Краткий курс термодинамики (1178197), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В первом случае мы учитывали все состояния, в которыхмолекулы расположены в одной, заранее выбранной половине сосуда.В это число входят, к примеру, и такие экзотические состояния, в которых все молекулы сгрудились в одной точке.Во втором случае мы сравниваем энтропии равновесных состояний,т. е. состояний, в которых молекулы достаточно равномерно распределены по всему сосуду и соответственно по некоторой произвольной егочасти, составляющей половину объёма.Дополнения155В определённых случаях это обстоятельство может привести к расхождению в результатах, полученных прямым подсчётом вероятностейи сравнением энтропий состояний. Однако в большинстве случаев такого расхождения нет или оно несущественно.Д13.
Здесь уместны несколько замечаний.1) В первую очередь может возникнуть вопрос: что делать, если — нечётное число? Что такое в этом случае !? Дело в том, чтоздесь вместо 3/2 в общем случае должна стоять так называемаягамма-функция Γ[(3/2) + 1]. Для целого Γ( + 1) = !. Длянецелых, в том числе полуцелых чисел, имеются другие определениягамма-функции, например:∞Z − = Γ( ).Γ( + 1) =02) Строго говоря, при фиксированной полной энергии системы конец вектора импульса должен находиться не в любой точке -мерногогипершара, а на поверхности ограничивающей его гиперсферы. Ещёточнее, он должен находиться в шаровом слое соответствующего радиуса, толщина которого определяется для изолированной системы соотношением неопределённостей, а для системы, контактирующей с термостатом, характерным масштабом флуктуаций её полной энергии.И наконец.3) Эти уточнения, возможно, успокаивающие дотошного читателя,не играют ровно никакой роли при вычислении энтропии системы, более или менее претендующей на эпитет «макроскопическая».
А ведьтолько для таких систем имеет смысл понятие энтропии.Приведём один пример. Число Авогадро известно с точностью до8-го знака. Это значит, что даже выписывая его со всей доступной точностью, мы при вычислении факториала опускаем (или пишем лишние) примерно 1017 множителей, каждый из которых равен примерно6·1023 .
«Вычисленный» нами факториал может отличаться от «правильного» что-нибудь в 1040 раз. Если же мы принимаем, как обычно,для числа Авогадро значение 6·1023 , ошибка — примерно в 1044 раз.Если же вспомнить, что в статвесе ещё есть и 3/2!, и ещё встречается в показателе степени, мы можем ошибиться более, чем в 10100 раз...Но нас интересует логарифм этой величины. Приняв (вполне разумное) приближение ln ! = ln − , без труда подсчитаем, что ошибка в логарифме факториала для числа Авогадро составляет в самом156Дополненияхудшем случае примерно 0,4%. Ошибка в энтропии в этом случае —порядка 1%.Д14.
Интересующая нас величина, очевидно, равна−Z+∞Z() = 1 − Φ() ≡ 1 −() +−∞Z().−Последний интеграл в конечных пределах не берётся, но он широкорастабулирован для малых√︁ значений , а для больших справедливоприближение 1 − Φ() =2 /22 −с относительной погрешностью, непревышающей 1/ 2 .Д15. В условиях равновесия в замкнутой полости, очевидно, возможны только стоячие волны (иначе бы возник направленный перенос энергии). Возьмём в качестве такой полости куб с ребром длины .
Надлине ребра в одномерном случае (в случае плоской волны, распространяющейся вдоль этого ребра) должно укладываться целое числополуволн = /2. Соответствующие частоты равны = /2,где — скорость света. Количество частот — степеней свободы — растёт с ростом предельной как = 2 /. Для «наклонных» волнвозможны любые комбинации , , , лишь бы все три были целыми. Потому в кубе с ребром до частоты имеется числовозможных стоячих волн ∼ 3 3 /3 .
Если каждой стоячей волнесоответствует энергия , на единичный интервал частот в единицеобъёма приходится энергия = / ∼ 2 /3 (точная формула Рэлея–Джинса: = 8 2 /3 ). Интегрирование по частотамдо бесконечности приводит к бесконечной плотности энергии излучения при любой, отличной от абсолютного нуля, температуре.Д16. В некоторых случаях минимально возможной энергии системы(как и любому другому её значению) могут соответствовать несколькоотличающихся какими-то характеристиками состояний. В таких случаях говорят, что это состояние вырождено (Подобная, хотя и не совсемтакая ситуация описана в задаче 9.39 из задачника под ред.
