Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При наличии оценки вида (5) говорят о квадратичной сходимости метода.Замечание 1.108Глава III . Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравненийИз условий теоремы следует, что начальное приближениенужно выбирать достаточно близко к точному решению рассматриваемогоуравнения.Замечание 2.Другие рассмотренные нами методы (модифицированныйметод Ньютона и метод секущих) обладают, по крайней мере, линейнойсходимостью. Это следует из того, что если их записать в виде +1 =( ), то (* ) = * и ′ (* ) ̸= 0.
Например, для модифицированного ме′ *)тода Ньютона ′ (* ) = 1 − ′ (, и чем ближе взять 0 к * , тем быстрее(0 )будет сходимость.Замечание 3.Глава IVРазностные методы решениязадач математической физики§1Первая краевая задача для уравнениятеплопроводностиЭта глава посвящена решению задач математической физики с помощью численных методов. Численные методы позволяют находить приближенное решение широкого класса дифференциальных задач, в то время как аналитические подходы разработаны лишь для некоторых классов задач и, как правило,используют целый ряд допущений.
К примеру, мы будем рассматривать уравнение теплопроводности, которое является аналитически неразрешимым, если область задания уравнения определена произвольным образом, или уравнение содержит переменные коэффициенты. Разностные схемы позволят намнаходить решение уравнения теплопроводности и в таких сложных случаях.Постановка задачи.
Рассмотрим классическую формулировку первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в области = {(, ) : ∈(0, 1), ∈ (0, ]} для некоторого > 0. Для простоты возьмем коэффициент при второй производной искомой функции в правой части уравненияравным единице.(, ) 2 (, )=+ (, ),2Выпишем краевые условия первого рода:{︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (),(, ) ∈ . ∈ [0, ],(1)(2)110Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикии начальное условие:(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Заметим, что мы рассматриваем только те задачи, для которых существует классическое решение.
Это означает:1. Решение обладает достаточной гладкостью, то есть функция (, )непрерывна в замкнутой области = {(, ) : ∈ [0, 1], ∈ [0, ]},непрерывно дифференцируема один раз по и два раза по внутри области .2. (, ) удовлетворяет внутри области уравнению (1), на границе —условию (2) и условию (3) в начальный момент времени.Кроме того, условия на границе (2) и в начальный момент времени должныбыть согласованы: 1 (0) = 0 (0) и 2 (0) = 0 (1).Из курса «Уравнения математической физики» (см.
также [11]) известно, что в такой постановке существует единственное решение (, ), котороенепрерывно зависит от правой части уравнения (, ), начального условия0 () и краевых условий (2).Чтобы решить эту задачу численно, поставим ей в соответствие разностную схему, то есть дискретный аналог рассматриваемого уравнения и дополнительных условий. Таким образом мы сведем непрерывную задачу к конечной системе линейных уравнений, которые уже можно решать с использованием вычислительных машин.Сначала введем в рассматриваемой области равномерную по переменным и сетку.Сеткой в заданной области называется совокупность конечного числа точек, принадлежащих данной области.
Эти точки называются узлами сетки.Определение.В частности, равномерная сетка размера ( − 1) × , , ∈ N в рассматриваемой области вводится так:{︁}︁}︀{︀ℎ = = ℎ, = 1, ( − 1) , = = , = 1, ,1> 0, => 0.Величину ℎ назовем шагом по переменной , величину — шагом по времени.Тогда множество точек ℎ = × ℎ ⊂ ℎ=§1. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности111задает равномерную сетку с шагом ℎ по переменной и шагом по временив области .
Эта сетка изображена на рисунке.Tℎ1Аналогичным образом введем равномерную сетку размера ( +1)×( +1)на замыкании области с теми же размерами шагов ℎ и по переменной и по переменной соответственно. Эту сетку задает множество точек ℎ = × ℎ ⊂ = {(, ) : ∈ [0, 1], ∈ [0, ]},где{︀}︀{︀}︀ ℎ = = ℎ, = 0, , = = , = 0, .В дальнейшем везде, где мы рассматриваем уравнение теплопроводности, будем использовать введенные сетки, если не указано иное.В общем случае сетки могут иметь более сложную структуру, например, использовать переменный шаг, который зависит от расположения конкретной пары узлов, или для многомерной области иметьболее сложную структуру расположения узлов относительно друг друга (врассматриваемом примере равномерная сетка является прямоугольной).
