Конспект лекций_ФИЗИКА_2сем (1175198), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

2.1.22. Поле двух заряженных плоскостейПолученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояниемежду плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоскийконденсатор).Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицуплощади пластин):27, т.е.Механические силы,пондермоторными.действующиемежду.(2.1.34)заряженнымителами,называютТогда сила притяжения между пластинами конденсатора:(2.1.35)где S – площадь обкладок конденсатора.

Т.к., то(2.1.36).Это формула для расчета пондермоторной силы.Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R,заряженнойспостояннойлинейнойплотностью,гдеdq–заряд,сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.1.23).Рис. 2.1.23 Бесконечно длинный цилиндр (нить)Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдольрадиуса, перпендикулярно оси цилиндра.Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр вцилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси).

Дляоснований цилиндровдля боковой поверхностит.е. зависит отрасстояния r.28Следовательно, поток вектораПричерез рассматриваемую поверхность, равенна поверхности будет зарядПо теореме Остроградского-Гаусса, отсюда(2.1.37).Если, т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.1.24).Рис. 2.1.24. Поле бесконечно длинного цилиндра (нити)Если уменьшать радиус цилиндра R (при), то можно вблизи поверхностиполучить поле с очень большой напряженностью и, при, получить нить.Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, норазным знакомВнутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать2.1.25).(рис.29Рис.

2.1.25. Поле двух коаксиальных цилиндровВ зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины,если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрическийконденсатор).Поле заряженного пустотелого шараПустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом споверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным,– в любой точке проходит через центр шара.,и силовые линии перпендикулярныповерхности в любой точке.

Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.1.26).Еслисфере, тогдато внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по,откуда поле вне сферы:(2.1.38)Внутри сферы, приполе будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:30Рис. 2.1.26. Поле заряженного пустотелого шараКак видно из (2.1.38) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той жевеличины, помещенному в центр сферы.Поле объемного заряженного шараДля поля вне шара радиусом R (рис.

2.1.27) получается тот же результат, что и дляпустотелой сферы, т.е. справедлива формула:.Но внутри шара приравныйсферическая поверхность будет содержать в себе заряд,где ρ – объемная плотность заряда, равная:теореме Остроградского-Гаусса запишем:– объем шара. Тогда по;,т.е. внутри шара.(2.1.39)Таким образом, внутри шара31Рис. 2.1.27. Поле объемного заряженного шара2.1.11. Теорема о циркуляции вектора поляМы определили, что взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется черезэлектростатическое поле. Описание электростатического поля мы рассматривали спомощью вектора напряженности E , равного силе, действующей в данной точке напомещенный в неё пробный единичный положительный зарядСуществует и другой способ описания поля – с помощью потенциала.

Однако дляэтого необходимо сначала доказать, что силы электростатического поля консервативны, асамо поле потенциально.Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q ' . В любой точкеэтого поля на пробный точечный заряд q действует сила F (рис. 2.1.28).32Рис. 2.1.28,где F(r)– модуль вектора силы F ;– единичный вектор, определяющий положениезаряда q относительно q´; ε0 – электрическая постоянная.Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужнодоказать, что силы электростатического поля консервативны. Известно, что любоестационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этогополя не зависит от формы пути, а только от положения конечной и начальной точек.Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом q´по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2.Работа на пути dl равна:где dr – приращение радиус-вектора r при перемещении на dl;т.

е.Тогда полная работа при перемещении q´ из точки 1 в точку 2 равна интегралу:(2.1.40)Получили, что работа электростатических сил не зависит от формы пути, атолько лишь от координат начальной и конечной точек перемещения.Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально.33Этот вывод можно распространить и на поле, созданное системой зарядов, так как попринципу суперпозиции полей:.Итак, как и в механике, любое стационарное поле центральных сил являетсяконсервативными, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только отположения начальной и конечной точек. Именно таким свойством обладаетэлектростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов.

Если вкачестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 (рис. 2.1.29) заданного поля E вточку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будетравна:(2.1.41)Рис. 2.1.29.Тогда вся работа равна:(2.1.42)Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора E .Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что попроизвольному замкнутому пути:(2.1.43)Это утверждение и называют теоремой о циркуляции E .Для доказательства теоремы разобьем произвольно замкнутый путь на две части: 1а2 и2b1 (рис.

2.1.29). Из сказанного выше следует, что(Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутомупути:34Поле, обладающее такими свойствами, называетсяэлектростатическое поле является потенциальным.потенциальным.Любое2.1.12. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергияДо сих пор мы рассматривали описание электростатического поля с помощью векторанапряженности E . Есть другой способ описания поля – с помощью потенциала.Мы сделали заключение, что электростатическое поле потенциально. Следовательно,можно ввести функцию состояния, зависящую от координат – потенциальную энергию.Исходя из принципа суперпозиции сил, можно показать, что общая работа Абудет равна сумме работ каждой силы:Здесь каждое слагаемое не зависит от формы пути, следовательно, не зависит отформы пути и сумма.Итак, электростатическое поле потенциально. Работу сил электростатического поляможно выразить через убыль потенциальной энергии – разность двух функций состояний:(2.1.44)Это выражение для работы можно переписать в виде:(2.1.45)Сопоставляя формулу (2.1.44) и (2.1.45), получаем выражение для потенциальнойэнергии заряда q' в поле заряда q:(2.1.46)Потенциальную энергию определяют с точностью до постоянной интегрирования.Значение константы в выражении для W выбирают таким образом, чтобы приудалении заряда на бесконечность (т.

е. при), потенциальная энергия обращалась внуль. Выражение (2.1.46) – для одного заряда. Для системы зарядов суммарная энергия(2.1.47)35ЛЕКЦИЯ 42.1.13. Связь между напряженностью и потенциаломРазные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разнымиэнергиями W', W'' и так далее. Однако отношениебудет для всех зарядов одним итем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетическойхарактеристикой собственно поля – потенциал:(2.1.48)Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии,которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.Подставив в (2.1.48) значение потенциальной энергии (2.1.46), получим дляпотенциала точечного заряда следующее выражение:(2.1.49)Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постояннойинтегрирования.

Поскольку физический смысл имеет не потенциал, а разностьпотенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной вбесконечность, равен нулю. Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в видуразность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.

Другоеопределение потенциала:,т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля надединичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность(или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичныйположительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом, если q >0.Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции,получаем:(2.1.50)Тогда и для потенциалаили,(2.1.51)36т.е.

потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической суммепотенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. А вот напряженностискладываются при наложении полей – векторно. По этой причине потенциалы полейсчитать проще, чем напряженности.Вернемся к работе сил электростатического поля над зарядом q. Выразим работу черезразность потенциалов между начальной и конечной точками:(2.1.52)Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыльпотенциала. То есть(2.1.53)где U – напряжение.(Здесь видна хорошая аналогия с гравитационным полем:,здесь gh – имеет смысл потенциала, а m – заряда гравитационного поля).Итак, потенциал – скалярная величина, поэтому пользоваться и вычислять φ проще,чем E .

Приборы для измерения разности потенциалов широко распространены.Формулуможно использовать для установления единиц потенциала: заединицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую избесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работуравную единице.В СИ – единица потенциала.В физике часто используется единица энергии и работы, называемая электрон - вольт(эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона припрохождении им разности потенциалов 1 В, то есть:Итак, электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины E ,либо с помощью скалярной величины φ.

Характеристики

Список файлов учебной работы