Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Введем норму в этом пространстве:‖‖ = max | |, ∈ 1 −1,2 −1 .1661 −11662 −1Теорема 1.Однородная система линейных уравнений⎧ (︂)︂⎪⎨ 2 + 2 = −1, + +1, + ,−1 + ,+1 ,ℎ21 ℎ22ℎ21ℎ22⎪⎩ |Γℎ = 0 = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),имеет единственное решение, и оно является тривиальным: = 0, ∈ ℎ .140Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикиДоказательство.

Будем проводить доказательство методом от противного.Пусть существует узел ∈ ℎ , в котором достигается ненулевое значениефункции: ̸= 0. Тогда найдется узел 0 ,0 , для которого выполнены дваусловия:A) 0 ,0 = ‖‖ =max1661 −11662 −1| |.B) Хотя бы для одного из оставшихся узлов (0 , 0 ) шаблона выполнено| | < |0 ,0 |, ∈ {0 − 1, 0 + 1}, ∈ {0 − 1, 0 + 1}.Такой узел существует, поскольку в противном случае значения во всехузлах совпадут и будут равны нулю, так как функция обращается в нульна границе Γℎ .Рассмотрим уравнение системы в узле 0 ,0 :(︂)︂ , −1 + 0 ,0 +1 −1,0 + 0 +1,022+ 2 0 ,0 = 0+ 0 022ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22и оценим по модулю:(︂)︂| −1,0 | + |0 +1,0 | |0 ,0 −1 | + |0 ,0 +1 |22+ 2 |0 ,0 | 6 0+.2ℎ1 ℎ2ℎ21ℎ22Значения функции из правой части неравенства не превосходят |0 ,0 | в силу условия A) и, кроме того, в силу условия B) хотя бы одно из значенийфункции строго меньше 0 ,0 .

Таким образом, справедлива оценка)︂(︂)︂(︂2222++|0 ,0 | <‖‖ .ℎ21 ℎ22ℎ21 ℎ22Заменив |0 ,0 | на ‖‖ , получим противоречие: ‖‖ < ‖‖ . Следовательно,предположение о существовании хотя бы одного ненулевого значения функции неверно, и ≡ 0.Следствие.Разностная задача(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = имеет единственное решение при любых значениях и , ∈ ℎ .§7.

Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи ДирихлеВведем разностный оператор)︂(︂−1, + +1,,−1 + ,+122ℎ =+ 2 −−,22ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22141 ∈ ℎи запишем разностную схему для погрешности = − решения задачи (2) с помощью этого оператора:{︃ℎ = , ∈ ℎ ,(3) |Γℎ = 0,где погрешность аппроксимации на решении задачи (1) = − + 1 1 , + 2 2 , .Рассмотрим вопрос сходимости разностной схемы. Сходимость означает наличие оценки(︀)︀‖‖ 6 ℎ21 + ℎ22 ,где — константа, не зависящая от ℎ1 и ℎ2 .

Такая оценка означает, что разностная схема имеет второй порядок точности по ℎ1 и ℎ2 .Лемма (принцип максимума). Пусть для сеточной функции , определенной на сетке ℎ , выполнены неравенства > 0, ∈ Γℎ ,ℎ > 0, ∈ ℎ .Тогда справедливо следующее неравенство: > 0, ∈ ℎ .Доказательство.

Проведем доказательство методом от противного. Пустьсуществует узел ∈ ℎ , в котором функция отрицательна: < 0. Тогданайдется узел 0 ,0 , для которого выполнены два условия:A) 0 ,0 =min1661 −11662 −1 .B) Хотя бы для одного из оставшихся узлов шаблона выполнено условие > 0 ,0 , ∈ {0 − 1, 0 + 1}, ∈ {0 − 1, 0 + 1}.142Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикиТакой узел существует, так как в противном случае ≡ 0 и лемма доказана.Рассмотрим действие оператора ℎ на значение функции 0 ,0 :ℎ 0 ,0 =0 ,0 − 0 −1,0 , − +1,0 , − , −1 , − , +1+ 0 0 2 0+ 0 0 2 0 0 + 0 0 2 0 0 .2ℎ1ℎ1ℎ2ℎ2Все слагаемые в правой части этого равенства неположительны, и, крометого, хотя бы одно из слагаемых в силу условия B) отрицательно.