В.А. Овчинкина.) Тогда энтропия при абсолютном нуле температуры можетбыть не в точности равной нулю. Это, однако, практически не меняетсоотношения, вытекающие из третьего начала для макроскопическихсистем.ПриложениеТолько неправильные вопросы имеют ответы.Правильные вопросы ответов не имеют.Д. КришнамуртиМы уже не раз встречались с доказательствами правоты индийского мудреца. Напомним несколько примеров. Должен обратимый адиабатический процесс быть бесконечно быстрым или бесконечно медленным (§ 6, 4∘ )? Какова величина энтропии смешения двух молей идеального газа (§ 8, 2∘ ; [Д 1])? Можно ли говорить о тепловой смертиньютоновской Вселенной, если в силу постулируемой её бесконечностиво времени и в пространстве в ней всегда существуют сколь угоднообширные и сколь угодно энергичные флуктуации (§ 18, 5∘ )?Рассмотрим ещё три подобные ситуации.1∘.
Возможно ли все же достижение КПД цикла Карно, еслирабочее тело совершает какой-либо иной цикл?После всего того, что сказано в § 6, в особенности в пункте 4∘ , вопросзвучит, мягко говоря, странно. И тем не менее... 6 41@132Рис. 27Заставим рабочее тело совершать цикл Клаузиуса (иногда называемый ещё циклом Эриксона) из двух изотерм и двух изобар (рис. 27). Нов отличие от классической схемы не будем добиваться, чтобы в каждыймомент состояние всех порций рабочего тела было одно и то же. Наоборот, заполним газом канал, схематически изображённый на рис.
28и заставим газ циркулировать по этому каналу. Канал везде должен158Приложениебыть достаточно широким, чтобы вязкое трение было пренебрежимомало.411>~2+*16?2компрессор3kтурбинаполезн?*2Рис. 28Каждая порция газа совершает следующий круговой процесс. Приповышенном давлении 1 газ вступает в контакт с термостатом 1 ,получает от него тепло, которое благодаря специально подобранномупрофилю сечения канала преобразуется в кинетическую энергию практически при неизменной температуре.
На выходе из этого участка газ,вращая ротор турбины, теряет запасённую кинетическую энергию, аего давление падает до величины 2 . Перемещаясь далее по каналу,эти горячие порции газа входят в тепловой контакт с движущимисянавстречу порциями и передают им тепло, причём в каждой точке разность температур может быть достаточно малой. Охладившийся дотемпературы второго термостата 2 газ компрессором поджимаетсяопять до давления 1 , отдавая тепло холодильнику, так что температура газа на этом участке не меняется.
Компрессор приводится в действие той самой турбиной, которую вращает газ. Наконец, получая отдвижущихся навстречу порций газа тепло при постоянном давлении,газ нагревается до температуры 1 и цикл начинается сначала.Подчеркнём ещё раз: каждая порция газа обменивается теплом стермостатами и с другими порциями газа только при малой (в идеале —бесконечно малой) разности температур.
Все процессы обратимы, а извнешнего мира в теплообмене принимают участие только два термостата. С термостатами теплообмен тоже происходит при малой разноститемператур, т. е. обратимо, а значит, должно выполняться равенствоКлаузиуса. Если ещё расставить микротурбины по всей «верхней» части цикла (по изобаре 1 и изотерме 1 ), а микрокомпрессоры по «нижней» (по изобаре 2 и изотерме 2 ), чтобы и работа осуществляласьквазистатически, КПД такого газотурбинного двигателя замкнутогоцикла с регенерацией тепла теоретически должен быть равен КПДцикла Карно, проводимого между термостатами 1 и 2 .Приложение159Реальные достижения выглядят примерно следующим образом.При расчётном значении КПД цикла Клаузиуса, равном 30%, за счётрегенерации тепла удаётся получить КПД действующих механизмовдо 35%, в то время как без регенерации он не превышает 20%.
Конечно, это ещё далеко от расчётного КПД цикла Карно, который присоответствующих 1 и 2 должен составлять 70%.Подобного рода процедуру можно осуществить и на других циклах.Практически регенерация тепла применяется ещё в цикле Клапейрона(цикле Стирлинга) из двух изотерм и двух изохор.В определённом смысле можно сказать следующее. Рабочее тело вподобной ситуации совершает цикл Клаузиуса или Клапейрона. Лучше сказать: отдельные порции рабочего тела совершают тот или инойцикл, так как они делают это не одновременно. Но по отношению квнешней среде машина как бы совершает цикл Карно, так как взаимодействие происходит лишь на изотермах, и процесс взаимодействияобратим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
