Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Покажем, что формула Симпсона точна для функции 3 . Для этого∫︀ 3 по формуле Ньютона-Лейбница:вычислим интеграл−1∫︁4 − 4−1(2 − 2−1 )(2 + 2−1 )= =443 ≈(4)−1=−1 )(2( − −1 )( +4+2−1 )=ℎ( + −1 )(2 + 2−1 )4и по квадратурной формуле Симпсона:∫︁3 =ℎ 3(+ 43− 1 + 3 ) =26 −1−1ℎ=6ℎ=6(︃(−1 +(︂(−1 + )(2−1ℎ= ( + −1 )6=(︂ )(2−1− −1 +− −1 +2 )2 )(︂+4 + −12)︂3 )︃=( + −1 )(2 + 2 −1 + 2−1 )+222−1 − 2 −1 + 22 + 2 + 2 −1 + 2−12)︂=)︂=ℎℎ( + −1 )3(2−1 + 2 ) = ( + −1 )(2 + 2−1 ).124Полученные выражения для интеграла от функции 3 совпадают, значит,формула Симпсона точна для полиномов третьей степени.§6.
Оценка погрешности формулы Симпсона при помощи полинома Эрмита83Перейдем к оценке погрешности квадратурной формулы Симпсона (3),для чего воспользуемся интерполяционным полиномом Эрмита 3 (), рассмотренным в предыдущем параграфе.Если для оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона мы воспользуемся выражением для погрешности интерполяционного полиномаЛагранжа второй степени, то получим сильно завышенную оценку. Правильная оценка получается при использовании полинома Эрмита 3 ().Зафиксируем узлы −1 , − 1 и и построим по этим узлам интерполя2ционный полином Эрмита 3, () для функции ().
Ранее в §5 было доказано, что такой полином существует, единственен и удовлетворяет следующимусловиям:3, (−1 ) = (−1 ),3, (− 1 ) = (− 1 ),223, ( ) = ( ),′(− 1 ) = ′ (− 1 ).3,22Запишем погрешность для полинома 3, ():3, () = (4) ()( − −1 )( − − 1 )2 ( − ),24! ∈ [−1 , ].(5)Представим исходную функцию () в виде () = 3, () + 3, () .
Тогда∫︁∫︁∫︁3, () + () =−1−1(6)3, ().−1Так как формула Симпсона (3) точна для полиномов третьей степени, то∫︀мы можем заменить интеграл3, () на соответствующую ему правуючасть формулы (3):∫︁3, () =−1)︁ℎ (︁3, (−1 ) + 43, (− 1 ) + 3, ( ) .26−1Тогда∫︁−1)︁ℎ (︁ () =3, (−1 ) + 43, (− 1 ) + 3, ( ) +26∫︁−13, () =84Глава II . Интерполирование и приближение функций=)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) + Ψ ( ).26Следовательно,∫︁ () −Ψ ( ) =)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) .26(7)−1Таким образом мы получаем, что Ψ ( ) =∫︀3, () задает погрешность−1формулы Симпсона (3) на -м частичном сегменте.Оценим по модулю погрешность формулы Симпсона на -м частичномсегменте исходя из формулы (5).∫︁∫︁|3, ()| 6|Ψ ( )| 64,( − −1 )( − − 1 )2 ( − ),24!−1−14, =sup∈[−1 , ]⃒⃒⃒ (4) ⃒⃒ ()⃒.Показать, чтоЗадача.∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2ℎ5.120−1Произведем замену в подынтегральном выражении: = −1 +ℎ, ∈ [0, 1].(︀)︀2Тогда = ℎ и − −1 = ℎ, − = ℎ(1 − ), ( − − 1 )2 = ℎ2 − 12 , и2мы получаем, чтоРешение.∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2−15∫︁1=ℎ0(︂)︂)︂∫︁1 (︂1 25 21ℎ5534 −(1 − ) = ℎ2 − − + =.2441200§7.
