Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

смещение груза под действием упругой или квазиупругой силы являетсягармоническим колебанием, происходящим по синусоидальному закону.Круговая частота незатухающих колебаний, но, т.к., тогда, отсюда(2.3.15),151то есть чем больше жесткость пружины k, тем меньше период (больше частота), а чембольше масса, тем период колебаний больше.ЛЕКЦИЯ 202.3.5. Энергия гармонических колебанийВычислим энергию тела массой m, совершающего гармонические колебания с амплитудойА и круговой частотой ω (рис.

2.3.1).Потенциальная энергия U тела, смещенного на расстояние х от положенияравновесия, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила,перемещая тело в положение равновесия., отсюда, или(2.3.16),(2.3.17)Например, баллистический маятник приходит в движение при попадании в него пули.Кинетическая энергия(2.3.18).Заменив в (2.3.17)и сложив почленно уравнения (2.3.17) и (2.3.18), получимвыражение для полной энергии:, или.(2.3.19)Полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональнаквадрату амплитуды колебания.В случае свободных незатухающих колебаний полная энергия не зависит от времени,поэтому и амплитуда А не зависит от времени.Из (2.3.17) и (2.3.18) видно, что и потенциальная U, и кинетическая K энергияпропорциональны квадрату амплитуды А2.152Рассмотрим колебания груза под действием сил тяжести (рис.

2.3.4).Рис. 2.3.4. Колебания груза под действием сил тяжестиИз рис. 2.3.4 и из формул (2.3.17) и (2.3.18) видно, что U и K изменяются периодически(при свободных незатухающих колебаниях). Однако период изменения энергии в два разаменьше, чем период изменения смещения скорости и ускорения. Это значит, что икинетическая, и потенциальная энергия изменяются с частотой, которая в два разапревышает частоту смещения гармонического колебания. За время одного полногоколебания U и K дважды достигают своих максимальных значений и дважды обращаютсяв нуль.

Связано это с тем, что и U, и K пропорциональны квадрату косинуса и синуса фазыколебаний.Максимум потенциальной энергии (2.3.17).Максимум кинетической энергии,но когдах, U и K от времени t.и наоборот. На рис. 2.3.5 представлены графики зависимости153Рис. 2.3.5Рис. 2.3.6При колебаниях, совершающихся под действием потенциальных (консервативных)сил, происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот, но их суммав любой момент времени постоянна.На рис. 2.3.6 приведена кривая потенциальной энергии.Горизонтальная линия соответствует определенному значению полной энергии:Расстояние от этой линии до кривой равно кинетической энергии, а движение ограниченозначениями х, заключенными в пределах от + А до – А.

Эти результаты полностьюсогласуются с полным решением уравнения движения.1542.3.6. Математический и пружинный маятникМатематическим маятником называется идеализированная система, состоящая изневесомой нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в однойточке (шарик на длинной тонкой нити).Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодическогодвижения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической иквантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются: пружинный,математический и физический маятники, а также колебательный контур (для малыхтоков и напряжений).Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругойпружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действиемупругой силы(рис. 2.3.7).Уравнение движения маятника:(2.3.20)или.Из сравнения выражений (2.3.14) и (2.3.20) следует, что пружинный маятник совершаетгармонические колебания по законус циклической частотой ω ипериодом Т, где;.Рис.

2.3.7. Пружинный маятникЭти формулы справедливы для упругих колебаний в пределах, когда выполняется законГука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела и ее деформация непревышает предела упругости.1552.3.7. Гармонический осцилляторГармонические колебания можно представить несколькими способами. Рассмотрим этиспособы.•Аналитический:x = A sin ( ω t + φ0 );••υx = υm cos ( ω t + φ0 ); ax = –am sin ( ω t + φ0 ).Графический.Геометрический, с помощью вектора амплитуды (метод векторных диаграмм):Рассмотрим подробнее последний способ.Пусть гармоническое колебание описывается уравнением x = A cos ( ω t + φ0 ).Проведем прямую Оx (опорную) и построим вектор, направленный из точки О подуглом φ0 к опорной линии.Обозначим через x0 проекцию векторана опорную линию в момент времениt = 0:x0 = A cos ( φ0 ).Вращение происходит против часовой стрелки, т.е. ω > 0.

За промежуток времени tвектор амплитуды повернется на угол ωt и займет новое положение. Его проекция наопорную линию равна x = A cos ( ω t + φ0 ).За время, равное периоду колебаний Т, вектор амплитуды повернется на угол 2φ , ипроекция вектора совершит полное колебание около положения равновесия (точка О).Следовательно, вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническоеколебание.Проекция кругового движения на ось у также совершает гармоническое колебаниеy = A sin ( ω t + φ ).Таким образом, равномерное движение по окружности можно рассматривать как дваколебательных гармонических движения, совершаемых одновременно в двух взаимноперпендикулярных направлениях.

Этим представлением широко пользуются присложении колебаний.1562.3.8. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковойчастоты. БиенияПусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковогопериода, направленных вдоль одной прямой.Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 2.3.8).Пусть колебания заданы уравнениямии(2.3.21)Рис. 2.3.8 Сложение колебаний методом векторных диаграммОтложим из точки О векторпод углом φ1 к опорной линии и векторпод углом φ2.Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω,поэтому их разность фаз не зависит от времени (). Такие колебанияназывают когерентными.Нам известно, что суммарная проекция вектораравна сумме проекций на эту жеось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды, вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и,и.

Результирующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω:.По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:157Результирующую амплитуду найдем по формуле(2.3.22).Начальная фаза определяется из соотношения(2.3.23).Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направленияи одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении ис той же частотой, что и складываемые колебания.Из (2.3.22) следует, что амплитуда А результирующего колебания зависит от разностиначальных фаз. Возможные значения А лежат в диапазоне(амплитуда не может быть отрицательной).Рассмотрим несколько простых случаев.1.Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть.

Тогда, гдеи,(2.3.24)так как, т.е. амплитуда результирующегоколебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны) (рис.2.3.9).158Рис. 2.3.92. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть. Тогда, где. Отсюда.(2.3.25)На рис.

2.3.10 изображена амплитуда результирующего колебания А, равная разностиамплитуд складываемых колебаний (колебания в противофазе).Рис. 2.3.103. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом:(2.3.26)Из уравнения (2.3.26) следует, чтои будет изменяться в соответствии свеличиной. Поэтому при сложении некогерентных колебаний не имеетсмысла говорить о сложении амплитуд, но в некоторых случаях наблюдаются вполнеопределенные закономерности. Для практики особый интерес представляет случай, когдадва складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Врезультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодическиизменяющейся амплитудой.Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двухгармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Строго говоря,это уже не гармонические колебания.Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и,причем. Начало отсчета выбираем так, чтобы начальные фазы обоих колебанийбыли равны нулю:159Сложим эти выражения, пренебрегая, так как..(2.3.27)Результирующее колебание (2.3.27) можно рассматривать как гармоническое счастотой ω и амплитудой Аб, которая изменяется по следующему периодическому закону:(2.3.28);.Характер зависимости (2.3.28) показан на рис. 2.3.11, где сплошные жирные линиидают график результирующего колебания, а огибающие их – график медленноменяющейся по уравнению (2.3.27) амплитуды.Рис.

2.3.11Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным иизмеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравненияизмеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройкимузыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.Вообще, колебания виданазываются модулированными.Частные случаи: амплитудная модуляция и модулирование по фазе или частоте.

Характеристики

Список файлов учебной работы