из Ж одинаковых атомов замкнута в кольцо, Подсчитать число возможных (допустимых) бегущих волн и сравнить его с числом степеней свободы системы. Рассмотреть случаи продольных 115 и поперечных колебаний, когда атомы смещаются вдоль цепочки и перпендикулярно ей. 2.15.' Одномерная цепочка состоит из атомов массой т, среднее расстояние между которыми равно а, а жесткость связей между ними "Ь Атомы взаимодействуют с ближайшими соседями по закону ?(и„, — иь)зй, где иь — смешение и-го атома относительно положения равновесия.
Найти все продольные нормальные колебания и спектр их частот гв(К), К вЂ” волновое число. Найти фазовую и групповую скорости волн как функции волнового числа К, Построить графики полученных зависимостей. Указать область, отвечающую звуковым волнам, и выразить скорость звука з через ш и 2.16". Найти импульс одномерной цепочки, состоящей из Ф одинаковых атомов с массой М, в которой возбулдена волна с волновым вектором К. Используя периодические граничные условия, показать, что этот импульс равен нулю для всех К~ О. Пояснить физический смысл полученного результата.
2.17'. Оценить температурный коэффициент линейного расширения а кристалла, используя в качестве модели двухатомную молекулу, в которой потенциальная энергия взаимодействия состав.— ляющих ее атомов имеет вид 1/(х) = ух~ — Ьхз — ()х', где ив смещение атома относительно положения равновесия при 0 К. Ангармонический член Ьхз описывает асимметрию взаимного отталкивания и отвечает за тепловое расширение, член Дх4 описывает сглаживание колебаний при больших амплитудах.
Оценить величины у и р, а также а, выразив их через фундаментальные физические константы. Считать, что движение ядер подчиняется законам классической механики. 2.18. Потенциальная энергия атома в кристалле хорошо описывается функцией (/(х) = /х~ — Ьхз, причем можно считать, что (/(а) — О, где х — отклонение атома от положения равновесия, а ив постоянная решетки. Оценив параметры у и Ь, найти (в эВ) энергию связи атома в кристалле серебра, считая ее примерно равной глубине потенциала.
Скорость звука в серебре з = 2,6. 10з см/с. 2.19. Как изменится частота колебаний одномерной моноатомной цепочки, если сдвиг фазы между колебаниями соседних атомов возрастает от х/3 до и? 2.20. В одномерной цепочке, построенной из одинаковых атомов, скорость звука равна з = 2.10з см/с, а постоянная решетки а= = 0,3 нм. При какой частоте колебаний ш сдвиг фаз между двумя атомами, находящимися на расстоянии 10а, составит л/2? 2.21.
Цепочка, описанная в зад. 2.20, находится в тепловом равновесии при температуре Т = 500 К. Каково отношение среднего числа фононов с величиной квазиимпульса, соответствующей границе зоны Бриллюэна р,„= Ап/а к среднему числу фононов с квазиимпульсом р я„/2? Каково это отношение при температуре 10 К? 2.22. Каково отношение числа фононов с дебаевской частотой шн — — /1в0/Ь к числу фононов с шп/2 в кристалле, описываемом моделью Дебая, при температурах Т, = 0 н Тз = О/107 2.23: Для некоторых металлоорганических соединений индия моделью молекулы может служить одномерная цепочка из Ф = 10 одинаковых атомов пз!п. Цепочка находится при Т = 0 К и полностью изолирована от окружающей среды. Ядро одного из атомов, находившееся в возбужденном состоянии, испускает /-квант с энергией б, = 350 кэВ.
Определить температуру Т цепочки после установления теплового равновесия между атомами пз 1п. Учесть все типы колебаний. Считать усредненное значение скорости звука к = 1,5 10з см/с, межатомное расстояние а = 3 Л. 2.24. Найти закон дисперсии ш(К) для продольных фононов в бесконечной цепочке, содержащей в элементарной ячейке два атома с массами т и М.
Расстояние между соседними атомами равно и, а жесткость связей между ними 7. Построить график полученной зависимости. Проследить предельный переход к одноатомной цепочке при т/М-»!. 2.25. Найти поляризуемость п(ш) в длинноволновой области спектра (в расчете на одну элементарную ячейку) для цепочки, содержащей в элементарной ячейке два разноименных однозарядных иона. Остальные условия такие же, как и в задаче 2.24. Электрический вектор возбуждающей электромагнитной волны с частотой ш ориентирован вдоль цепочки. Влиянием кулоновских сил, вызванных переменной поляризацией, пренебречь. 2.26. Статические диэлектрические проницаемости с(0) ионных кристаллов г)аГ и ХаВг, обусловленные поляризацией решетки, равны 5,1 и 6,4, а их плотности — 2,79 и 3,21 г/смз.
Полагая, что с обусловлено только поляризуемостью смещения, оценить отношение частот поперечных оптических фононов. Указан не: воспользоваться соотношением Клаузиуса — Моссотти. 2.27. Для колебаний плоской квадратной решетки одинаковых атомов, упругие силы между которыми характеризуются постоянной 2 27 'д закон дисперсии имеет вид шз = — (2 — соз К»а — соз К„а), где оси х и у направлены вдоль сторон квадрата, и — постоянная решетки.
