Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Частным случаем упругих волн является звуки сейсмические волны. Разновидностью электромагнитных волн служат радиоволны, свет,рентгеновские лучи.Изучение колебаний и волновых процессов активно стимулировало развитие науки.Так, исследование колебаний маятника (1636 г.) позволило Галилею более точно измеритьпромежутки времени. Изучение Ньютоном законов периодического обращения планетвокруг Солнца привело к созданию начал классической механики (1686 г.). Дж. Максвелл,связав свойства электромагнитных процессов с характеристиками света, создалэлектромагнитную теорию света (1864 г.).Благодаря общности закономерностей колебательных и волновых процессовразличной природы оказывается возможным вести их описание на основе единыхматематических моделей, не интересуясь деталями их поведения.Так как волновые процессы встречаются почти во всех разновидностях физическихявлений, изучение их закономерностей должно стать фундаментом для вскрытия общихоснов многих внешне различных процессов.В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические иэлектромагнитные и их электромеханические комбинации, поскольку они чрезвычайноактуальны для жизнедеятельности человека.

Так, механические колебания плотностивоздуха воспринимаются нами как звук, а быстрые электромагнитные колебания – каксвет. С помощью звука и света мы получаем основную часть информации об окружающемнасмире.Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другой: кинетической- в потенциальную, магнитной - в электрическую и т.д.Колебательным движением называются процессы, отличающиеся той или инойстепенью повторяемости во времени.145Несмотря на большое число колебательных явлений, встречающихся в нашей жизни(звук, свет, радиоволны), существуют общие закономерности этих явлений.

Поэтомуосновные учения о механических колебаниях, которые мы рассматриваем здесь, должныстать фундаментом для изучения любых видов колебаний.Итак, различные колебательные процессыхарактеристиками и одинаковыми уравнениями.описываютсяодинаковымиГоворя о колебаниях или осцилляциях тела, мы подразумеваем повторяющеесядвижение его туда и обратно по одной и той же траектории. Иными словами, такоедвижение является периодическим.

Простейшим примером периодического движенияслужат колебания груза на конце пружины. Многие другие виды колебательных движенийпроявляют большое сходство с этими колебаниями; поэтому мы разберем этот примерподробно. Будем считать, что массой пружины можно пренебречь и что пружинаустановлена горизонтально, как показано на рис. 2.3.1, а.Рис. 2.3.1. Колебание груза на пружинкеК одному концу пружины прикреплен груз массой m, который движется без трения погоризонтальной поверхности. Любая пружина имеет определенное значение длины, прикотором с ее стороны на груз не действует сила; в этом случае говорят, что пружинанаходится в положении равновесия (x = 0). Если сдвинуть груз вправо, растягиваяпружину, или влево, сжимая ее, то пружина действует на груз с силой Fв, котораястремится вернуть его в положение равновесия; такую силу называют возвращающей.Для нашей системы сила Fв прямо пропорциональна расстоянию x, на которое сжимаетсяили растягивается пружина:Fв = –k x(2.3.1)Формула (2.3.1) справедлива до тех пор, пока пружина не сжимается настолько, что еевитки приходят в соприкосновение или не растягиваются сверх предела упругости.

Знакминус означает, что возвращающая сила всегда противоположна направлениюперемещения x. Постоянная k в формуле (2.3.1) называется жесткостью пружины. Длятого чтобы растянуть пружину на длину x, к ней надо приложить внешнюю силу:Fвн = + k x.Что же произойдет, если пружину растянуть на длину x = A, как показано на рис.2.3.1, б, и затем отпустить? Пружина действует на груз с силой, которая стремитсявернуть её в положение равновесия. Но поскольку эта сила сообщает грузу ускорение,груз приходит в положение равновесия со значительной скоростью. Заметим, что вположении равновесия сила, действующая на груз, уменьшается до нуля, а скорость его вэтой точке максимальна. Когда груз, проскочив положение равновесия, движется влево,сила со стороны пружины замедляет его в точке x = –A (рис.

2.3.1, в). Груз на мгновение146останавливается, а затем начинает двигаться в противоположном направлении, пока непридет в точку x = A, откуда он начал движение. Затем весь этот процесс повторяется.Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения:•••повторяемость (периодичность) – движение по одной и той же траектории туда иобратно;ограниченность пределами крайних положений;действие силы, описываемой функцией F = –k x.Колебания называются периодическими, если значения физических величин,изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.Простейшим типом периодических колебаний являются так называемые гармоническиеколебания.Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональнасмещению, взятому с противоположным знаком (например, F = –k x), совершаетгармонические колебания.

Саму такую систему часто называют гармоническимосциллятором. Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:••колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий кгармоническому;различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равныепромежутки времени) можно представить как наложение гармоническихколебаний.Периодический процесс можно описать уравнением:f (t) = f (t + T).По определению, колебания называются гармоническими, если зависимостьнекоторой величины x = f (t) имеет видx = A sin φилиx = A cos φ(2.3.2)Здесь синус или косинус используются в зависимости от условия задачи, А и φ –параметры колебаний, которые мы рассмотрим ниже.2.3.2.