Такимобразом,ℎ 0 ,0 < 0.Это неравенство противоречит условию леммы, следовательно, предположение о существовании хотя бы одного узла, в котором функция отрицательна,неверно.Следствие.Рассмотрим две разностные задачиℎ = , ∈ ℎ , |Γℎ — заданы,ℎ = Φ , ∈ ℎ , |Γℎ — заданы.Если выполнены неравенства| | 6 , ∈ Γℎ ,| | 6 Φ , ∈ ℎ ,то справедливо следующее неравенство:| | 6 , ∈ ℎ .Доказательство.ке ℎ :Рассмотрим сеточные функции и , определенные на сет- = − , = + .По условию: |Γℎ > 0, |Γℎ > 0 и | | 6 Φ . Тогда получим :ℎ = Φ − > 0, ∈ ℎ , |Γℎ > 0, > 0, ∈ ℎ .ℎ > 0, ∈ ℎ , |Γℎ > 0, > 0, ∈ ℎ .Из неотрицательности функций и следует искомая оценка для модуляфункции .§7. Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле143()Для дальнейшего потребуется сеточная функция = (12 + 22 − (1 )2 −()(2 )2 ), где 1 , 2 — длины сторон прямоугольника , > 0 — постоянная,которая будет выбрана ниже.

Ясно, что > 0 во всех точках сетки ℎ , втом числе и на границе.Задача.Показать, что удовлетворяет разностной задачеℎ = 4, ∈ ℎ , > 0, ∈ Γℎ .(4)Разностную задачу (2) запишем в виде:ℎ = − , ∈ ℎ , = , , ∈ Γℎ(5)Исследуем сходимость решения разностной задачи (5) к решению исходнойзадачи (1).Пусть решение задачи (1) четыре раза непрерывно дифференцируемо в . Тогда решение разностной задачи (5) сходится к решению исходной задачи в сеточной норме , и имеет место оценка⃦(︁)︁⃦(︀)︀⃦() () ⃦⃦ − 1 , 2 ⃦ 6 ℎ21 + ℎ22 ,Теорема 2.где > 0 — константа, не зависящая от ℎ1 и ℎ2 .Рассмотрим две задачи: задачу для погрешности разностной схемы (3) и для мажоранты (4).

Положим 4 = ‖‖ . Тогда задачи(3), (4) будут удовлетворять всем условиям доказанного выше следствия. Поэтому во всех точках сетки ℎ выполняется неравенствоДоказательство.| | 6 Из вида функции , которая называется мажорантой, следует, что0 6 6 (12 + 22 ) =12 + 22‖‖ .4Тем самым доказана оценка‖‖ 612 + 22‖‖ .4Так как ‖‖ 6 1 (ℎ21 + ℎ22 ), где 1 > 0 и не зависит от ℎ1 и ℎ2 , то окончательно имеем() ()‖ − (1 , 2 )‖ 6 (ℎ21 + ℎ22 ),где = 112 +224— положительная постоянная, не зависящая от ℎ1 и ℎ2 .144§8Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикиМетоды решения разностной задачи ДирихлеРассмотрим разностную задачу Дирихле:⎧(︂)︂⎪−1, + +1,,−1 + ,+122⎪⎪+− ,⎪⎨ ℎ2 + ℎ2 =2ℎ1ℎ2212⎪⎪⎪⎪⎩ | = . Γℎ = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),(1)Для нахождения решения этой разностной схемы нужно решить СЛАУ с матрицей порядка (1 − 1) × (2 − 1).

