Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость, устойчивостьв норме 2 ( )131Учитывая, что (1 + 0.5 ) ̸= 0, получаем (+1 ) =1 − 0.5 ( ) + () ( ).1 + 0.5 1 + 0.5 (23)1 − 0.5 .1 + 0.5 Показать, чтоОбозначим =Задача.⃒⃒⃒ 1 − 0.5 ⃒⃒ 6 1.⃒| | = ⃒1 + 0.5 ⃒Решение.Нужно показать, что −1 6 6 1 или−1 61 − 0.5 6 1.1 + 0.5 Неравенство1 − 0.5 611 + 0.5 очевидно в силу того, что > 0, > 0.
Рассмотрим теперь неравенство1 − 0.5 > −11 + 0.5 или−1 − 0.5 6 1 − 0.5 ,которое, как легко заметить, выполнено всегда.Подставим выражение (23) в разложение (20):+1=−1∑︁ (+1 ) ( ) ==1−1∑︁ ( ) ( ) +=1−1∑︁=1 () ( ) ( ).1 + 0.5 Обозначим первую сумму через , а вторую через . Применим неравенство треугольника для оценки нормы погрешности +1 через нормы этихвеличин:⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦⃦ ⃦⃦ ⃦6+.(24)2 ( )2 ( )2 ( )ℎℎℎОценим квадрат нормы , воспользовавшись результатом рассмотренной выше задачи || 6 1 и равенством Парсеваля:⃦ ⃦2⃦ ⃦2 (ℎ)=−1∑︁=12 2 ( )6−1∑︁⃦ ⃦22 ( ) = ⃦ ⃦2 ( ) .ℎ=1132Глава IV .
Разностные методы решения задач математической физикиАналогичным образом поступим с с учетом того, что 1 + 0.5 > 1:⃦ ⃦2⃦ ⃦2 (ℎ)=−1 (︂∑︁=11 + 0.5 )︂2 (︁()−1 (︁)︁2)︁2∑︁⃦ ⃦22 () ( ) = 2 ⃦ ⃦2 ( ) .( ) 6 ℎ=1Тогда неравенство (24) примет вид⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦⃦6 ⃦ ⃦2 (2 ( )ℎ)ℎ⃦ ⃦+ ⃦ ⃦2 ( ) .ℎРассматривая полученную оценку как рекуррентную, легко получим:⃦ +1 ⃦⃦⃦2 (ℎ)⃦ ⃦6 ⃦ 0 ⃦2 (ℎ∑︁⃦⃦⃦( )⃦.+2 ( ))ℎ(25)=0Учитывая, что ‖ 0 ‖2 (ℎ ) = 0, а также используя оценку нормы погрешностиаппроксимации, которая следует из оценки (11),⃦⃦(︀)︀⃦( )⃦6 2 + ℎ2 ,2 ( )ℎи равенство∑︁ = +1 6 ,=0получаем окончательную оценку:⃦ +1 ⃦⃦⃦2 (ℎ)(︀)︀6 1 2 + ℎ 2 ,где 1 = не зависит от и ℎ.Замечание.вияЕсли в разностной задаче (4) – (6) взять нулевые краевые усло+10+1 = = 0,то для можно вывести априорную оценку, аналогичную полученной вышеоценке (25):‖ +1 ‖2 (ℎ ) 6 ‖0 ‖2 (ℎ ) + ∑︁‖ ( )‖2 (ℎ ) .=0Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво в норме2 (ℎ ) по начальному условию 0 и правой части уравнения.§5.
Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении§5133Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решенииРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) | ∈ (0, 1), ∈ (0, ]}, (1)2{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ],(2)(1, ) = 2 (),(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе даннойглавы, на множествах и соответственно.Поставим в соответствие задаче (1) – (3) семейство разностных схем (зависящих от параметра ):+1 − +1= ,+ (1 − ) ,+ , ( , ) ∈ ℎ ,(4)где - некоторая аппроксимация правой части, необязательно точное значение функции (, ) в соответствующем узле, ∈ R — весовой множитель.На практике обычно рассматривают параметр ∈ [0, 1], ноданное условие не является обязательным.Замечание 1.Добавим краевые и начальное условия:{︃0+1 = 1 (+1 )+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), ∈ ℎ .(5)(6)В рассматриваемой разностной схеме использован шеститочечный шаблонвида−1+1−1+1+1 .При определенных значениях параметра получим разностные схемы, которые рассматривались в предыдущих параграфах:134Глава IV .
