Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тогда задача (7) – (8) записывается в виде{︃( ), − + = 0, = 1, ( − 1)(9)0 = 1 , = 2 .Систему уравнений (9) можно записать в виде трехточечного уравнения −1 − + +1 = − , = 1, ( − 1), 0 = 1 , = 2 .(10)где = , = +1 , = 1 + +1 + ℎ2 , = ℎ2 . В силу диагональногопреобладания матрицы системы (10), задача (10) имеет, и притом единственное, решение, которое обычно находится методом прогонки.186Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУДостаточные условия второго порядка аппроксимацииРассмотрим разностную схему (9) и найдем условия, которым должны удовлетворять коэффициенты , и правая часть , чтобы она имела второйпорядок аппроксимации.
Для погрешности = − , как обычно, получаемзадачу( ), − = − , 0 = = 0, = 1, ( − 1),(11)где1 = ( ), − + =ℎ(︂)︂+1 − − −1+1− − + (12)ℎℎ— погрешность аппроксимации разностной схемы (9) на решении задачи (1).Считая () достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, разложим в точке по формуле Тейлора:+1 = + ℎ′ +(︀ )︀ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 + + + O ℎ5 ,2624−1 = − ℎ′ +(︀ )︀ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 − + + O ℎ5 ,2624, =(︀ )︀ℎℎ2ℎ3 +1 − = ′ + ′′ + ′′′ + O ℎ4 , +ℎ2624, =(︀ )︀ − −1ℎℎ2ℎ3 = ′ − ′′ + ′′′− + O ℎ4 .ℎ2624Подставим , , , в (12):1 =ℎ(︂(︂)︂(︂)︂)︂(︀ 3 )︀(︀ 3 )︀ℎ ′′ ℎ2 ′′′ℎ ′′ ℎ2 ′′′′′+1 + + + O ℎ− − + + O ℎ−2626− + =(︀ )︀+1 − ′ +1 + ′′+1 − ′′′ + + ℎ − + + O ℎ2 .ℎ26Учитывая, что 0 = ((′ )′ − + ) = ′ ′ + ′′ − + , перепишем в виде(︀)︀+1 − ′ +1 + ′′ +1 − ′′′ + +ℎ − + − ′ ′ + ′′ − + =ℎ26(︂)︂(︂)︂(︀ )︀+1 − +1 + ′′=− +− ′′ − ( − ) + ( − ) + O ℎ2 .ℎℎ =§7. Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка187Отсюда видно, что если будут выполнены условия (это и есть достаточныеусловия):(︀ )︀ +1 + (︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀+1 − = ′ +O ℎ2 ,= +O ℎ2 , = +O ℎ2 , = +O ℎ2 ,ℎ2(13)(︀ 2 )︀то = O ℎ .
Из первых двух соотношений вытекает(︀ )︀(︀ )︀ℎ ′ + O ℎ2 = − 1 + O ℎ2 ,22(︀ )︀(︀ )︀ℎ+1 = + ′ + O ℎ2 = + 1 + O ℎ2 .22Нетрудно видеть, что коэффициенты∫︁−1 + 11 = − 1 , =,=22ℎ −1 () = −удовлетворяют этим условиям. Так, например, при = − 1 имеем2 = − 1 = −2(︀ )︀ℎ ′ ℎ2 ′′ + + O ℎ3 ,28+1 = + 1 = +2и, следовательно,(︀ )︀ℎ ′ ℎ2 ′′ + + O ℎ3 ,28(︀ )︀ +1 + (︀ )︀(︀ )︀ℎ2+1 − = ′ + O ℎ2 ,= + ′′ + O ℎ3 = + O ℎ2 .ℎ24Принцип максимумаДля оценки решения задачи (10) можно воспользоваться так называемымпринципом максимума.Запишем первую краевую задачу в виде{︃[ ] = − −1 + − +1 = , = 1, ( − 1),(14)0 = 1 , = 2 .Теорема 1.Пусть выполнены неравенства > 0, > 0, − − > 0, = 1, ( − 1)(15)и пусть [ ] 6 0([ ] > 0), = 1, ( − 1).
