Краткий курс термодинамики (1178197), страница 29
Текст из файла (страница 29)
к. теперь температура — функция двух переменных: координаты ивремени.) Это количество тепла будет «оседать» в объёме между сечениями и + . Температура заключённого в этом объёме вещества(при единичном сечении) будет меняться в соответствии с уравнениемтеплового баланса: = Vуд ( /). Приравнивая друг другу двавыражения для и учитывая выражение (7.3) для , получаем(︂)︂уд V=κ.(7.11)Чаще рассматривается случай, когда κ = const, и тогда уравнениепринимает видκ22==.(7.12)уд ·V 22Именно уравнение (7.12) исследуется в разделе математики, «уравнения математической физики» под названием уравнение теплопроводности.2∘. Броуновское движение.
Открытое Брауном и подробно исследованное Перреном хаотическое блуждание взвешенных в жидкостиполумикроскопических частиц (характерный размер ≈ 10−6 м, 1 микрон) сыграло в своё время важную роль в доказательстве молекулярного строения вещества.Теоретический анализ броуновского движения (Смолуховский иЭйнштейн) видит причину его во флуктуациях давления, числа ударов молекул по частице с разных направлений.
В результате частицакак целое должна двигаться со средней кинетической энергией на степень свободы, равной /2. Частица микронных размеров испытывает§ 23. Некоторые нестационарные процессы145миллиарды ударов в секунду, и измерение скорости её движения невозможно. Реально можно измерить смещение частицы после гигантскогочисла соударений, когда она много раз поменяла величину и направление скорости.Чтобы выяснить характер зависимости смещения от времени, проанализируем простую модель.1) Б л у ж д а н и я «а б с о л ю т н о п ь я н о г о ч е л о в е к а».Предположим, потерявший ориентировку человек держится за стенку,т.
е. рассмотрим одномерный случай. Время от времени он делает шаг,но направление очередного шага абсолютно непредсказуемо. Как далеко уйдёт такой человек от начального положения за некоторое количество шагов? После первого шага (длину шага естественно взятьза единицу расстояния) он может с равной вероятностью оказаться вточках с координатами −1 и +1. После двух шагов он в одном случаепопадёт в точку −2, в одном — в точку +2, и в двух случаях вернётсяв исходное положение. После трёх шагов, когда возможны 8 вариантов «траектории», набор возможных конечных пунктов таков: −3, трираза по −1, три раза по +1 и один раз +3.Как и следовало ожидать, среднее смещение во всех случаях равнонулю. Но средний квадрат смещения, как нетрудно подсчитать, линейно растёт со временем.
После первого шага он равен 1, после второго —2, после третьего — 3. Можно продолжить анализ, и эта зависимостьподтвердится.если средний квадрат смещения за шагов равен⟨︀ Действительно,⟩︀( )2 , a за один шаг перемещение равно 1 , то после следующегошага⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀⟨︀⟩︀(+1 )2 = ( + 1 )2 = ( )2 + 2 ⟨( 1 )⟩ + (1 )2 .Второе слагаемое обращается в ноль, так как сомножители статистически независимы и среднее значение каждого из них равно нулю. Мыполучаем линейную зависимость квадрата смещения от числа шагов.Если такой человек много раз совершит подобную прогулку, можноожидать, что средний квадрат его удаления от исходной точки будетпропорционален времени.Естественно ожидать, что средний квадрат смещения броуновскойчастицы тоже линейно зависит от времени, ведь её перемещения вполнеаналогичны блужданиям не выбирающего дороги человека.2) С м е щ е н и е б р о у н о в с к о й ч а с т и ц ы.
Воздействие среды (газа, жидкости) на движущееся в ней тело состоит146Глава VII. Процессы переносаиз ударов молекул. Однако, если, например, тело движется под действием постоянной силы 0 , можно вычленить регулярную составляющую воздействия среды — силу сопротивления, обычно пропорциональную скорости тела. Тогда регулярное движение тела (на котороемогут накладываться хаотические блуждания) определяется уравнением ¨ = 0 − /.˙Если сила действует достаточно долго, движениестановится равномерным с установившейся скоростью ˙ уст = 0 . Коэффициент называется подвижностью частицы.
Теперь рассмотримдвижение такой частицы под воздействием хаотически меняющейсясилы , что характерно для броуновского движения. Умножив уравнение движения на и использовав соотношения (2 )/ = 2˙ и2 (2 )/2 = 2¨ + 2()˙ 2 , получим 2 (2 )−2 2(︂)︂2− +1 (2 )= 0.2 Усредним полученное выражение по времени. Второй член по закону равнораспределения равен просто . Третий член обращаетсяв нуль, т. к. ¯ = 0, ¯ = 0 и они статистически независимы. В силулинейности операций дифференцирования и усреднения их в первом ичетвёртом членах можно переставить.