Показать, что для длинных волн закон дисперсии изотропен, т.е. ш зависит только от модуля волнового вектора. Используя приближение Дебая, определить граничную дебаевскую частоту шр и величину волнового вектора Кп. 2.28'. Из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов на кристалле КВг известно, что максимальная частота поперечных акустических фононов, бегущих вдоль ребер элементарного куба, составляет ш,„= 7,85 1017 с '. Оценить в рамках модели одномерной цепочки скорость звука.
Плотность кристалла р = 2,75 г/смз. Решетка КВг — гранецентрированная кубическая, типа решетки ХаС! (см. задачу 2.4). 2.29. Оценить частоту колебаний атомов в кристалле меди, считая ее решетку простой кубической с постоянной 3,6 А. Модуль упругости кристалла равен Е = 130 ГПа. 2.30. Оценить, какую долю постоянной решетки а = 5,8 /г твердого криптона составляет амплитуда продольных колебаний атомов вдоль одного из ребер элементарного куба при температуре плавления Т,х = 117 К. Учесть, что дебаевская температура криптона 0 = 72 К. 2.31". Пользуясь законами сохранения энергии и импульса, рассмотреть в идеальном кристалле неупругое рассеяние нейтронов с рождением и поглощением фононов.
Обсудить возможность восстановления закона дисперсии фононов со(К) по нейтронному рассеянию. 2.32: Найти температурную зависимость решеточной теплоемкости одномерных (С,) и двумерных !Сз) кристаллов в области низких температур. Учитывать только продольные колебания атомов. 2.33. Используя аналогию между фотонами и длинноволновыми фононами, выразить низкотемпературную решеточную теплоемкость кристаллов через скорость поперечного (з,) и продольного (з~) звука. 2.34'.
Одномерная цепочка состоит из атомов с массами гп и Л/ = 9т. Оценить относительный вклад в теплоемкость продольных оптических колебаний атомов цепочки при температуре Т = О/10, где 0 — температура, соответствующая максимальной энергии реального спектра акустических колебаний.
Для оценки можно считать 0 равной дебаевской температуре в соответствующей модели. 2.35. Следуя приближениям модели Дебая, определить отношение теплоемкостей образцов бериллия Ве и меди Си одинакового объема при Т = 400 К. Плотности р(Ве) = 1,85 г/смз, р(Си) = = 8,96 г/смз. Температуры Дебая 0в, = 1481 К, Ос„= 347 К. 2.36.
При измерении теплоемкости металла в области низких температур (Т«0) получены следующие результаты: 1,08 1,24 1,46 1,62 1,91 Т, К Сю мДж/град моль 2,18 2,62 3,31 3,89 5,10 Оценить величину дебаевской температуры этого металла. 2.37. В кристалле поваренной соли ХаС! (ГППКР) при температуре Т = 1О К теплоемкость единицы объема с = 6,2. 10зДж/(К смз). Оценить усредненную скорость звука х в кристалле и его дебаевскую температуру О. Постоянная решетки 2а = 5,63 А.
Считать, что дебаевская температура относится ко всему спектру колебаний. 2.38. Найти максимально возможное увеличение /хТ температуры кусочка серебра с исходной температурой Тв при падении его с высоты л = 1 см. Рассмотреть два случая 1) Тв = 4,2 К и 2) Тв = 300 К. Температура Дебая для серебра 0 = 227 К. (Теплоемкостью электронов по сравнению с решеточной теплоемкостью можно пренебречь.) 2.39.
Железный шарик радиусом Я= 1 мм находится в центре сосуда, откачанного до высокого вакуума. В начальный момент времени температура шарика Тд = 1О К. Оценить время т, через которое температура его изменится на а = 1 "/. Дебаевская температура ;келеза 0 = 477 К, концентрация атомов и = 8,5 1Озз см з, Температура стенок Т, = ВО К. Поверхности шарика и сосуда считать абсолютно черными.
2.40. Одинаковые массы свинца шз РЬ и кремния ыб! охлаждают с помощью жидкого гелия от температуры Т, = 20 К до Т= 4,2 К. Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлажде. ния свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны: 0(РЬ) =!05 К и 0(51) = 645 К. Теплоемкостью электронов пренебречь.
2.41. После предварительного охлаждения железа з»Ре с массой М=! кг жидким азотом до температуры Т, = 77 К производят дальнейшее понижение температуры до Тз = 4,2 К с помощью жидкого гелия. Определить объем испарившегося при этом гелия, если теплота испарения жидкого гелия д = 2,6 Дж/смз и лебаевская температура железа 0 = 477 К. Вкладом электронной теплоемкости железа пренебречь. 2.42.
Параметры кристаллических решеток кремния и германия практически одинаковы, также как одинаковы их модули упругости. Оценить, как соотносятся между собой дебаевские температуры этих элементов. 2.43. Вакансией называется дефект кристалла, возникающий при удалении атома из узла кристаллической решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
