Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Это можно сделать аналитически или графически. Для этогопользуются силовыми линиями – это линии, касательная к которым в любой точке полясовпадает с направлением вектора напряженности E (рис. 2.1.10).Рис. 2.1.10. Силовые линииСиловой линии приписывают определенное направление – от положительного зарядак отрицательному, или в бесконечность.Рассмотрим случай однородного электрического поля.17Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которогонапряженность одинакова по величине и направлению, т.е.Однородноеэлектростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равномрасстоянии друг от друга (такое поле существует, например, между пластинамиконденсатора) (рис.

2.1.11).В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда иуходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к.то и густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда. Т.к.площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии сама возрастаетпропорционально квадрату расстояния, то общее число линий остается постоянным налюбом расстоянии от заряда.Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительногозаряда к отрицательному (рис. 2.1.11).Рис.

2.1.11. Направление силовых линийИз рисунка 2.1.12 видно, так же, что густота силовых линий может служитьпоказателем величины E .Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку,нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулювектора напряженности E , т.е.Пример 1: если на рисунке 2.1.12 выделить площадку,изображенного поля будет равнато напряженность18Рис. 2.1.12.

Густота силовых линийПример 2: площадканаходится в однородном полепересекает эту площадку, если угол составляет 30º (рис. 2.1.13).Сколько линийРис. 2.1.13., отсюдалиний.2.1.8. Поток вектора напряженностиИтак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрическогополя напряженностью E пронизывают некоторую площадку S, то поток векторанапряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будетопределяться формулой:где En – произведение вектора E на нормальк данной площадке (рис.

2.14).Рис. 2.1.14. Определение потока вектора напряженности19Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потокомвектора напряженности ФЕ через эту поверхность.В векторной форме можно записатьвекторов, где вектор– скалярное произведение двух.Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величиныугла α может быть как положительным, так и отрицательным.Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.1.15 и 2.116.Рис. 2.1.15Рис.

2.1.16Для рисунка 2.1.15 – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесьнаправлен наружу, т.е.Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд, здесьи направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.Для рисунка 2.1.16 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутриповерхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность Аотрицательный (подсчитайте число силовых линий).Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда. В этом смыслтеоремы Остроградского-Гаусса.2.1.9.

Теорема Остроградского-ГауссаИтак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числулиний напряженности, пересекающих поверхность S.Рассмотрим рис. 2.1.17.Для данной конфигурации поток вектора напряженности через произвольнуюэлементарную площадку dS будет равен:(2.1.21)Т.е. в однородном полеВ произвольном электрическом поле(2.1.22)20Рис. 2.1.17Здесь, т.е.

ориентация dS в пространстве задается с помощью единичноговектора. Таким образом, направление векторавнешней нормали к поверхности.совпадает с направлениемПодсчитаем поток векторачерез произвольную замкнутую поверхность S,окружающую точечный заряд q (рис. 2.1.18). Окружим заряд q сферой S1.Рис. 2.1.18. Расчет вектора векторачерез произвольную замкнутую поверхность SЦентр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1.В каждой точке поверхности S1 проекцияодинакова и равна:на направление внешней нормалиТогда поток через S121Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:Из непрерывности линииследует, что поток и через любую произвольнуюповерхность S будет равен этой же величине:– теорема Гаусса для одного заряда. (2.1.23)Линии напряженностибесконечности).начинаются и заканчиваются на зарядах (или вПолученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для любого числапроизвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:– теорема Гаусса для нескольких(2.1.24)зарядов.Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутуюповерхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенныхвнутри поверхности, деленной на ε0.При вычислении потока через замкнутую поверхность, вектор нормалиследуетсчитать направленным наружу.

Линии , выходящие из объема, ограниченного даннойповерхностью, создаютположительный поток, линии же, входящие в объем –отрицательный поток.Если между нашими сферами расположить ещё одну поверхность S3, неохватывающую заряд, то, как видно из рисунка 2.1.9, каждая линия напряженностибудет дважды пересекать эту поверхность: один раз с положительной стороны – войдет вповерхность S3, другой раз – с отрицательной стороны – выйдет из поверхности S3. Врезультате алгебраическая сумма линий напряженности, проходящая через замкнутуюповерхность S3 будет равна нулю, т.е. полныйпоток, проходящий черезS3, равен нулю.Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутуюповерхность S будет равен:– если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;– если заряд расположен вне замкнутой поверхности;22этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает сознаком заряда.В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемнойплотностьюразличной в разных местах пространства.

Здесь dV – физическибесконечно малый объем, под которым следует понимать такойобъем, который с однойстороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой,а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то,что любой заряд кратен целому числу элементарных зарядов электронаили протона.Суммарный заряд объема dV будет равен:(2.1.25)Тогда из теоремы Гаусса (2.24) можно получить:(2.1.26)– это ещё одна форма записи теоремы Остроградского–Гаусса, если заряд неравномернораспределен по объему.Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как самополезависит от конфигурации всех зарядов, потоксквозь произвольнуюзамкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутриповерхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, тоизменится всюду, и наповерхности S, а поток векторачерез эту поверхность останется прежним.С помощью дифференциальной формы теоремы можно рассчитать электростатическоеполе при произвольном пространственном распределении зарядов.

В ней установленасвязь между объемной плотностью заряда ρ и изменением в окрестности данной точкипространства.Пусть заряд распределен в пространстве DV, с объемной плотностью;;. Тогда.Теперь устремим, стягивая его к интересующей нас точке.

Очевидно, что приэтомбудет стремиться к ρ в данной точке, т.е.23Величину, являющуюся пределом отношениядивергенцией поляи обозначаетсяк ΔV, при, называют. Тогда, по определению(2.1.27).Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.

Из этогоопределения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. Вдекартовой системе координат, изображенной на рисунке 2.1.19, дивергенция может бытьпредставлена формулой:(2.1.28)Рис. 2.1.19(2.1.29)Это теорема Остроградского–Гаусса в дифференциальной форме.Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальныйоператор(Набла)(2.1.30)где i, j, k – орты осей (единичные векторы).Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании свекторной или скалярной функцией, на которую символично умножается:,24(2.1.31).Формула (2.1.31) это тоже дифференциальная форма теоремы ОстроградскогоГаусса.В тех точках поля, где– (положительные заряды) источники поля, где– стоки (отрицательные заряды).

Линиизаканчиваются в стоках.выходят из источников и25ЛЕКЦИЯ 32.1.10. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского– ГауссаПродемонстрируемпримерах.возможноститеоремыОстроградского-ГауссананесколькихПоле бесконечной однородно заряженной плоскостиПоверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью Sопределяется по формуле:где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малыйучасток поверхности.Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный.Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскостиS (рис. 2.1.20).Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженностьбудет одинакова по величине и противоположна по направлению.Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, иоснованиями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис.

2.1.21).Рис. 2.1.20Рис. 2.1.21ТогдаПрименим теорему Остроградского-Гаусса. Поток ФЕ через боковуюповерхности цилиндра равен нулю, т.к.Для основания цилиндрачастьСуммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:26Внутри поверхности заключен зарядОстроградского–Гаусса получим:q = σ∆S. Следовательно, из теоремы;откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:(2.1.32)Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любомрасстоянии от плоскостиПоле двух равномерно заряженных плоскостейПусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковойпо величине плотностью σ (рис. 2.1.22).Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей,создаваемых каждой из плоскостей.Тогда внутри плоскостей(2.1.33)Вне плоскостей напряженность поляРис.

Характеристики

Список файлов учебной работы