Параметры гармонических колебанийДля изучения колебательного движения нам придется ввести несколько терминов –параметров колебательного движения.• Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз,называют смещением x.• Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия –называется амплитудой и обозначается буквой A.• Выражение, стоящее под знаком синуса или косинуса в формуле (2.3.2) φ = ωt + φ0,определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания.• Если t = 0, то φ = φ0. Поэтому φ0 называется начальной фазой колебания.

Фазаизмеряется в радианах и определяет значение колеблющейся величины в данный моментвремени.147• Т.к. синус и косинус изменяются в пределах от -1 до +1, то х может принимать значенияот -А до +А (рис. 2.3.2).Рис. 2.3.2• Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например отx = A к x = –A и обратно в x = A, называется полным колебанием.

Частота колебаний νопределяется как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, как правило, измеряют вгерцах (Гц): 1 Гц равен 1 полному колебанию в секунду. Очевидно, что(2.3.3).• Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которогоповторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание.(2.3.4)• ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд:ω = 2π ν.(2.3.5)Заметим, что фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет лишь на ее положение внекоторый произвольный момент времени t. Например, при φ0 = 0 мы имеемx (t) = A cos ωt, как на рис. 2.3.2, а при φ0 = –π/2 - чистую синусоиду x (t) = A cos (ωt –π/2) = sin ωt.Такимобразом,гармоническиеколебанияявляютсявсегдасинусоидальными.Кроме того, заметим, что частота и период гармонических колебаний не зависят отамплитуды.

Изменяя амплитуду колебаний груза на пружине, мы не изменяем частотуколебанийэтойсистемы.Колебания характеризуются не только смещением, но и скоростью vx и ускорением ax.Если смещение описывается уравнением x = A sin (ωt + φ0), то по определению(2.3.6),.(2.3.7)148В этих уравнениях vm = ωA – амплитуда скорости; vm = –ω2A – амплитуда ускорения.Из уравнений (2.3.6) и (2.3.7) видно, что скорость и ускорение также являютсягармоническими колебаниями.2.3.3. Графики смещения скорости и ускоренияПараметры колебаний запишем в виде системы уравнений:(2.3.8)Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:••скорость колебаний тела максимальна и, по абсолютной величине, равнаамплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия (). При максимальном смещении ()скорость равна нулю;ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия идостигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольшихсмещениях.Ускорение всегда направлено к положению равновесия, поэтому, удаляясь отположения равновесия, тело двигается замедленно, приближаясь к нему – ускоренно.Ускорение всегда прямо пропорционально смещению, а его направление противоположнонаправлению смещения.

Все эти выводы могут служить определением гармоническогоколебания.Графики смещения скорости и ускорения гармонических колебаний приведены на рис.2.3.3Начальная фаза φ0 определяется из начальных условий конкретной задачи (точно также, как и амплитуда А).Найдем разность фаз Δφ между фазами смещения х и скорости υx. Для этоговоспользуемся (2.3.8):149Рис. 2.3.3Отсюда видно, чтоΔφ = φx - φv = π / 2,(2.3.9)то есть скорость опережает смещение по фазе на π/2.Аналогично можно показать, что ускорение, в свою очередь, опережает скорость пофазе на π/2:ax = – am sin (ω t + φ0) = am sin (ω t + φ0 + π) = am sin (φa),т.к.или, то φa - φv = ω t + φ0 + π - ω t - φ0 - π/2 = π/2,φv - φa = - π/2.(2.3.10)Тогда ускорение опережает смещение на π, илиφx - φa = - π,(2.3.11)то есть смещение и ускорение находятся в противофазе.2.3.4. Основное уравнение динамики гармонических колебанийВторой закон Ньютона позволяет, в общем виде, записать связь между силой иускорением, при прямолинейных гармонических колебаниях материальной точки (илитела) с массой m.Т.к.

исходя из второго закона, можно записать:150,(2.3.12)где Fx – проекция силы на направление х. Из (2.3.12) следует, что сила Fпропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее иназывают возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазойускорения.Примером сил удовлетворяющих (2.3.12) являются упругие силы. Силы же, имеющиеиную природу, но удовлетворяющие (2.3.12), называются квазиупругими. Квазиупругаясила(2.3.13)где k – коэффициент квазиупругой силы.Сравнивая (2.3.12) и (2.3.13), видим, что.В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х, проекция ускорения на эту ось.Подставив выражения для ax и Fx во второй закон Ньютона, получим основноеуравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими иликвазиупругими силами:или, тогда;(2.3.14).Решением этого уравнения всегда будет выражение вида,т.е.

Характеристики

Список файлов учебной работы