Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2.3.18).Рис. 2.3.18. Колебательный контурКолебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав виндуктивности ток (например включив магнитное поле).Поскольку активное сопротивление контура, полная энергия остаётсяпостоянной. Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия магнитного полямаксимальна, и наоборот. Рассмотрим процессы, происходящие в колебательном контуре,в сравнении с колебаниями маятника (рис. 2.3.19).172Рис. 2.3.19. Сравнение процессов, происходящих в колебательном контуре, в сравнении сколебаниями маятникаИз сопоставления электрических и механических колебаний (рис.
2.3.19) следует,что энергия электрического поля1/2kx2, а энергия магнитного поляаналогична потенциальной энергии mgh илианалогична кинетической энергии; Lиграет роль массы т, 1/С – роль коэффициента жесткости k. Наконец, заряду qсоответствует смещение маятника из положения равновесия х, силе тока I – скорость υ, анапряжению U – ускорение а.Ниже мы увидим, что эта аналогия сохраняется и в математических уравнениях. Всоответствии со вторым законом Кирхгофа (и законом сохранения энергии), можнозаписать:(2.3.45).Но, т.к.Введем обозначение:тогда получим.– собственная частота контура, отсюда получимосновное уравнение колебаний в контуре:173(2.3.46).Решением этого уравнения является выражение вида(2.3.47).Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому законус собственной частотой контура ω0.Для периода колебаний справедлива формула Томсона:,(2.3.48).Продифференцируем (4.2.3) по времени и получим выражение для тока:(2.3.49).Напряжение на конденсаторе отличается от заряда на 1/С:.(2.3.50)Таким образом, ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.
Наиндуктивности, наоборот, напряжение опережает ток на π/2.(2.3.51),где– волновое сопротивление [Ом].Выражение (2.3.51) – это закон Ома для колебательного контура.2.3.15. Свободные затухающие электрические колебания174Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. 2.3.20). Энергия,запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание,вследствие чего колебания затухают.Рис. 2.3.20. Контур свободных затухающих колебанийПо второму закону Кирхгофа:(2.3.52)., или– коэффициент затухания и, учитывая, что собственная частотаОбозначимконтура, получим уравнение затухающих колебаний в контуре с R, L и С:(2.3.53).Пригде, т.е., решение этого уравнения имеет вид:– частота затухающих колебаний контура, или, т.е..175Рис. 2.3.21На рис.
2.3.21 показан вид затухающих колебаний заряда q и силы тока I. Еслисравнить электрические затухающие колебания с механическими (рис. 2.3.14), то хорошовидны общие закономерности этих явлений: колебаниям q соответствует x – смещениемаятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.Затухание принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания χ:(2.3.54),где A – амплитуда I, U, q.Найдём выражение χ для электрических колебаний. Т.к.,,тогда.Поскольку R, L, ω определяются параметрами контура, следовательно χ являетсяхарактеристикой контура.Если затухание невелико, т.е., тотогда(2.3.55).Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q, которая определяетсякак величина, обратно пропорциональная χ:, а т.к., где N – число176колебаний, то, т.е.
добротность Q тем больше, чем больше колебаний успеваетсовершиться, прежде чем амплитуда уменьшится в е раз.Добротность определяется и по-другому:(2.3.56),где W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период,следующий за этим моментом.При, происходит апериодический разряд (рис. 2.3.22).т.е.
приРис. 2.3.22Сопротивлениеконтура,апериодический, называетсясопротивление из равенства:прикоторомкритическимколебательныйпроцесссопротивлением.переходитНайдемвэто,отсюда(2.3.57),где Rвол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и C.177ЛЕКЦИЯ 232.3.16. Вынужденные электрические колебанияЧтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнеепериодическое воздействие. Рассмотрим этот вопрос кратко, используя аналогию смеханическими колебаниями.К контуру, изображенному на рис.
2.3.23, подадим переменное напряжение U:(2.3.58).Рис. 2.3.23Тогда уравнение (2.3.53.) примет вид:(2.3.59).Это уравнение вынужденных электрических колебаний, которое совпадает саналогичным уравнением механических колебаний. Его решение имеет вид:(2.3.60),где.Величинаназывается полным сопротивлением цепи илиимпедансом (от лат.
impedio – препятствую). Импеданс представляет комплексноесопротивление для гармонических процессов, где R – активноесопротивление, отвечающее за потерю мощности в цепи, X – реактивноесопротивление, определяющее величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.178.Рис. 2.3.24На рис. 2.3.24 изображены идеальные элементы цепи и соответствующие имимпедансы.Резонанс напряженийПри последовательном соединении R, L, С, в контуре (рис. 4.6), когда, –наблюдается резонанс. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением обращаетсяв нуль (φ = 0).Резонансная частота при напряжении на конденсаторе UС равна:и,тогда, а UС и UL одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.