Наилучшее среднеквадратичное приближение функции85Таким образом, погрешность формулы Симпсона (3) на -м частичномсегменте имеет пятый порядок точности:|Ψ ( )| 64, ℎ5,4! 120(8)Оценим погрешность приближения интеграла (1) на всем отрезке [, ],учитывая представление этого интеграла в виде суммы ингералов по всемчастичным сегментам (2) и воспользовавшись формулой Симпсона (3):⃒ ⃒ ⃒⃒⃒∫︁⃒ ⃒ ⃒(︁)︁∑︁⃒⃒ ⃒∑︁ℎ⃒|Ψ( )| = ⃒⃒ () − (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) ⃒⃒ = ⃒Ψ ( )⃒ 62⃒⃒6⃒⃒=1=16∑︁|Ψ ( )| .=1Мы выбирали разбиение отрезка [, ] так, что ℎ = − , поэтому с учетомоценки (8) получим, что(︂ )︂44 ( − )ℎ,|Ψ( )| 62180⃒⃒⃒⃒4 = sup ⃒ (4) ()⃒.∈[0 , ]Следовательно, квадратурная формула Симпсона на всем отрезке [, ] имеетчетвертый порядок точности.§7Наилучшее среднеквадратичное приближениефункцииРассмотрим гильбертово пространство 2 — линейное пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом (см.
[2], гл.IV, §2):∫︁ 2 () < ∞.Введем скалярное произведение в пространстве 2 :∫︁∀, ∈ 2(, ) = ()().86Глава II . Интерполирование и приближение функцийТеперь введем норму в пространстве 2 :‖ ‖2⎞1/2⎛ ∫︁√︀= ‖ ‖ = (, ) = ⎝ 2 ()⎠ .Пусть дана система ( + 1) линейно независимых функций{ ()}=0 в пространстве 2 . Функция () видаОпределение.() = 0 0 () + 1 1 () + . . . + () =∑︁ (), где ∈ R, = 0, ,=0называется обобщенным многочленом по системе { ()}=0 .Так как коэффициенты обобщенного многочлена задаются произвольнымобразом, то, варьируя их значения, можно получить бесконечно много различных обобщенных многочленов.Определение.симых функцийПусть () ∈ 2 и дана система из ( + 1) линейно незави () ∈ 2 , = 0, .Обобщенный многочлен (), имеющий минимальное отклонение по нормеот функции ():⎛∫︁‖ () − ()‖ = min ‖ () − ()‖ = min ⎝()()⎞1/2( () − ())2 ⎠,называется наилучшим среднеквадратичным приближением функции ()по системе функций { ()}=0 .Наилучшее среднеквадратичное приближение функции ()по системе функций { ()}=0 существует и единственно.Утверждение.Вначале рассмотрим доказательство для частного случая: выберем систему функций, состоящую из одной функции 0 () ∈ 2 .Тогда обобщенный многочлен имеет видДоказательство.() = 0 0 ().§7.
Наилучшее среднеквадратичное приближение функции87Рассмотрим задачу для функции (): среди всех обобщенных многочленовнайдем тот, который минимизирует функционал∫︁ (0 ) =( () − 0 0 ())2 .Преобразуем это выражение:∫︁2∫︁ () − 20 (0 ) = ()0 () +20∫︁20 () == (, ) − 20 (, 0 ) + 20 (0 , 0 ).Мы получили квадратичную функцию относительно 0 . Найдем ее экстремум: ′ (0 ) = 0,0 (0 , 0 ) = (, 0 ).Тогда коэффициент 0 , доставляющий минимум функционалу (0 ), равен:(, 0 )0 ==(0 , 0 )∫︀ ()0 ().∫︀ 2() 0(1)Получим наилучшее среднеквадратичное приближение () для функции ():(, 0 )() = 0 0 () =0 .(2)(0 , 0 )Заметим, что при 0 () = 1, из выражений (1) и (2) можно получить выражение для среднего значения интеграла:∫︀ () = (),( − )которое и является наилучшим среднеквадратичным приближением в этомслучае.Разумеется, увеличивая число базисных функций (), мы вправе ожидать увеличения точности приближения.
Покажем, как строится наилучшеесреднеквадратичное приближение в случае произвольного .88Глава II . Интерполирование и приближение функцийПусть { ()}=0 — система линейно независимых функций, () ∈ 2 [, ].Обозначим обобщенный многочлен через() =∑︁ (), где ∈ R=0и рассмотрим функционал∫︁∫︁2( () − ()) = (0 , 1 , . . . , ) =( () −∑︁ ())2 .=0Преобразуем это равенство:∫︁ (0 , 1 , . .
