Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Биение –простейший вид модулированных колебаний.Любые сложные периодические колебанияможно представить в видесуперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различнымиамплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω:160.Представление периодической функции в таком виде связывают с понятиемгармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (тоесть представление сложных модулированных колебаний в виде ряда (суммы) простыхгармонических колебаний).

Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармоническиеколебания с частотами ω, 2ω, 3ω, ..., называются первой (или основной), второй, третьейи т.д. гармониками сложного периодического колебания.161ЛЕКЦИЯ 212.3.9. Сложение взаимно перпендикулярных колебанийПусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двухвзаимноперпендикулярных колебаниях:;(2.3.29).Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты примемРазность фаз между обоими колебаниями равна:..Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t.Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы;, т.е..или.Распишем второе уравнение через косинус суммы:.Отсюда.Возведем обе части в квадрат:;.162Окончательное уравнение:(2.3.30).В результате мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированыотносительно x и y произвольно (рис.

2.6).Рис. 2.3.122.3.10. Фигуры ЛиссажуРассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.3.30).1. Начальные фазы колебаний одинаковы:т.е.Тогда уравнение (2.3.30) примет вид:или;отсюда получим уравнение результирующего колебания:(2.3.31)Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.3.13, а).Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний содинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой,проходящей через начало координат.163абвРис. 2.3.13Такие колебания называются линейно поляризованными.2.

Начальная разность фаз равна π. Тогда, следовательно;.Уравнение колебания в этом случае(2.3.32)То есть точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через началокоординат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис.2.3.13, б).Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях равна:.(2.3.33)3. Начальная разность фаз равна π/2. Проанализируем уравнение (2.3.30), учитывая,что.(2.3.34).164Это уравнение эллипса с полуосями А1 и А2 (рис.

2.3.13, в). Случай эллиптическиполяризованных колебаний.Приполучимуравнениеокружности(циркулярно-поляризованныеколебания).4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклонаотносительно осей координат.Необходимо отметить, что все рассматриваемые случаи, все(даже прямая – частный случай эллипса).кривые – это эллипсыФигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разныхчастот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лиссажу (1822–1880) – французский физик).В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур.В приведенных выше примерах рассматривались простейшие случаи, когдаЕсли, то в результате будут получаться уже не эллипсы, а болеесложные фигуры Лиссажу.2.3.11.

Свободные затухающие механические колебанияВсе реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебанийпостепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенноуменьшается (затухает).Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростяхсилы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (напримермаятник). Тогда сила трения (или сопротивления),где r – коэффициент сопротивления,– скорость движения.Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль осиx:,где kx – возвращающая сила, rυx – сила трения.

Это уравнение можно переписать:, отсюда следует:.Введем обозначения:;.Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающеезатухающее колебательное движение, запишем так:165(2.3.35).Решение уравнения (2.3.35) имеет вид (при):(2.3.36).Здесь А0 и φ0 определяются из краевых условий задачи (начальных и граничных), а β иω – из самого уравнения.Найдем круговую частоту ω.

Здесь она уже не равна.Для этого найдем первую и вторую производные от x:,Подставим эти значения в (3.1.1) и сократим на:.Сократим наи выразим ω:,,где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания);ω – круговаячастота свободных затухающих колебаний. Из этого выражения ясно, почему решение(2.3.35) будет только при.Для колебаний под действием различных сил (квазиупругих) значения ω, β, ω0 будутразличными. Например, для колебаний под действием упругой силы;;166Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в нихне повторяется, например, максимальное значение амплитуды.

Поэтому называть ω –циклической (повторяющейся, круговой) частотой можно лишь условно. По этой жепричине иназывается условным периодом затухающих колебаний.2.3.12. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затуханияНайдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и(рис. 2.3.14):,где β – коэффициент затухания.Рис. 2.3.14Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через периодТ, называется логарифмическим декрементом затухания χ:;.Выясним физический смысл χ и β.Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда А уменьшается в eраз.167отсюдаСледовательно, коэффициент затухания β есть физическая величина, обратнаявремени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз.

Тогда;;.Следовательно, логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина,обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.Если χ = 0,01, то N = 100.При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшениеамплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивлениестановится равным критическому,ато круговая частота обращается внуль (), а (), колебания прекращаются. Такой процесс называетсяапериодическим (рис. 2.3.15).Рис.

2.3.15Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положениеравновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движенияэнергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной напреодоление сил сопротивления, трения.168ЛЕКЦИЯ 222.3.13. Вынужденные механические колебанияРассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ),действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдольоси x запишем:– основное уравнение колебательного процесса, или(2.3.37),где fx = Fx/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системыбудут совершаться с частотой вынуждающей силы ω.Уравнение установившихся вынужденных колебаний:(2.3.38).Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденныхколебаний и вынуждающей силой.Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2опережает скорость.Из (2.3.38) получим:(2.3.39),.(2.3.40)Преобразуем и (2.3.38) через косинус:.Обозначим(2.3.41)– угол между смещением и вынуждающей силой.Подставим (2.3.39), (2.3.40) и (2.3.41) в (2.3.37):169Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующеговращающегося вектора амплитуды:– амплитуда ускорения;амплитуда смещения;– амплитуда скорости;–– амплитуда вынуждающей силы, причемВектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:.Рис.

2.3.16. Векторная диаграмма. Найдем амплитуду А:Из рис. 2.3.16. видно, что(2.3.42).Таким образом,и.При постоянных F0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частотвынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0.Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения170(2.3.43)Из рис. 2.3.16. видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется извыражения.Проанализируем выражение (2.3.42).1)(частота вынуждающей силы равна нулю), тогда– статическая амплитуда (колебания не совершаются).2)(затухания нет). С увеличением ω (но прирезко возрастает (увеличении ω () амплитуда растет и при).

Это явление называется резонанс. При дальнейшем) амплитуда опять уменьшается (рис. 2.3.17).Рис. 2.3.173)Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя.Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренноговыражения (2.3.42) и приравняем ее к нулю:4ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:, отсюда171,(2.3.44)где ωрез – резонансная частота.Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частотывынуждающей силы к ωрез называется резонансом.Для консервативной системы, т.е.из (2.3.44) следуетс; длядиссипативной ωрез несколько меньше собственной круговой частоты ω0 (рис.

2.3.17).С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее иисчезает при.2.3.14. Свободные колебания в электрическом контуре без активногосопротивленияВ цепи, содержащей индуктивность L и ёмкость С, могут возникать электрическиеколебания. Такая цепь называется колебательным контуром (рис.

Характеристики

Список файлов учебной работы