Тогда если ̸= , то не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения во внутренних узлах, т.е. при = 1, ( − 1).188Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУОт противного предположим, что в узле = * функция достигает наибольшего положительного значения * = max = 0 > 0.Доказательство.166 −1Так как ̸= , то найдется такая точка 0 , в которой 0 = * = 0 > 0, ав одной из соседних точек, например, в точке = 0 −1 выполнено 0 −1 < 0 .Запишем [ ] = ( − − ) + ( − −1 ) − (+1 − ).
В точке = 0 получим[0 ] = (0 − 0 − 0 )0 + 0 (0 − 0 −1 ) − 0 (0 +1 − 0 ).Отсюда в силу условий (15) имеем:[0 ] > 0 (0 − 0 −1 ) + 0 (0 − 0 +1 ) > 0,так как 0 > 0 +1 , 0 > 0 −1 . Это противоречит условию теоремы[ ] 6 0, = 1, ( − 1), в том числе и для = 0 .Первое утверждение теоремы доказано. Вторая часть теоремы доказывается аналогично (достаточно заменить на − и воспользоваться доказанными выше утверждениями).Пусть выполнены условия (15) и ( ) > 0, = 1, ( − 1) ипусть 0 > 0, > 0. Тогда > 0, = 0, .
Если выполнены условия (15) и( ) 6 0, = 1, ( − 1), 0 6 0, 6 0, то 6 0, = 0, .Следствие 1.В самом деле, пусть ( ) > 0, а < 0 хотя бы в одной точке = * ,0 < * < . Тогда должна достигать наименьшего отрицательного значения во внутренней точке = 0 , 0 < 0 < , что невозможно в силу доказанной теоремы.Следствие 2.нием задачиПусть выполнены условия (15). Тогда единственным реше( ) = 0, = 1, ( − 1), 0 = = 0(16)является функция = 0, = 0, и, следовательно, задача (14) однозначноразрешима при любых 1 , 2 и .В самом деле, предполагая, что решение задачи (16) хотя бы в одной точке = * * ̸= 0, придем к противоречию с принципом максимума: если * > 0,то достигает наибольшего положительного значения (при * наименьшегоотрицательного значения) в некоторой точке 0 , 0 < 0 < , что невозможно.Теорема 2.(теорема сравнения) Пусть — решение задачи( ) = , = 1, ( − 1),§7.
Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка0 = 1 ,189 = 2 ,а — решение задачи( ) = , = 1, ( − 1),0 = 1 ,= 2 ,и пусть выполнены условия| | 6 , = 1, ( − 1),|1 | 6 1 ,|2 | 6 2 .Тогда | | 6 , = 0, .Доказательство.В силу следствия 1 имеем > 0, = 0, , так как( ) > 0, = 1, ( − 1), 0 > 0, > 0Функции = − и = + удовлетворяют уравнению (14) с правымичастями − > 0, + > 0 и граничным условиям 0 = 1 − 1 > 0, = 2 − 2 > 0, 0 = 1 + 1 > 0, = 2 + 2 > 0, соответственно.Согласно следствию 1 имеем > 0 и > 0, = 0, или − 6 6 , тоесть | | 6 , что и требовалось доказать.Функцию будем называть мажорантой для решения задачи (14).
Еслиудается построить мажоранту , то тем самым удается получить оценку длярешения задачи (14)‖‖ 6 ‖‖ .Следствие 3.Для решения однородного уравнения( ) = 0, = 1, ( − 1), 0 = 1 , = 2справедлива оценка‖‖ = max | | 6 max(|1 |, |2 |).166Доказательство.(17)Рассмотрим вспомогательную задачу( ) = 0,0 < < , 0 = = ,где = max(|1 |, |2 |). В силу теоремы сравнения ‖‖ 6 ‖‖ , а из теоремы 1 следует, что ‖‖ 6 , так как > 0 может достигать наибольшегоположительного значения только на границе при = 0 или = .