Заметим, что матрица системы разрежена,то есть среди элементов этой матрицы содержится большое число нулей. Очевидно, что использование классического метода Гаусса для решения такой системы не будет оптимальным. Существуют значительно более эффективныекак прямые, так и итерационные методы решения системы (1) (см. [4]). Рассмотрим несколько итерационных методов, решающих поставленную задачу:методы Якоби, Зейделя и попеременно-треугольный итерационный метод.Метод ЯкобиИтерационный процесс задается схемой⎧(︂)︂()()()()⎪−1, + +1,,−1 + ,+1 = 1, (1 − 1),22⎪(+1)⎨+=+− ,2222ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ2 = 1, (2 − 1),⃒⎪⃒(+1)⎪⎩⃒ = ,Γℎ(0)где ∈ Z+ , — задано.В методе Зейделя итерации определяются по правилу:⎧(︂)︂(+1)()(+1)()⎪⎪⎨ 2 + 2 (+1) = −1, + +1, + ,−1 + ,+1 − ,ℎ21 ⃒ ℎ22ℎ21ℎ22⎪(+1) ⃒⎪⎩ ⃒ = ,ΓℎЗдесь, как обычно, уравнение записано для внутренних узлов сетки,(0) ∈ Z+ , — задано.Несмотря на то, что метод Зейделя формально является неявным, нетрудно предложить алгоритм вычисления решения на + 1-й итерации по явнымформулам.

Порядок счета здесь следующий. Сначала находятся значения§8. Методы решения разностной задачи Дирихле(+1)1,145(), = 1, 2 − 1, используя и граничные значения . Затем, исполь-(+1)зуя 1,(+1), находят 2,, = 1, 2 − 1 и т.д. Это означает, что вычисление(+1),значенийна новой итерации осуществляется последовательно от левогонижнего угла (точки 1,1 ) до правого верхнего угла (точки 1 −1,2 −1 ).Эффективным методом решения системы разностных уравнений (1) является попеременно-треугольный итерационный метод. Запишем систему (1)в матричной форме = с симметричной положительно определенной матрицей и представим матрицу в виде суммы = 1 + 2 ,где 1 — нижняя треугольная, а 2 — верхняя треугольная матрица.

Наглавных диагоналях 1 и 2 стоят элементы 0.5 , где — элементы ,стоящие на главной диагонали.Попеременно-треугольный итерационный метод имеет вид( + 1 )( + 2 ) (+1) − ()+ () = ,где — единичная матрица, и — итерационные параметры. Метод сходится при > 4 > 0. В случае системы (1) матрицы 1 и 2 определяютсясоотношениями − −1, − ,−1(1 ) =+,2ℎ1ℎ22(2 ) = − ,+1 − +1,+.2ℎ1ℎ22Алгоритм нахождения (+1) сводится к последовательному решению двухуравнений( + 1 ) () = − () , (+1) − ()= () ,каждое из которых решается путем обращения треугольных матриц.( + 2 )В §8 главы 1 было показано, что попеременно-треугольныйитерационный метод решения систем линейных алгебраических уравненийтребует для достижения заданной точности > 0, числа итераций 0 ()на порядок меньше, чем методы Якоби, Зейделя, простой итерации. В силуэтого он широко применяется для решения практических задач.Замечание.146Глава IV .

Разностные методы решения задач математической физики§9Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьПусть дана исходная дифференциальная задача. Не конкретизируя вид этойзадачи, запишем ее в форме операторного уравнения.(()) = (), ∈ ,(1)где – область изменения независимых переменных (аргумент можетбыть многомерным), () — заданная функция, – линейный дифференциальный оператор. Предполагается, что начальные и граничные условияучитываются видом оператора и правой частью (). Будем считать, чтоисходная задача корректно поставлена.

Это означает, что ее решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от правой части ().Для построения разностной схемы, прежде всего в области вводитсяразностная сетка ℎ — конечное множество точек, принадлежащих . Точки ∈ ℎ называются узлами сетки. Параметр ℎ (шаг сетки) характеризуетплотность заполнения области точками ℎ . Будем считать ℎ вектором, длякоторого определена норма |ℎ|. Фактически имеют дело с последовательностью сеток, число узлов которых = (ℎ) увеличивается с уменьшением|ℎ|. Обычно число узлов = (ℎ) сетки ℎ неограниченно возрастает при|ℎ| → 0.

Характеристики

Список файлов лекций