Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Оценим сумму | | + | |:(2)|(1) | + | | 6 (1 − )| | + (1 + )| | == | | + 2 | | 6 (1 + 0.5 )| |.Приступим к получению оценки точности. Запишем равенство (17) в виде(1)(2)+1 = + + + . Далее, очевидно, справедлива оценка:(2)2 2|+1 | 6 | | + | | + (|(1) | + | |) 6 (1 + + 0.5 )| | + | |.Заметим, что слагаемые в сумме (1+ +0.5 2 2 ) являются первыми членамиразложения функции по формуле Тейлора по переменной в окрестностинуля.
Следовательно,(1 + + 0.5 2 2 ) 6 .Тогда|+1 | 6 | | + | |.Введем обозначение = . Тогда|+1 | 6 | | + | |, ∈ Z+ .Раскроем полученное рекуррентное соотношение:|+1 | 6 +1 |0 | + ∑︁=0− | |.§2. Общий -этапный метод Рунге–Кутта161Так как 0 = 0, то получаем:|+1 | 6 max | | .066Учтем, что 6 , тогда:|+1 | 6 max | |,066где константа = > 0 не зависит от . Заметим, чтоlim |+1 | = 0, →0так как | | 6 1 ( 2 ) по доказанному выше. Тогда при достаточно малых получаем:(︀ )︀|+1 | = O 2 .Это означает, что рассматриваемый общий двухэтапный метод Рунге–Куттапри выполнении соответствующих условий имеет квадратичную точность по , совпадающую с оценкой погрешности аппроксимации на решении исходного уравнения (3).§2Общий -этапный метод Рунге–КуттаРассмотрим задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:⎧⎨ = (, ()), > 0(1)⎩(0) = ,0где функции () и (, ) обладают достаточной гладкостью в соответствующих областях.
Считаем, решение () существует и единственно.Введем равномерную сетку в области > 0 с шагом > 0: = { = , > 0, ∈ Z+ }.Рассмотрим сеточную функцию = ( ), заданную на сетке . Пустьзначения этой функции в узлах сетки приближают значения = ( ).Обозначим = ( , ).Общая идея -этапного метода Рунге–Кутта заключается в том, что длявычисления значения приближенного решения в каждой следующей точке162Глава V .
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ+1 вводятся дополнительных этапов. Промежуточные значения на каждом шаге ∈ Z+ вычисляются по следующим формулам:1 = ( , ),2 = ( + 2 , + 21 1 ),3 = ( + 3 , + 31 1 + 32 2 ),... = ( + , + 1 1 + 2 2 + . . . + −1 −1 ).При этом разностная схема для исходной задачи (1) имеет вид⎧⎨ +1 − = + + .
. . + 1 12 2 ⎩ = , ∈ Z ,00+(2)где 1 , 2 , . . . , ∈ R.Будем также считать, что выполнено следующее условие аппроксимации,без которого рассмотрение метода не имеет смысла:∑︁ = 1.=1Заметим, что формулы -этапного метода Рунге–Кутта достаточно громоздки. Это является одной из причин того, что на практикередко используются методы Рунге–Кутта для > 4.Замечание.Приведем примеры трех- и четырех- этапных методов Рунге–Кутта, имеющих третий и четвертый порядок точности соответственно.Пример 1. = 3:1+1 − = (1 + 42 + 3 ),6где1 = ( , ),2 = ( + 0.5, + 0.5 1 ),3 = ( + , − 1 + 2 2 ).Данная схема имеет третий порядок точности по .§3.
Многошаговые разностные методыПример 2.163 = 4:+1 − 1= (1 + 22 + 23 + 4 ),6где1 = ( , ),2 = ( + 0.5, + 0.5 1 ),3 = ( + 0.5, + 0.5 2 ),4 = ( + , + 3 ).Данная схема имеет четвертый порядок точности по .§3Многошаговые разностные методыРассмотрим задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:⎧⎨ = (, ()), > 0,(1)⎩(0) = ,0где функции () и (, ) обладают достаточной гладкостью. Считаем, чторешение () существует и единственно.Введем равномерную сетку в области > 0 с шагом > 0: = { = , > 0, ∈ Z+ }.Рассмотрим сеточную функцию = ( ), заданную на сетке .
Пустьзначения этой функции в узлах сетки приближают значения = ( ).Обозначим = ( , ).Линейным -шаговым разностным методом решения задачи (1) называется разностная схема видаОпределение.∑︁=0− =∑︁ − ,(2)=0где ∈ N, > 0 – шаг сетки , , ∈ R, = 0, , причем 0 ̸= 0, ̸= 0.Замечание. Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значение = ( ) через найденные ранее значения −1 , −2 , . . . , − . Уравнение (2) определено для = , + 1, . . . и164Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУтребует для начала расчета задания начальных значений 0 , 1 , . . .
, −1 .Значение 0 = (0) определяется исходной задачей (1), а величины1 , . . . , −1 можно вычислить с помощью других методов, например, с помощью рассмотренного выше метода Рунге–Кутта. В дальнейшем будемпредполагать, что величины 0 , 1 , . . . , −1 уже заданы.Если в разностной схеме (2) 0 = 0, то рассматриваемый метод называетсяявным, и искомое значение выражается явным образом через предыдущие:=1=1∑︁ ∑︁0 − − =− .Если 0 ̸= 0, то метод называется неявным, и для нахождения приходится решать нелинейное уравнение0 − 0 ( , ) = (−1 , . .