Следствиедоказано.190Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУТеорема 3.Пусть выполнены условия| | > 0, | | > 0, = | | − | | − | | > 0, = 1, ( − 1)(18)Тогда для решения задачи( ) = , = 1, ( − 1), 0 = = 0,справедлива оценкаДоказательство.в виде:(19)⃦ ⃦⃦ ⃦⃦‖‖ 6 ⃦⃦⃦ .Для доказательства этой теоремы запишем уравнение (14) = −1 + +1 + .(20)Пусть | | достигает своего наибольшего значения |0 | > 0 при = 0 ,0 < 0 < , так что |0 | > , = 0, .
Тогда из уравнения (20) при = 0следует|0 0 | = |0 ||0 | 6 |0 ||0 −1 | + |0 ||0 +1 | + 0 6 (|0 | + |0 |) |0 | + |0 |.Отсюда получаем:(|0 | − |0 | + |0 |)|0 | = 0 |0 | 6 |0 |.Следовательно,⃦ ⃦⃦|0 | ⃦⃦6⃦‖ ‖ = |0 | = max | | 6⃦⃦ ,166 −1 0что и требовалось доказать.Теорема 3 позволяет получить оценку решения разностной схемы (10) при0 = 0, = 0. Запишем ее в виде( ) = , где ( ) = − −1 + − +1 , = , = +1 , = + +1 + ℎ2 , = ℎ2 , = 1, − 1, 0 = 0, = 0.Следствие 4.лива оценка:(21)Пусть () > 1 > 0. Тогда для решения задачи (21) справед-1‖‖ .1| |ℎ2 | |1В самом деле, = ℎ2 | |. Следовательно,= 26 | |. Отсюдаℎ | |11‖‖ 6 ‖‖ .1‖‖ 6Литература1.
А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы.М.: Наука, 1989.2. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы.М.: Наука, 1987.3. А. А. Самарский. Теория разностных схем. 3-е изд.М.: Наука, 1989.4. А. А. Самарский, Е. С. Николаев. Методы решения сеточных уравнений.М.: Наука, 1978.5.
И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений.М.: Государственное издательство физико-математической литературы,1959.6. Н. Н. Калиткин. Численные методы. 2-е изд.СПБ.: БХВ-Петербург, 2011.7. В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.М.: Изд-во МГУ, 1998.8.
Д. П. Костомаров, А. П. Фаворский. Вводные лекции по численным методам.М.: Логос, 2004.9. В. В. Воеводин. Вычислительные основы линейной алгебры.М.: Наука, 1977.10. Дж. Х. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений.М.: Наука, 1970.11. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики.М.: Наука, 1970.Предметный указательАбсолютнаясходимость, 119, 123Алгоритмнахождения разностного решения,114явный, 28двухслойный, 25интегро-интерполяционный, 183Якоби, 25Зейделя, 26Аппроксимация, 116, 186Итерационный параметр, 28, 98Априорная оценка, 114, 118Коэффиценты Фурье, 89Асимптотическая устойчивость поКорректная разностная схема, 149Ляпунову, 179Базис, 48Краевая задача, 112Кратность узла интерполирования, 74ортогональный, 127Квадратурная формула Симпсона, 81ортонормированный, 50Линейный операторортонормированный, 41Бисекция, 95Частичная проблема собственныхзначений, 12, 47Число жесткости, 179Дикретный аналогнеотрицательный, 31положительный, 31Линейное пространство, 30, 33Локализация корней, 93МатрицаЯкоби, 103функции, 112диагональная, 21краевых условий, 113элементарного отражения, 54начальных условий, 113невырожденная, 11уравнения, 112нижняя треугольная, 13Двухшаговая разностная схема, 155обратная, 12, 52Формула Тейлора, 100ортогональная, 55, 59Функция мажоранта, 143, 189симметрическая, 21, 55Гильбертово пространство, 85со строгим диагональнымГрама матрица, 89преобладанием, 121Характеристическое уравнение, 172трехдиагональная, 121Интерполирование функций, 64верхняя почти треугольная, 54Интерполяционный полином, 65верхняя треугольная, 13Эрмита, 75перехода, 32Лагранжа, 66подобная, 61Ньютона, 73Итерационный метод, 11положительно определенная, 