Разностные методы решения задач математической физики1. При = 0, = получаем явную разностную схему.2. При = 1, = ( , +1 ) получаем чисто неявную разностную схему.3. При = 0.5, = ( , + 1 ) получаем симметричную разностную2схему.Среди всех разностных схем семейства (4) явной являетсятолько схема с = 0, все остальные — неявные.Замечание.Введем погрешность решения разностной схемы: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из этого выражения и подставив его в уравнение (4), получимзадачу относительно :+1 − +1+ ,= ,+ (1 − ),{︃0+1 = 0+1= 0,0 = 0,( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,+1 ∈ , ∈ ℎ ,(7)(8)(9)где — погрешность аппроксимации на решении задачи (1) – (3): = +1, + (1 − ), −+1− + .(10)Далее считаем, что = 1, − 1, = 1, − 1.Пусть решение (, ) задачи (1) – (3) имеет достаточную гладкость (функция (, ) шесть раз дифференцируема по и три раза дифференцируема по′′).
Обозначим ′ = ˙ = , = = . Разложим значения +1 = (+1 , )и −1 = (−1 , ) в ряд Тейлора в точке ( , ):+1 = + ℎ′ +ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 (4) + + + . . . ,2 624−1 = − ℎ′ +ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 (4) − + + . . .2 624§5. Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении135Разложим в ряд Тейлора в точке ( , + 1 ) значения функции ( , ) на ( +21)-м и -м слоях:2 3 ...
(+ 1 ) + . . . ,+1˙(¨(=(1) +1) +1) ++ 2+ 2+ 2228482 3 ... (+ 1 ) + . . . , = (+ 1 ) − ˙ (+ 1 ) + ¨ (+ 1 ) −22222848Воспользовавшись записанными выше разложениями, получим следующеевыражение для второй дискретной производной:, =(︀ )︀+1 + −1 − 2ℎ2 (4)= ′′ + + O ℎ4 .2ℎ12(11)Вычтем выражение для из выражения для +1, разделим результат на ̸= 0 и получим:(︀ )︀+1− = ˙ (+ 1 ) + O 2 .(12)2Подставим выражения (11) и (12) в уравнение (10):(︂)︂(︀ 2 )︀ ′′ ℎ2 (4)′′ = + ˙ + + O ℎ+212(13)(︂)︂(︀ 2 )︀(︀ 2)︀ ′′ ℎ2 (4)′′4+(1 − ) − ˙ + + O ℎ− ˙ + + O + ℎ .212Воспользуемся неравенством, связывающим среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 2 и ℎ4 : ℎ2 6 2 + ℎ4.2(︀)︀(︀)︀Следовательно, O ℎ2 = O 2 + ℎ4 .Сгруппируем слагаемые в уравнении (13) следующим образом:(︀)︀ℎ2 (4) + O 2 + ℎ4 =12(︀)︀ℎ2 (4)= ′′ − ˙ + (+ 1 ) + − (+ 1 ) + ( − 0.5)˙ ′′ + + O 2 + ℎ4 .2212⏟⏞ = ′′ − ˙ + + ( − 0.5)˙ ′′ +0(14)Для получения четвертого порядка по ℎ для погрешности аппроксимациина решении необходимо исключить из уравнения (14) члены порядка ℎ2 , тоℎ2 (4)есть слагаемое .12 136Глава IV .
Разностные методы решения задач математической физикиРассмотрим уравнение (1):′′ = ˙ − .Продифференцируем это равенство два раза по и получим выражение для(4) :(4)= ˙ ′′ − ′′ .Подставим это выражение в равенство (14):=(︂)︂(︀)︀ℎ2ℎ2˙ ′′ − ′′ (+ 1 ) + O 2 + ℎ4 .− (+ 1 ) + ( − 0.5) +221212Выберем так, чтобы коэффициент* =(︂( − 0.5) +ℎ212)︂обратился в нуль:ℎ21−.2 12Теперь если положить = * , = (+ 1 ) +2ℎ2 ′′ ( 1 ),12 + 2то погрешность(︀ 2)︀аппроксимации на решении задачи (1) – (3) будет иметь по4рядок O + ℎ .Определение.Разностная схема (4) – (6) при=1ℎ2−,2 12 = (+ 1 ) +2ℎ2 ′′ ( 1 )12 + 2называется разностной схемой повышенного порядка точности.Замечание.Если(︀ )︀(︀)︀ = 0, = (+ 1 ) + O ℎ2 , то = O + ℎ2 ,2(︀ )︀(︀)︀ = 1, = (+ 1 ) + O ℎ2 , то = O + ℎ2 ,2(︀)︀(︀)︀ = 0.5, = (+ 1 ) + O 2 + ℎ2 , то = O 2 + ℎ2 .2При(︀ всех2 )︀остальных погрешность аппроксимации имеет порядокO + ℎ .§6. Разностная схема для уравнения Пуассона.