Тогда получаем 2 (2 )1 (2 )− += 0.22 2 Если 2 пропорционален времени, первый член исчезает, и мы получаем формулу Эйнштейна:2 = 2 .(7.13)Для сферических частиц радиуса , движущихся в жидкости с известной вязкостью , подвижность определяется формулой Стокса: = 1/(6). Измеряя через некоторые удобные промежутки времени смещение броуновских частиц и вычисляя 2 , можно определить, вчастности, отношение /A . Именно таким образом Перрен впервыедостаточно точно определил число Авогадро.3) Б р о у н о в с к о е д в и ж е н и е к а к д и ф ф уз и я.
Рассмотрим поведение броуновских частиц в однородном поле сил (например, поле тяжести). В стационарном состоянии, когдаустановится больцмановское распределение концентрации частиц == 0 exp(− / ), поток частиц, движущихся по направлению силы§ 23. Некоторые нестационарные процессы147со скоростью , должен компенсироваться диффузионным потокомв направлении уменьшения концентрации, т. е. = −Бр /.Подставляя в последнее выражение и /, получаем соотношениеЭйнштейна:Бр = .Формула (7.13) принимает вид2 = 2Бр .(7.14)При наблюдении броуновских частиц обычно фиксируется пройденное за время расстояние в плоскости наблюдения.
Тогда, конечно,2 = 2 + 2 = 4Бр . В трёхмерном случае, очевидно:2 = 6Бр .(7.15)3∘. Распространение возмущений. При реальном наблюдении поведения броуновских частиц каждый раз измеряется смещение за время между измерениями. Мы как бы переносим начало отсчёта послекаждого измерения туда, где в этот момент застали частицу. Можно,конечно, каждый раз переносить её в фиксированное начало отсчёта —операция достаточно бессмысленная, а результат будет тот же. Но возможна ещё одна постановка опыта.
Выпустим в некоторой небольшойобласти одновременно много частиц. Если теперь подождать время,достаточно большое, чтобы величина стала заметно больше размеров области первоначального расположения частиц (тогда эту областьможно считать точкой), средний квадрат расстояния для ансамбля частиц будет также определяться формулами (7.14), (7.15).Мы не случайно опустили индекс у коэффициента . Ведь те жесамые рассуждения можно провести и в случае обычной диффузии. Заодин шаг, занимающий время свободного пробега , среднийквадрат⟩︀⟨︀удаления диффундирующей молекулы окажется равным (1 )2 = 22 .За шагов, в соответствии с моделью «абсолютно пьяного человека», наберется расстояние 2 = 2 .
При этом пройдёт время =2 к оказывается равным 2 2 /( /¯) == = /. Отношение = 2¯ = 6.Обратим внимание, что это√ равенство не означает, что большинствочастиц будет на расстоянии 6, или даже хотя бы, что в этой области будет максимальная концентрация частиц.
Ещё раз обратившиськ формуле (7.4), можно понять, что максимальной концентрация√ частиц останется в начале отсчёта. Просто до расстояний порядка 6148Глава VII. Процессы переноса 6q- √22 √-21 q21Рис. 25к моменту времени уже появится заметная концентрация частиц, ана бо́льших расстояниях она ещё будет невелика.Проиллюстрируем смысл формул Эйнштейна ещё на одном примере.
Предположим, мы соединили торцами горячий и холодный стержни(одномерный случай). Начальное распределение температуры изображено на рис. 25 сплошной линией. Каким будет профиль температурчерез некоторое время? Точный ответ на этот вопрос можно получитьтолько в результате решения уравнения (7.12). Но приближённо картину можно себе представить. Хотя бы из соображений размерностиясно, что роль «коэффициента диффузии температуры» играет коэффициент температуропроводности . В явлениях вязкости подобнуюроль играет кинематическая вязкость . Кстати, напомним, что в газах ≃ ≃ .
(В конденсированном состоянии такое равенство, конечно,неверно.) Заметное «продвижение тепла» в холодный√ стержень и «холода» в горячий будут ограничены расстояниями 2. Примерныйпрофиль температуры через некоторое время после начала процессаизображён на рис. 25 пунктиром.Подобным образом, если привести в движение по поверхности пруда плот, то к моменту времени√ за счёт вязкости начнут двигатьсяслои воды до глубины порядка 2.Конечно, ко всем этим результатам надо подходить лишь как к оценкам порядков величин.§ 23.
Некоторые нестационарные процессы149ЗаключениеВ соответствии с названием (и программой второго семестра курсаобщей физики в МФТИ) в настоящем пособии изложены лишь основытермодинамики и элементарные сведения из статистической физики.Практически не затронуты, например, такие вопросы, как системыс переменным числом частиц, химическая термодинамика.В пособии не рассматриваются термодинамика диэлектриков и магнетиков, флуктуации (шумы) в электроизмерительных приборах и т.д.,так как электрические явления изучаются позже.В минимальном объёме затронуто влияние квантовых закономерностей на термодинамические свойства тел.С большинством этих тем можно ознакомиться по книге [2].Напомним, что классическая термодинамика («термостатика») фактически рассматривает только равновесные состояния и квазистатические процессы.В настоящее время бурно развиваются такие тесно связанные другс другом разделы физики, как термодинамика неравновесных процессов и диссипативных систем, явления самоорганизации, синергетика(основоположником этого направления был выдающийся бельгийскийучёный И.Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