36Методканоническая форма записи, 28Адамса, 153неявный, 28квадратного корня, 21попеременно-треугольный, 29, 43Ньютона, 99Предметный указатель193обращения матрицы, 18Равенство Парсеваля, 39, 41обратных итераций, 51Разделенные разности, 68обратных итераций со сдвигом, 53Разностная сетка, 110прогонки, 121Разностная схемапростой итерации, 28, 96для уравнения Пуассона, 137Ричардсона, 28Эйлера, 154Рунге-Кутта, 153с весами, 133секущих, 99симметричная, 124Многошаговый разностный метод, 153Разностный оператор, 141Модифицированный метод Ньютона, 102Рекуррентная формула, 97, 132, 160, 163Начальное приближение, 32, 51, 108Сеточная функция, 112Необходимое числоСходимостьитераций, 12, 46итерационного метода, 32операций, 15метода Ньютона, 105, 107Неравенство Коши-Буняковского, 44Невязка, 29разностной схемы, 114, 150Скорость сходимости итерационногометода, 38Неявная схема Эйлера, 169Слой, 111Нормаевклидова, 30Собственная функция, 12, 47энергетическая, 31Собственные значения, 12, 47Область устойчивости, 180Согласованные нормы, 147Обобщенный многочлен, 86Среднеквадратичное приближение, 85Оценка скорости сходимостиитерационного метода, 37Операторпроектирования, 147самосопрояженный, 31Определитель Вандермонда, 66Погрешностьаппроксимации на решении, 113,115, 149интерполирования, 68итерационного метода, 31функций, заданных таблично, 91Шаблон, 114Шаг сетки, 110ТеоремаРолля, 79Самарского, 32сравнения, 188Точность разностной схемы, 150Условие Липшица, 97Условная устойчивость разностных схем,119разностной схемы, 148Устойчивость раностной схемы, 114решения разностной схемы, 115Устойчивость разностной схемыПолная проблема собственных значений,для задачи Коши, 16812, 47Порядок аппроксимации, 149по начальному условию, 118по правой части, 118Преобразование подобия, 58Узлы интерполирования, 65, 83Принцип максимума, 141, 187Задача корректно поставлена, 146Прямые методы, 11Жесткие системы ОДУ, 175, 177Приложение АМатериалы для данного раздела были взяты из открытых источников и Интернета.1.
Александр Андреевич Самарский (1919–2008) — основоположник отечественного математического моделирования, крупнейший специалиств области вычислительной математики, математической физики, теории разностных схем, численного моделирования сложных нелинейныхсистем. Создатель теории операторно-разностных схем, общей теорииустойчивости разностных схем.2. Огюстен Луи Коши (1789–1857) — великий французский математик имеханик, член Парижской академии наук, Лондонского королевскогообщества, Петербургской академии наук и других академий. Разработалфундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ,алгебру, математическую физику и многие другие области математики;один из основоположников механики сплошных сред.3.
Леопольд Кронекер (1823–1891) — немецкий математик. Брат известногофизиологаГугоКронекера(1830–1914).Иностранныйчлен-корреспондент Петербургской Академии наук (1872), член Берлинской АН (1861), профессор университета в Берлине. Основные труды по алгебре и теории чисел, где он продолжил работы своего учителяЭ. Куммера по теории квадратичных форм и теории групп. Большоезначение имеют его исследования по арифметической теории алгебраических величин.4. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли(1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.Приложение А1955.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