. , ) = 2 () − 2=0+∑︁=0∑︁=0∫︁ () () = (, ) − 2∑︁∑︁∫︁ () ()+ (, ) +=0∑︁=0∑︁ ( , ).=0Минимум функционала (0 , 1 , . . . , ) достигается в точке, в которой всечастные производные первого порядка обращаются в ноль: (0 , . . . , )= 0, = 0, .Получаем систему уравнений относительно коэффициентов , = 0, :∑︁ ( , ) = (, ), = 0, .=0Запишем эту систему более подробно:⎧⎪0 (0 , 0 ) + 1 (0 , 1 ) + . .
. + (0 , ) = (, 0 )⎪⎪⎪⎨ ( , ) + ( , ) + . . . + ( , ) = (, )0 101 11 11⎪...⎪⎪⎪⎩ ( , ) + ( , ) + . . . + ( , ) = (, ).0 01 1 Выпишем матрицу коэффициентов системы:⎛⎞(0 , 0 ) (0 , 1 ) . . . (0 , )⎜ (1 , 0 ) (1 , 1 ) . . . (1 , ) ⎟⎜⎟⎟ = (0 , . . . , ).⎜........⎝⎠....( , 0 ) ( , 1 ) .
. . ( , )(3)§7. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции89Полученная матрица является матрицей Грама системы функций { ()}=0 .Так как { ()}=0 — система линейно независимых функций, то определитель матрицы Грама положителен:|(0 , . . . , )| > 0.Следовательно система линейных уравнений (3) имеет единственное решение (0 , 1 , . . . , ) . Тогда наилучшее среднеквадратичное приближение дляфункции () существует и определено единственным образом:() =∑︁ ().=0Замечание 1.
Можно заметить, что чем больше базисных функций мывводим, тем точнее среднеквадратичное приближение заданной функции. Впределе мы переходим в базис всего пространства и получаем точное разложение заданной функции по базису. Однако следует помнить, что приувеличении числа базисных функций увеличивается и размер соответствующей матрицы Грама, а определитель этой матрицы приближается к нулю. Это создает определенные проблемы при решении задач на практике,связанные с увеличением влияния ошибок округления.Заметим, что если исходная система функций { ()}=0 —ортогональная, то матрица Грама этой системы — диагональная, что значительно упрощает нахождение среднеквадратичного приближения заданной функции.Замечание 2.Если { ()}=0 — ортонормированная система функций впространстве 2 , то соответствующая этой системе матрица Грама является единичной, и решение системы (3) имеет видЗамечание 3.
= (, ), = 0, ,(4)где — коэффициенты обобщенного многочлена, реализующего наилучшеесреднеквадратичное приближение функции (). Коэффициенты такого вида называются коэффициентами Фурье функции ().Замечание 4.Рассмотрим систему линейно независимых функций () = , = 0, .90Глава II . Интерполирование и приближение функцийВведем в пространстве скалярное произведение следующим образом:∫︁() () () = ( , ),где () > 0 — весовая функция. Если определенным образом выбирать границы и и весовую функцию, то можно построить систему ортогональныхполиномов (например, полиномы Якоби, Лежандра, Чебышева).Если { ()}=0 — ортонормированная система функций, тодля этой системы функций выполняется неравенство Бесселя:Утверждение.∑︁2 6 ‖ ‖2 ,=0где — коэффициенты обобщенного многочлена, реализующего наилучшеесреднеквадратичное приближение функции ().Действительно, если система функций { ()}=0 ортонормирована, то выполнено замечание 3.
Обозначим = и вычислимотклонение от наилучшего среднеквадратичного приближения:Доказательство.∫︁( () −∑︁ ())2 = (, ) − 2=0∑︁ (, ) +=0∑︁2 = (, ) −=0∑︁2 > 0.=0Следовательно неравенство Бесселя выполнено.Если { ()}∞=0 — ортонормированный базис, то выполняется равенство Парсеваля:∞∑︁2 = ‖ ‖2 .Замечание 5.=0В процессе построения наилучшего среднеквадратичного приближения возникает следующий ряд вопросов:Замечание 6.1. Как решать системы линейных уравнений высокого порядка?2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