. , − ),где∑︁( − − − ). (−1 , . . . , − ) ==1Обычно это уравнение решают итерационным методом Ньютона, выбираяначальное приближение равным −1 (этот метод мы рассматривали в §3главы III ).Заметим, что коэффициенты уравнения (2) определены с точностью домножителя. Для определенности будем считать, что выполнено условие∑︁ = 1.=0Это означает, что правая часть разностного уравнения (2) аппроксимируетправую часть дифференциального уравнения (1).Погрешностью аппроксимации разностной схемы (2) на решении исходной задачи (1) называется сеточная функцияОпределение. = −∑︁=0− +∑︁ (− , − ),=0заданная на сетке , где = ( ) — решение исходной задачи (1).(3)§3.
Многошаговые разностные методы165Выясним вопрос о порядке погрешности аппроксимации при → 0 в зависимости от выбора коэффициентов , , = 0, . Будем предполагать вдальнейшем, что все рассматриваемые функции обладают необходимой гладкостью. Разложим − по формуле Тейлора в точке :− = ( − ) =∑︁(− )!=0(︀)︀() ( ) + O +1 .Разложим правую часть исходного дифференциального уравнения в этой жеточке:− = ( − ) = ′ ( − ) =−1∑︁(− )!=0(︀ )︀(+1) ( ) + O .Подставим эти разложения в выражение (3) и получим−1∑︁∑︁∑︁(︀ )︀(− ) (+1) ∑︁ (− ) () ( ) +( ) + O .
= −!!=0=0=0=0Передвинем на единицу индекс суммирования во второй группе слагаемых,а также домножим и поделим на выражение, стоящее под знаком суммирования: = − ∑︁∑︁ (− )=0 =0!() ( ) + ∑︁∑︁ =1 =0(︀ )︀(− )−1 () ( ) + O .( − 1)!Объединив две суммы под общим знаком суммирования (для этого необходимо выписать отдельно нулевое слагаемое первой суммы), получим = −∑︁=0( )+∑︁=1(︃)︃∑︁∑︁(︀ )︀ (− ) ()(− )−1 ()− ( ) + ( ) +O .!!=1=1После очевидных преобразований получаем: = −∑︁=0( ) + ∑︁∑︁(− )−1=1 =0!(︀ )︀() ( )( + ) + O .Отсюда видно, что погрешность аппроксимации (3) имеет порядок , есливыполнены следующие условия:∑︁=0 = 0,166Глава V .
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ∑︁ −1 ( + ) = 0, = 1, 2, . . . , .=0Вместе с условием нормировки∑︁ = 1=0эти условия образуют систему из ( + 2)-х линейных алгебраических уравнений относительно 2( + 1) неизвестных 0 , 1 , . .
. , , 0 , 1 , . . . , .Полученную систему можно несколько упросить. Рассмотрим последниеусловия при = 1:∑︁( + ) = 0,=0∑︁ = −=0то есть∑︁ = −1,=0∑︁ = −1.=0Окончательно получаем следующую систему уравнений:⎧∑︀⎪⎪ = −1,⎨=1∑︀⎪⎪ −1 ( + ) = 0,⎩(4) = 2, ,=0в которой коэффициенты 0 , 0 вычисляются по формулам0 = −∑︁=1 ,0 = 1 −∑︁ .=1Таким образом, мы уменьшили число уравнений в системе до и число неизвестных до 2.
Чтобы система не была переопределенной (в таких системахчисло уравнений больше числа неизвестных) необходимо выполнение условия 6 2.Таким образом наибольший возможный порядок аппроксимации неявных-шаговых разностных методов равен 2, явных — (2 − 1), так как в явныхметодах 0 = 0, и число неизвестных в системе (4) меньше на единицу посравнению с системой, записанной для неявного метода.§3.
Многошаговые разностные методы1671. Еслиубрать последние уравнений системы (4), = 1, ( − 1), то(︀ получимусловия, обеспечивающие порядок погрешность)︀−аппроксимации O .ЗамечаниеВ практике вычислений наибольшее распространение получили методы Адамса, которые представляют собой частный случай многошаговых методов (2), когда производная ′ () в исходном уравнении аппроксимируется по двум крайним точкам −1 и , то есть 0 = 1, 1 =−1, = 0, = 2, : − −1 ∑︁= − .Замечание 2.=0Разностные схемы вида (2), обладающие наивысшими порядками аппроксимации на решении исходного уравнения, неустойчивы и не могут быть использованы на практике. Максимальный порядок аппроксимации устойчивого неявного -шагового метода не превосходит ( + 1), если нечетно, и не превосходит (+2), если четно. Порядок аппроксимацииустойчивых явных схем не превосходит .
Подробнее понятие устойчивости -шагового разностного метода мы рассмотрим в следующем параграфе.Замечание 3.В завершение рассмотрим достоинства и недостатки многошаговых разностных методов по сравнению с методом Рунге–Кутта.Достоинства:1. Формулы многошаговых методов значительно проще.2. Многошаговые методы позволяют достигать большей точности.Недостатки:1. В многошаговых методах необходимо хранить в памяти большее числоэлементов — значения нескольких предыдущих шагов вместо одного.2. Многошаговые методы требуют наличия «разгонного этапа», то естьзначений нескольких первых шагов, которые нельзя вычислить по многошаговым формулам. Как мы уже упоминали, эти значения обычновычисляют с помощью метода Рунге–Кутта.168§4Глава V .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