Впоследнее время часто используются сетки, автоматически подстраивающиеся под решение конкретной задачи.Замечание.Совокупность всех узлов в фиксированный момент времени называется слоем. Слой, для которого = 0, в котором задано начальноеприближение, будем называть нулевым слоем.Определение.112§2Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикиЯвная разностная схема. Погрешность,сходимость, устойчивостьРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]}, (1)2{︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1](3)и построим для него разностную схему.Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе даннойглавы на множествах и соответственно.Сеточной функцией называется функция дискретного аргумента на заданной сетке, то есть такая функция определена только вузлах данной сетки.Определение.Поставим в соответствие непрерывным функциям (, ) и (, ) их дискретные аналоги.
Введем обозначения для ( , ) ∈ ℎ : = ( , ), = ( , ).Обозначим численное решение задачи через( , ) = ,( , ) ∈ ℎ .Здесь ( , ) является сеточной функцией, заданной на сетке ℎ .Поставим в соответствие производным функции (, ) их дискретныеаналоги для функции ( , ): +1 − ( , )≈ , − 2 + −1 2 ( , )+1≈.2ℎ2В результате получаем дискретный аналог уравнения (1): − 2 + +1+1 − = −1+ ( , ),ℎ2( , ) ∈ ℎ .(4)§2.
Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость113Запишем дискретные аналоги краевых условий первого рода (2) и начальногоусловия (3):{︃0+1 = 1 (+1 )(5)+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), ∈ ℎ .(6)Дискретным аналогом задачи (1) – (3), или ее разностнойсхемой, называется система линейных уравнений (4) – (6).Определение.В первой краевой задаче численные значения решения 0+1 иравны значениям функций 1 () и 2 () соответственно при = +1(хотя это и не обязательно). В случае краевых условий иного типа, аппроксимация краевых условий должна быть согласована по порядку погрешностис порядком аппроксимации уравнения. Определение аппроксимации и порядка погрешности аппроксимации будет дано ниже.Замечание 1.+1Заметим, что в уравнении (4) значения функции (, ) необязательно брать именно в узлах рассматриваемой сетки, можно использовать значения этой функции с некоторой «поправкой».
Что именно имеется в виду под «поправкой», будет рассмотрено далее, а также будет показано, что выбор значений функции (, ) для разностной схемы, использующих такую «поправку», позволит получить более высокий порядок погрешности аппроксимации, а стало быть и более точное решение исходногоуравнения.Замечание 2.Качество и скорость решения численной задачи (4) – (6) вомногом зависит от выбора числа узлов сетки ℎ : чем меньше узлов в сетке, тем меньше уравнений содержится в системе, тем проще и быстрее еерешать, но и приближение решения исходной задачи в этом случае будетболее грубым.Замечание 3.При изучении разностных схем возникают следующие вопросы:1.
Погрешность аппроксимации на решении (невязка).Каждой задаче может быть сопоставлено бесконечное число разностных схем, оценка погрешности аппроксимации позволяет их сравнивать. Разностная схема должна аппроксимировать исходную дифференциальную задачу. Если же аппроксимация отсутствует, то не будетсходимости решения численной задачи к решению исходной задачи, ирассмотрение такой разностной схемы не имеет смысла.114Глава IV . Разностные методы решения задач математической физики2. Существование и единственность решения разностной задачи.Построенная разностная задача должна быть корректной, то есть должно существовать единственное решение. В ряде случаев доказательствосуществования и единственности решения является нетривиальной задачей.3.
Алгоритм нахождения разностного решения.В разностных схемах матрица системы линейных уравнений как правило содержит большое число нулей. Для таких систем существуют болееэффективные алгоритмы решения, чем универсальный метод Гаусса,например, для систем с трехдиагональной матрицей разумно использовать метод прогонки.4. Сходимость разностной схемы.Необходимо изучить условия, при которых решение данной разностнойсхемы сходится к точному решению исходной задачи с наперед заданнойточностью.5. Устойчивость разностной схемы.Устойчивость в данном контексте является чисто внутренним свойствомразностных схем: разностная схема называется устойчивой в норме ‖·‖,если выполнена априорная оценка‖‖ 6 ‖ ‖,где > 0 — константа, не зависящая от шагов сетки.Для построения разностной схемы, обладающей хорошими свойствами, необходимо изучить весь круг перечисленных проблем.Вопросы сходимости и устойчивости разностной схемы являются ключевыми, однако обычно достаточно рассмотреть только одиниз этих двух вопросов: в конце курса будет доказано, что из устойчивостиразностной схемы следует ее сходимость к решению исходной задачи приусловии, что разностная схема аппроксимирует исходную задачу.Замечание.Совокупность узлов, которые участвуют в записи разностной схемы, называют шаблоном.Определение.Вернемся к изучению явной разностной схемы (4) – (6).В рассматриваемой разностной схеме использован четырехточечный шаблон, схематично изображенный на рисунке.§2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