Такойвид резонанса называется резонансом напряжения или последовательным резонансом.Резонансные кривые для напряжения U изображены на рис. 2.3.25. Они сходны срезонансными кривыми для ускорения a при механических колебаниях (рис. 2.3.17).Рис. 2.3.25. Резонансные кривые для напряжения U179.Таким образом, при последовательном резонансе, на ёмкости можно получитьусиление напряжения с амплитудой, в узком диапазоне частот.
Этот эффектшироко используется в различных усилительных устройствах.Резонанс токовВ цепях переменного тока, содержащих параллельно включенные ёмкость ииндуктивность (рис. 2.3.26), наблюдается другой тип резонанса.Рис. 2.3.26Поскольку в таком контуре сопротивлением R можно пренебречь (R = 0), товыражение для тока через емкость I1 примет вид:(2.3.61),где;,т.к.,Аналогично для тока через индуктивность (при R = 0,а):(2.3.62),где;,т.к., аИз сравнения (2.3.61) и (2.3.62) вытекает, что разность фаз в ветвях цепит.е.
токи противоположны по фазе.,(2.3.63).180Если, тои.Резонансные кривые для тока изображены на рис. 2.3.27. 0ни соответствуютрезонансным кривым для скорости при механических колебаниях.Рис. 4.10Явление резкого увеличения амплитуды тока во внешней цепи в данном случае, приприближении частоты приложенного напряжения ω к ωрез, называется резонансом токовили параллельным резонансом. (Используется в приемниках, резонансных усилителях).2.3.17.
Мощность, выделяемая в цепи переменного токаМгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенногозначения напряжения на силу тока:,гдеРаскрыви., получим.Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднеезначение за период колебания. Учитывая, что,,получим:,(2.3.64)181где, поэтому среднее значение мощности будет равно:(2.3.65).Такую же мощность развивает постоянный ток:Величины.называются действующими (или эффективными)изначениями тока и напряжения.
Все амперметры и вольтметры градируются подействующим значениям тока и напряжения.Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности(2.3.64) можно записать в виде:,где множитель(2.3.66)называется коэффициентом мощности.Формула (2.3.66) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, вобщем случае, зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз междуними.
Если в цепи отсутствует реактивное сопротивление Х, тои. Еслицепь содержит только реактивное сопротивление (R = 0), тои средняя мощностьравна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение.Еслиимеет значение существенно меньше единицы, то для передачи заданноймощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, чтоприводит либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сеченияпроводов, что повышает стоимость линий электропередачи.
Поэтому на практике всегдастремятся увеличить. Наименьшее допустимое значениедляпромышленных установок составляет примерно 0,85.2.3.18. Распространение волн в упругой средеКолебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой илигазообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойствсреды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частицасреды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться.
Иначе говоря,увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают.При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное)строение среды. Среда рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распределенная впространстве и обладающая упругими свойствами.182Итак, колеблющееся тело, помещенное в упругую среду, является источникомколебаний, распространяющихся от него во все стороны.
Процесс распространенияколебаний в среде называется волной.При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, аколеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частицепередается лишь состояние колебательного движения и энергия. Поэтому основнымсвойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переносавещества.Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярнойнаправлению распространения) и продольными (сгущение и разрежение частиц средыпроисходит в направлении распространения).Граница, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц еще не начавших колебаться,называется фронтом волны.В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны(рис.
2.3.28).Рис. 2.3.28Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе,называется длиной волны l:(2.3.67),где υ – скорость распространения волны,– период, ν – частота. Отсюдаскорость распространения волны можно найти по формуле:.(2.3.68)Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называетсяволновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точкупространства, охваченную волновым процессом, т.е. волновых поверхностей бесконечноемножество.
Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через183положение равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронттолько один, и он все время перемещается.Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях волновыеповерхности имеют форму плоскости или сферы, соответственно волны называютсяплоскими или сферическими.
В плоской волне волновые поверхности представляютсобой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – системуконцентрических сфер.184ЛЕКЦИЯ 242.3.19. Уравнения плоской и сферической волнУравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точкикак функцию ее координат (x, y, z) и времени t.(2.3.69).Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат(волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющеесядвижение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
