Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Конкретные примеры разностных сеток были приведены в предыдущих параграфах.После того, как введена сетка ℎ , функции непрерывного аргумента ,определенные для ∈ , заменяют сеточными функциями, т.е. функциями, определенными только в точках сетки ℎ . Правую часть () уравнения(1) заменяют приближенно некоторой сеточной функцией ℎ (), ∈ ℎ , адифференциальный оператор — линейным разностным оператором ℎ . Врезультате вместо дифференциального уравнения (1) получают систему разностных уравненийℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ ,(2)которая называется разностной схемой.Для изучения устойчивости и сходимости разностной задачи (2) нужноввести пространство сеточных функций. Будем считать, что решение ()задачи (1) принадлежнит линейному нормированному пространству 0 , арешение ℎ () разностной схемы (2) принадлежит конечномерному линейному нормированному пространству ℎ .
Нормы в пространствах 0 и ℎ будемобозначать, соответственно, через ‖·‖0 и ‖·‖ℎ .Существенным при введении конкретных норм является вопрос о связиэтих норм в пространствах 0 и ℎ .§9. Основные понятия теории разностных схем147Введем оператор проектирования ℎ : 0 → ℎ , т.е. линейный оператор,сопоставляющий каждому элементу ∈ 0 некоторый элемент ℎ ∈ ℎ .Будем обозначать через ℎ проекцию элемента ℎ = ℎ , ∈ 0 , ℎ ∈ ℎ .(3)Будем предполагать в дальнейшем, что нормы ‖·‖0 и ‖·‖ℎ согласованы в томсмысле, что для любого элемента ∈ 0 существует(4)lim ‖ℎ ‖ℎ = ‖‖0 .|ℎ|→0Пример.Пусть — отрезок 0 6 6 1 иℎ = { = ℎ, = 0, , ℎ = 1}.В качестве 0 возьмем пространство непрерывных функций () с нормой‖‖0 = max |()|.∈Оператор проектирования ℎ можно определить правилом(ℎ )( ) = ( ), ∈ ℎ ,т.е.
ℎ ( ) = ( ), ∈ ℎ — в качестве проекции функции () берется еезначение в данной точке сетки. Пространство ℎ представляет собой линейное пространство векторов = (0 , 1 , . . . , ) с нормой‖‖ℎ = max | |.066Эти две нормы согласованы.Приведем пример других согласованных норм.Пример.В пространстве ℎ введем норму по правилу‖‖ℎ =(︃ ∑︁)︃ 21| |2 ℎ.=0Эта норма согласована с нормой⎛ 1⎞ 12∫︁‖‖0 = ⎝ ||2 ()⎠ ,0заданной в пространстве 0 .148Глава IV .
Разностные методы решения задач математической физикиПриведем пример несогласованных норм.Пример.Так норма‖‖ℎ =(︃ ∑︁)︃ 12| |2,=0не является согласованной ни с какой нормой в пространстве 0 , так как,например, при () ≡ 1, ∈ имеем(︃‖ℎ ‖ℎ =∑︁)︃ 21=1√2 + 1 → ∞,=0при ℎ → 0 ( ℎ = 1).В качестве оператора проектирования можно взять оператор среднегозначения, а именно1(ℎ )( ) =ℎ∫︁+0.5ℎ(), = 1, − 1, −0.5ℎ1(ℎ )(0 ) =0.5ℎ0.5ℎ∫︁(), (ℎ ())( ) =10.5ℎ0∫︁1().1−0.5ℎВведем основные понятия теории разностных схем.Пусть () — решение исходной задачи (1), ℎ () = ℎ () — проекцияэтого решения на пространство сеточных функций ℎ , ℎ — решение разностной задачи (2).Определение.Сеточная функцияℎ () = ℎ () − ℎ (), ∈ ℎ ,называется погрешностью разностной схемы (2).Подставим выражение ℎ () = ℎ () + ℎ () в уравнение (2) и, используялинейность оператора ℎ , получимℎ ℎ () + ℎ ℎ () = ℎ ().Отсюда следуетℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ ,(5)ℎ () = ℎ () − ℎ ℎ ().(6)где§9.
Основные понятия теории разностных схем149Сеточная функция ℎ (), определенная по формуле (6), называется погрешностью аппроксимации (или невязкой) разностной задачи(2) на решении исходной дифференциальной задачи (1).Определение.Таким образом, для погрешности разностной схемы ℎ () получаем задачу (5) той же структуры, что и разностная задача (2), но с правой частью,представляющей собой погрешность аппроксимации на решении.Спроектируем исходное уравнение (1) на пространство ℎ , т.е.
запишемсеточное уравнениеℎ () = ℎ .Представим погрешность аппроксимации ℎ () в виде суммы(1)(2)ℎ () = ℎ () + ℎ (),(1)(2)где ℎ () = ℎ ()() − ℎ ℎ (), ℎ () = ℎ () − ℎ (), ℎ () = ℎ . Функ(1)ция ℎ () называется погрешностью аппроксимации дифференциального(2)оператора разностным оператором ℎ . Функция ℎ () называется погрешностью аппроксимации правой части.Говорят, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу (1), если ‖ℎ ‖ℎ → 0 при |ℎ| → 0.Определение.Разностная схема (2) имеет -й порядок аппроксимации,если существуют положительные константы 1 и не зависящие от ℎ итакие, что при всех достаточно малых ℎ выполняется оценкаОпределение.‖ℎ ‖ℎ 6 1 |ℎ| .Введем понятие корректности разностной схемы.Определение. Разностная схема (2) называется корректной, если при всехдостаточно малых ℎ:1. ее решение ℎ () ∈ ℎ существует и единственно при любых правыхчастях ℎ ∈ ℎ ,2.
