Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблютсяодинаковым образом.Уравнение плоской волныНайдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носятгармонический характер.Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространенияволны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точкиволновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t:. Пусть колебание точек, лежащих в плоскости, имеет вид (приначальной фазе)(2.3.70)Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольномузначению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время.Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t отколебаний частиц в плоскости, т.е.(2.3.71),– это уравнение плоской волны.Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времениt.
При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания. Это будет, еслиэнергия волны не поглощается средой.Такой же вид уравнение (2.3.71) будет иметь, если колебания распространяются вдольоси y или z.В общем виде уравнение плоской волны записывается так:185,или(2.3.72).Выражения (2.3.71) и (2.3.72) есть уравнения бегущей волны.Уравнение (2.3.71) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x.Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:.Уравнение волны можно записать и в другом виде.Введем волновое число, или в векторной форме:(2.3.73),где– волновой вектор,Так как, товолны запишется так:– нормаль к волновой поверхности.. Тогда уравнение плоской. Отсюда(2.3.74).Уравнение сферической волныВ случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источникточечный, волна будет сферической.Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е.). Тогда точки,лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу.
Амплитудаколебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, онаубывает по закону. Следовательно, уравнение сферической волны:, или,(2.3.75)где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.186Уравнение (2.3.75) неприменимо для малых r, т.к. прибесконечности. То, что амплитуда колебаний, амплитуда стремится к, следует из рассмотрения энергии,переносимой волной.2.3.20. Фазовая скоростьФазовая скорость – это скорость распространения фазы волны.Зафиксируем какое-либо значение фазы волны и проследим, с какой скоростью фазабудет перемещаться вдоль оси x..Это уравнение дает связь между t и тем значением x, где зафиксированное значениефазы будет в данный момент времени. Следовательно,перемещения данной фазы.
Т.к., поэтому– это есть скорость. Возьмем производную. Отсюда получим выражение дляпо времени от обеих частей равенства:фазовой скорости:.(2.3.76)Итак, скорость распространения фазы есть скорость распространения волны. Т.е. υв уравнении волны есть фазовая скорость. Для синусоидальной волны скоростьпереноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несет никакойинформации, любой сигнал – это модулированная волна, т.е.
несинусоидальная(негармоническая).При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скоростисвета. Здесь нет парадокса, так как скорость перемещения фазы – это не скоростьпередачи (распространения) энергии, которая не может распространяться со скоростьюбольшей, чем скорость света с.2.3.21. Принцип суперпозиции. Групповая скоростьЕсли свойства среды не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то кним применим принцип суперпозиции (наложения волн) при распространении в такойсреде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волныотсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической суммесмещений частиц.187Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени ипространстве последовательность «горбов» и «впадин».(2.3.77).Фазовая скорость этой волныили.С помощью такой волны нельзя передавать сигнал, так как в любой точке волны все«горбы» одинаковы.
Сигнал должен отличаться, быть знаком (меткой) на волне. Но тогдаволна уже не будет описываться уравнением (2.3.77).Сигнал (импульс) можно представить (согласно теореме Фурье) в виде суперпозициигармонических волн с частотами, заключенными в некотором интервале.Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновымпакетом или группой волн (рис. 2.3.29).Рис. 2.3.29. Волновой пакет или группа волнВыражение для группы волн:(2.3.78).Этот волновой пакет может быть суммой двух волн с мало отличающимися частотами(рис. 2.3.30).188Рис. 2.3.30Там, где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение(результат интерференции).Чтобы суперпозицию можно было считать группой волн, необходимо условие.Дисперсия – это зависимость фазовой скорости в среде от частоты.В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются содинаковой фазовой скоростью υ.
Очевидно, что в данном случае скорость перемещенияпакета совпадает со скоростью υ. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует сосвоей скоростью, пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.Если дисперсия невелика, то расплывание не происходит слишком быстро и пакету можноприписать скорость u (рис. 2.3.31).Рис. 2.3.31Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значениемА), называется групповой скоростью u.В диспергирующей среде. Вместе с движением самого пакета происходитдвижение «горбов» внутри пакета. «Горбы» перемещаются со скоростью υ, а пакет вцелом с u.189Рассмотрим это подробнее на примере суперпозиции двух волн с одинаковойамплитудой и разными длинами волн l.Уравнения волн (при начальной фазе) можно записать так:издесьПусть,, т.к.;, соответственно..Сложим колебания, применив преобразования для суммы косинусов:(2.3.79),,т.к., то(2.3.80).Множитель в квадратных скобках изменяется с изменением t и x значительномедленнее, чем второй множитель.
Следовательно, выражение (5.4.4) можнорассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой.Результирующая амплитуда получается в результате сложения, следовательно будутмаксимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться условием,где m = 0, 1, 2, …, xmax – координата максимума амплитуды.Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующейгруппы волн. Решив это уравнение относительно xmax, получим:190;Так как(2mp = const).– фазовая скорость, то– групповая скорость. С такойскоростью перемещается максимум амплитуды.
В пределе выражение для групповойскорости:(2.3.81).Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн.Выражению для групповой скорости можно придать другой вид. Т.к,следовательно.Выразимчерез длину волны l:;;,, тогда получим.(2.3.82)Из этой формулы следует, что в диспергирующей среде, в зависимости от знака,групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.В отсутствие дисперсиии. Максимум интенсивности приходится нацентр группы волн.
Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергииволны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скоростиутрачивает смысл. Это случай из области аномальной дисперсии (рассмотрим позже).2.3.22. Стоячие волныЕсли в среде распространяется несколько волн, то колебания частиц среды оказываютсягеометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространениикаждой из волн в отдельности.
Волны накладываются друг на друга, не возмущая (неискажая друг друга). Это и есть принцип суперпозиции волн.191Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постояннойразностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентныхволн возникает явление интерференции.Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречныхплоских волн с одинаковой амплитудой.
Возникающий в результате колебательныйпроцесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают приотражении от преград.Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположныхнаправлениях (начальная фаза):(2.3.83).Сложим уравнения и преобразуем по формуле суммы косинусов (2.3.79):.Т.к., то можно записать:.Учитывая, что, получим уравнение стоячей волны:(2.3.84).В выражении для фазы не входит координата, поэтому можно записать:(2.3.85),где суммарная амплитуда.В точках, где координаты удовлетворяют условию, суммарная амплитуда равна максимальному значению:(n = 1, 2, 3, …),, – этопучности стоячей волны. Координаты пучностей:.(2.3.86)192аБРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
