Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659)
Текст из файла
Московский государственный университет имени М. В.ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиЛекции по курсуЧисленные методыЛекторН. И. ИонкинМосква, 2015ОглавлениеПредисловие5Введение7Список обозначений10Глава I Численные методы линейной алгебры11§1§2§3§4§5Основные задачи главы I . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .Связь метода Гаусса с факторизацией матрицы . . . . . . . . .Обращение матрицы методом Гаусса-Жордана . . . . . . . . .Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Примеры и канонический вид итерационных методов решенияСЛАУ . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§6 Теоремы о сходимости итерационных методов . . . . . . . . . .§7 Оценка скорости сходимости итерационных методов . . . . . .§8 Исследование скорости сходимости ПТИМ . . . . . . . . . . .§9 Методы решения задач на собственные значения . . . . . . . .§10 Приведение матрицы к верхней почти треугольной форме . .§11 Понятие о QR-алгоритме решения полной проблемы собственных значений .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§12 Предварительное преобразование матрицы к ВПТФ. Неухудшение ВПТФ при QR-алгоритме . . . . . . . . . . . . . . . . .....11131821......243037424754. 59. 62Глава II Интерполирование и приближение функций§1§2§3§4§5§6§7§8Постановка задачи интерполирования . . . . . . .
. . . . . . .Интерполяционная формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . .Разделенные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интерполяционная формула Ньютона . . . . . . . . . . . . . .Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита . . .Оценка погрешности формулы Симпсона при помощи полинома Эрмита . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Наилучшее среднеквадратичное приближение функции . . . .Наилучшее среднеквадратичное приближение функций, заданных таблично . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64.....6466687274. 81. 85. 91Глава III Численное решение нелинейных уравнений и системнелинейных уравнений§1§2§3§4Способы локалзации корней нелинейного уравнения . . . .Метод простой итерации . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .Метод Ньютона и метод секущих . . . . . . . . . . . . . . .Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости93............939699105Глава IV Разностные методы решения задач математическойфизики§1§2§3§4§5§6§7§8§9109Первая краевая задача для уравнения теплопроводности . . . .
109Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость112Чисто неявная разностная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость, устойчивость в норме 2 (ℎ ) . . . . . . . . . 124Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Методы решения разностной задачи Дирихле . . . . . . . . . . . 144Основные понятия теории разностных схем . . . . . . . . . . . . 146Глава V Методы решения обыкновенных дифференциальныхуравнений и систем ОДУ§1§2§3§4§5§6§7152Постановка задачи Коши и численные методы ее решения . . . 152Общий -этапный метод Рунге–Кутта .
. . . . . . . . . . . . . . 161Многошаговые разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Понятие устойчивости разностного метода . . . . . . . . . . . . 168Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений 175Дальнейшие определения устойчивости . . . . . . . . . . . . .
. 179Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второгопорядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Литература191Предметный указатель192Приложение А194ПредисловиеЧитателю предлагается курс лекций по численным методам, который авторчитает более трех десятков лет студентам III–IV курсов потока программистских кафедр факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Безусловно,программа и содержание курса неоднократно менялись за эти годы как всвязи с обновлениями курса, так и в связи с преобразованиями учебных планов, происходившими в разные годы на факультете ВМК.
Здесь представленвариант курса, читаемый автором в последние годы.Отечественными математиками написан ряд замечательных учебных пособий по численным методам (см. [1]-[6], [8], [9]). При подготовке курса наиболее существенно использовалось учебное пособие А. А. Самарского и А. В. Гулина "Численные методы". На содержание курса самым благоприятным образом повлияли многочисленные беседы и обсуждения автора со своим учителем академиком А. А.
Самарским, другом и коллегой профессором А. В. Гулиным, другими коллегами по кафедре. Многие замечания и советы, сделанные ими, были учтены и, несомненно, способствовали улучшению содержаниялекций. Считаю честью выразить им свою искреннюю благодарность.Решение издать курс лекций продиктовано постоянными из года в годпросьбами студентов, слушающих этот курс, оформить лекции в печатномвиде.
Необходимость издания лекций в настоящее время обсуловлена тем,что лекции читаются на выпускном IV курсе. Промежуток времени междуэкзаменом по численным методам и госэкзаменом, в который, в частности,входят вопросы по численным методам, мал и, по мнению автора, наличиеучебного пособия будет способствовать более эффективной подготовке к этимиспытаниям и значительно сократить время поиска нужного материала.Данный курс лекций, в основном, ориентирован на студентов (и читателей), главной специализацией которых не является разработка и теоретическое обоснование численных методов решения прикладных задач. Предполагается, что читатель знаком с базовыми понятиями линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и уравнений матема-тической физики. При построении и обосновании численных алгоритмов используются, по возможности, наиболее доступный математический аппаратперечисленных выше разделов математики.
Одной из главных задач курсаявляется обретение студентами навыка ориентирования в области численныхметодов. В процессе работы над предложенным курсом читатель знакомитсяс идеями построения и обоснования вычислительных алгоритмов и приобретает знания, которые он может использовать для разработки новых алгоритмов.С большим удовольствием выражаю благодарность студентам – слушателям лекций, которые оказали неоценимую помощь при оформлении данныхлекций.
Привлекая студентов к работе над текстом в течение ряда последних лет, автор лекций старался понять и учесть пожелания слушателей поформе изложения материала. В результате этой работы автор остановилсяна предложенном здесь варианте. Не имея возможности перечислить всехстудентов поименно, автор выражает всем им глубокую благодарность и судовольствием вспоминает совместную работу.Лауреат Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность,заслуженный преподаватель МГУ Н.И.
ИонкинВведениеПредмет численных методов, если его понимать не как учебный курс, а какотрасль науки, весьма обширен и неоднороден. В очень общих чертах егоможно охарактеризовать как совокупность приемов и методов, позволяющихс помощью компьютера решать те или иные задачи, уже получившие математическую формулировку.Предполагается, что читатель знаком с некоторыми численными методами. Так, в курсах анализа и алгебры рассматривались приближенные методывычисления определенных интегралов, нахождения корней алгебраическихуравнений, решения систем линейных алгебраических уравнений. Из курса«Введение в численные методы» читатель получил представление о приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений с помощьюметода конечных разностей.Нетрудно видеть, что общим для всех перечисленных методов являетсяпостроение и обоснование алгоритма, позволяющего дать решение исходнойзадачи в виде числа или таблицы чисел.Обычно процесс решения прикладной задачи складывается из нескольких крупных этапов, образующих, как иногда говорят, «колесо Самарского»(А.
А. Самарский — один из крупнейших математиков XX века в области численных методов решения актуальных прикладных задач). Позднее А. А. Самарским этапы решения задач вычислительной математики были укрупненыи сформулированы в виде триады: модель, алгоритм, программа.Принцип колеса Самарского заключен в следующем: сначала по изучаемому объекту строится его математическая модель, которая отражает существенные в данной задаче свойства изучаемого объекта.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