существует постоянная 2 > 0, не зависящая от ℎ и такая, что прилюбых правых частях ℎ для решения задачи (2) справедлива оценка:‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .(7)150Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикиСущественным отличием от определения корректности дифференциальной задачи является условие независимости константы 2 от шагов сетки.Требование 1) в определении корректности означает существование оператора −1ℎ , обратного к оператору ℎ , а требование 2) — равномерную по ℎограниченность оператора −1ℎ .Свойство разностной схемы, выраженное неравенством (7), означает непрерывную и равномерную по ℎ зависимость ее решения от правой части.
Этосвойство назывют устойчивостью разностной схемы.Определение. Решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1), (или, более коротко, разностная схема сходится), еслиlim ‖ℎ ‖ℎ = lim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0ℎ→0Говорят, что разностная схема имеет -й порядок точности, если существует постоянная 3 > 0, не зависящая от ℎ и постоянная > 0 такие, что‖ℎ ‖ℎ 6 3 |ℎ| .Определение.Покажем, что из аппроксимации и устойчивости разностной схемы следует ее сходимость.(Филиппова). Предположим, что исходная задача (1) поставлена корректно.
Пусть разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу (1) и явлентся корректной. Тогда решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1), причем порядок точности разностнойсхемы совпадает с порядком аппроксимации.Теорема 1.Рассмотрим задачу для погрешности (5). Так как уравнение (5) отличается от уравнения (2) только правой частью, из требованияустойчивости следует, что для ℎ () справедлива оценкаДоказательство.‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .Правая часть этого неравенства стремится к нулю при |ℎ| → 0, а так как 2не зависит от ℎ и, по условию теоремы, разностная схема аппроксимируетисходную задачу. Следовательно ‖ℎ ‖ℎ → 0 при |ℎ| → 0, т.е. схема сходится.Так как схема имеет -й порядок аппроксимации, то‖ℎ ‖ℎ 6 1 |ℎ|и ‖ℎ ‖ℎ 6 3 |ℎ| , 3 = 1 2 , что означает, что схема (2) имеет -й порядокточности.§9.
Основные понятия теории разностных схем151Доказанная теорема позволяет разделить исследование сходимости разностной схемы на два этапа: исследование погрешности аппроксимации нарешении и получение оценок вида (7), т.е. исследование устойчивости.
Какправило, второй этап более трудный, чем первый.При доказательстве теоремы Филиппова условие согласованности норм (4) не использовалось. Это условие нужно для того, чтобы гарантировать единственность предельной функции. Теорема утверждает,что последовательность ℎ сходится к точному решению ∈ 0 в томсмысле, что ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, при |ℎ| → 0.
Но из теоремы не следует, чтоне может существовать такая функция ∈ 0 (не являющаяся решениезадачи (1)), для которой также выполнено условие ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, при|ℎ| → 0.Замечание.Требование согласованности норм (4) устраняет эту неоднозначность. Всамом деле,‖ℎ − ℎ ‖ℎ = ‖(ℎ − ℎ ) + (ℎ − ℎ )‖ℎ 6 ‖ℎ − ℎ ‖ℎ + ‖ℎ − ℎ ‖ℎ .(8)Так как ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, то из (8) следует, что ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0,при |ℎ| → 0.Но тогда из (4) получимlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = ‖ − ‖0 = 0,ℎ→0и, следовательно, ≡ .Глава VМетоды решенияобыкновенныхдифференциальных уравненийи систем ОДУ§1Постановка задачи Коши и примеры численныхметодов решения задачи КошиВ этой главе рассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений⎧⎨ = (, ()), > 0,(1)⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), .
. . , ()) , (, ()) = (1 (, ()), . . . , (, ()) .Напомним теорему, гарантирующую существование и единственность решения задачи (1) в окрестности начальных данных.Обозначим√︁|()| = 21 () + 22 () + . . . + 2 ().Предположим, что функция (, ()) непрерывна в параллелепипеде = {|| 6 , |() − (0)| 6 , , ∈ R}и удовлетворяет в условию Липшица по второму аргументу, то есть| (, ) − (, )| 6 | − |,§1.
Постановка задачи Коши и численные методы ее решения153для всех (, ), (, ) ∈ .При выполнении этих условий существует единственное решение () задачи (1), определенное и непрерывное на некотором отрезке.Доказательство этой теоремы основано на методе Пикара, который состоит в том, что дифференциальную задачу (1) заменяют эквивалентныминтегральным уравнением∫︁() = (0) + (, ())0и для этого интегрального уравнения доказывается сходимость последовательных приближений (), построенных по правилу∫︁ (, ()).+1 () = (0) +(2)0Если функция (, ) такова, что интеграл в правой части уравнения (2)легко вычисляется, то метод Пикара, безусловно, можно использовать дляотыскания приближенного решения задачи (1). Однако найти этот интегралв явном виде, как правило, не удается.В дальнейшем при построении и исследовании численных методов будемпредполагать, что искомое решение задачи (1) () существует, единственнои обладает требуемыми свойствами гладкости.В настоящее время наибольшее распространение получили две группычисленных методов решения задачи Коши:1.
Методы Рунге–Кутта;2. Многошаговые разностные методы, наиболее известными из которыхявляются методы Адамса.Приведем примеры таких методов, предполагая для простоты изложения,что система (1) состоит всего из одного уравнения. Рассмотрим следующуюзадачу Коши:⎧⎨ = (, ()), > 0,(3)⎩(0) = ,0Введем сетку по времени с постоянным шагом > 0, то есть множество точек = { = , ∈ Z+ },и обозначим = ( ), = ( , ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
