Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

2.3.32. Образование стоячих волнВ точках, координаты которых удовлетворяют условию2,…),и суммарная амплитуда колебаний равна нулю(n = 0, 1,, – это узлыстоячей волны. Координаты узлов:(2.3.87).Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженныхволн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, откоторой происходит отражение, менее плотная (рис. 5.5, а), и узел – если более плотная(рис. 2.3.32, б).Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространенияпереносится энергия колебательного движения.

В случае же стоячей волны переносаэнергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несутодинаковую энергию в противоположных направлениях.193ЛЕКЦИЯ 252.3.23. Волновое уравнениеУравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения,называемого волновым. Найдем общий вид волнового уравнения. Для этогопродифференцируем дважды уравнение плоской волны по времени t и всем координатам:,,(2.3.88),(2.3.89)Сложим уравнения (2.3.89):(2.3.90).Подставим из (2.3.88) значение, и получим:. Учтем, что, а окончательно получим для волнового уравнения(2.3.91).Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (5.6.4), описывает некоторую волну,причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной повремени, есть фазовая скорость волны.Используя оператор Лапласа, волновое уравнение можнозаписать в виде194(2.3.92).2.3.24.

Дифференциальное уравнение электромагнитных волнОдним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существованиеэлектромагнитных волн. Можно показать, что для однородной и изотопной среды вдалиот зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженности E и H электромагнитного поля удовлетворяют волновымуравнениям типаи.(2.3.93)Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (2.3.93), описывает некоторую волну.Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в видеэлектромагнитных волн.Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением(2.3.94),где– скорость света в вакууме;и–электрическая и магнитнаяпостоянные; ε и μ – соответственно, электрическая и магнитная проницаемость среды.Если подставить в выражение для с известные значения электрической и магнитнойпостоянных,, находим– скорость распространения электромагнитного поля ввакууме, которая равна скорости света.

Причем электромагнитное полераспространяется в виде периодических изменений векторов E и H , которые взаимноперпендикулярны и перпендикулярны вектору скоростираспространенияэлектромагнитного поля.Полученные Максвеллом результаты показали, что в вакууме электромагнитноевозмущение распространяется со скоростью света и представляет поперечные колебания.В веществе скорость распространения электромагнитных возмущений меньше враз. Все это позволило Максвеллу сделать фундаментальный вывод об электромагнитнойприроде света.195Скорость распространения электромагнитных волнэлектрической и магнитной проницаемости. Величинупоказателем преломления.

С учетом последнего имеем:ивсреде зависит от ееназывают абсолютным.Следовательно, показатель преломления есть физическая величина,отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их скорости в среде. Векторы E , H иравнаяобразуют правовинтовую систему (рис 2.3.33).Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы E иH всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения Е и H в любойточке связаны соотношением.Следовательно E и H одновременно достигают максимума, одновременно обращаютсяв нуль и т. д.От уравнений (6.2.1) можно перейти к уравнениями(2.3.95),где, y и z при E и H подчеркивают лишь то, что векторы E и H направлены вдольвзаимно перпендикулярных осей y и z.Уравнениям (2.3.95) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматическиеэлектромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты),описываемые уравнениямиигдеи,(2.3.96)– соответственно, амплитуды напряженностей электрического имагнитного полей волны, ω – круговая частота,– волновое число, φ – начальнаяфаза колебаний в точках с координатой.

В уравнениях (2.3.95) начальные фазыодинаковы, т.е. колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитныхволнах происходят в одинаковых фазах.Из всего вышеизложенного можно сделать следующие заключения: ·векторы H , E иодинаково;взаимно перпендикулярны, так какинаправлены196·электромагнитная волна является поперечной;·электрическая и магнитная составляющие распространяются в одномнаправлении;·векторы H и E колеблются в одинаковых фазах.2.3.25. Энергия и импульс электромагнитного поля. Плотность потокаэнергии. Вектор Умова-ПойтингаМы уже много раз показывали, что электромагнитное поле обладает энергией.

Значит,распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии (подобно тому, какраспространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии).Сама возможность обнаружения электромагнитных волн указывает на то, что онипереносят энергию.Для характеристики переносимой волной энергии русским ученым Н.А. Умовым быливведены понятия о скорости и направлении движения энергии, о потоке энергии.

Спустядесять лет после этого, в 1884 г., английский ученый Джон Пойнтинг описал процесспереноса энергии с помощью вектора плотности потока энергии.Введем вектор- приращение плотности электромагнитной энергии,где сама величина w определяется интегралом:.Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемныхплотностейиэлектрического и магнитного полей:.Учитывая, что, получим, что плотность энергии электрического имагнитного полей в каждый момент времени одинакова, т.е.. Поэтому.Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения волны в среде, получиммодуль плотности потока энергии – поток энергии через единичную площадку,перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени:(2.3.97.Так как векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора E , H совпадаетс направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (рис.

2.3.34).[]197Рис. 2.3.34. Векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют с направлениемраспространения волны правовинтовую системуВектор плотности потока электромагнитной энергии называется векторомУмова–Пойнтинга:.(2.3.98)Векторнаправлен в сторону распространения электромагнитной волны, а егомодуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу временичерез единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.В сферической электромагнитной волне, излучаемой ускоренно двигающимисязарядами, векторы H направлены по параллелям, векторы E - по меридианам, а потокэнергии - по нормали (рис.

2.3.35).Рис. 2.3.35Векторы Умова–Пойнтинга зависят от пространства и времени, так как от них зависятмодули векторов напряженности электрического и магнитного полей. Поэтому частопользуются параметром, называемым интенсивностью – модуль среднего значениявектора Умова–Пойнтинга:198(2.3.99).Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:(2.3.100).Зависимость интенсивности излучения от направления называют диаграммойнаправленности. Такая диаграмма для линейного излучателя показана на рис2.3.36.Рис. 2.3.36. Диаграмма направленностиКак доказал Герц, диполь сильнее всего излучает в направлении перпендикулярном поотношению к собственному направлению.Ускоренно двигающиеся заряды излучают электромагнитную энергию в окружающеепространство. Векторнаправлен вдоль радиуса и убывает обратно пропорциональноr2.

Излучение максимально в направлении, перпендикулярном вектору, иотсутствует вдоль этого вектора. Поэтому диаграмма направленности диполя имеет виддвух симметричных лепестков, как показано на рис. 2.3.36.199.

Характеристики

Список файлов учебной работы