Первая краевая задача§6137Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задачаРассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона:⎧ 22⎨ + = ( , ), ( , ) ∈ ,1 21 22 22⎩ 1(1 , 2 )|Γ = (1 , 2 ),(1)где — прямоугольная область: = {(1 , 2 ) : 1 ∈ R, 0 < 1 < 1 ; 2 ∈ R, 0 < 2 < 2 } ,а Γ — граница этой области.Решением первой краевой задачи называется функция (1 , 2 ), удовлетворяющая системе уравнений (1), для которой выполнены следующие условия:(︀ )︀(1 , 2 ) ∈ , = ∪ Γ, (1 , 2 ) ∈ 2 ().Введем на области сетку с шагами ℎ1 = 11 и ℎ2 = 22 , где 1 , 2 ∈N (узлы этой сетки обозначены на рисунке окружностями):{︁(︁)︁}︁() ()()()ℎ =1 , 2 : 1 = ℎ1 , 2 = ℎ2 , = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1).Добавим к этой сетке узлы на границе Γ (обозначены на рисунке квадратами)и обозначим2 −11 −11 −12 −1Γℎ = {0, }=1 ∪ {1 , }=1 ∪ {,0 }=1 ∪ {,2 }=1 .Обозначим ℎ = ℎ ∪ Γℎ .22ℎ21ℎ11138Глава IV .
Разностные методы решения задач математической физики()()Пусть , (1 , 2 ) — сеточная функция, определенная на сетке ℎ . Определим для этой функции разностные производные второго порядка по 1 ипо 2 в узле ∈ ℎ :1 1 , =+1, − 2, + −1,,ℎ212 2 , =,+1 − 2, + ,−1ℎ22и поставим в соответствие задаче (1) разностную схему(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = ,(2)где , — значения функций (1 , 2 ) и (1 , 2 ) в узлах ∈ ℎ . Этойразностной схеме соответствует пятиточечный шаблон типа «крест»:,+1−1,+1,,−1Введем погрешность решения численной задачи:(︁)︁() () = − 1 , 2 = − .Погрешность удовлетворяет следующей разностной схеме:(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = − , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = 0.где — погрешность аппроксимации на решении исходного уравнения (1): = − + 1 1 , + 2 2 , .Показать, что справедлива следующая оценка погрешности аппроксимации на решении исходной задачи (1):(︀)︀ = O ℎ21 + ℎ22 .Задача.§7.
Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле§7139Разрешимость разностной задачи.Сходимость разностной задачи ДирихлеПродолжаем рассматривать задачу Дирихле⎧ 22⎨ + = ( , ), ( , ) ∈ ,1 21 22 22⎩ 1(1 , 2 )|Γ = (1 , 2 )Запишем разностную схему (2) из §6 в виде:⎧⎪⎨ −1, − 2 + +1, + ,−1 − 2 + ,+1 = ,ℎ21ℎ22⎪⎩ |Γℎ = .(1) = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),Напомним, что , — значения непрерывных функций (1 , 2 ) и (1 , 2 )в узлах сетки ℎ . Разрешим эту схему относительно центрального узла :⎧ (︂)︂⎪⎨ 2 + 2 = −1, + +1, + ,−1 + ,+1 − , = 1, (1 − 1),ℎ21 ℎ22ℎ21ℎ22 = 1, (2 − 1),⎪⎩ |Γℎ = .(2)Для того чтобы эта система имела решение при любых значениях функций (1 , 2 ) и (1 , 2 ), необходимо и достаточно, чтобы однородная системалинейных уравнений имела только тривиальное решение.Пусть 1 −1,2 −1 — пространство сеточных функций, определенных на сетке ℎ и обращающихся в нуль на границе Γℎ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
